☉江蘇省常熟市教育局教學(xué)研究室陳志江

基于網(wǎng)上閱卷的試題分析與教學(xué)建議
——以一道高三解析幾何試題為例

☉江蘇省常熟市教育局教學(xué)研究室陳志江

一、問(wèn)題的提出

目前高三統(tǒng)考大多采用網(wǎng)上閱卷，這樣會(huì)有每個(gè)小題、每個(gè)學(xué)生的得分情況等大量的數(shù)據(jù)，還可以收集一個(gè)題目各種錯(cuò)誤答案或不同的解法等，但有些學(xué)校或區(qū)域可能并沒(méi)有充分研究和掌握這些學(xué)情，而導(dǎo)致教學(xué)中的“高耗低效”，其實(shí)如果我們能夠?qū)@些信息作好客觀準(zhǔn)確的分析，并用其指導(dǎo)和改進(jìn)我們的后續(xù)教學(xué)，定會(huì)使教學(xué)更科學(xué)、更有針對(duì)性·本文以蘇州市2015屆高三期初調(diào)研測(cè)試的一道試題為例進(jìn)行試題分析，希望能對(duì)現(xiàn)在的高三教學(xué)有所啟發(fā)·

二、試題的分析

1·試題呈現(xiàn)

解析幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，是高考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，同時(shí)又是教學(xué)中的難點(diǎn)·很多學(xué)生認(rèn)為解析幾何就是簡(jiǎn)單地“算”，并把考試中做不對(duì)解析幾何題歸結(jié)為計(jì)算不過(guò)關(guān)，不少教師也這么認(rèn)為，因此教學(xué)中會(huì)大量地做題，想通過(guò)量的積累達(dá)到質(zhì)的飛躍，實(shí)際卻往往事與愿違·那么問(wèn)題到底出在哪里？筆者希望通過(guò)分析尋找到答案·

圖1

（2）設(shè)直線AM交l于點(diǎn)P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰好過(guò)原點(diǎn)，求橢圓C的離心率·

本題主要考查橢圓方程的求解，兩直線的垂直關(guān)系，橢圓離心率的計(jì)算，以及直線、圓、橢圓的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力·本次考試常熟市采用網(wǎng)上閱卷，兩位老師雙批一個(gè)題目，若在誤差分?jǐn)?shù)之內(nèi)則取平均分；若在誤差之外，則由閱卷組長(zhǎng)仲裁給分，故分?jǐn)?shù)具有很好的參考價(jià)值·

2·學(xué)生答題概況及分析

本題全市平均得分8·29分（滿(mǎn)分16分），難度系數(shù)為0·52，其中第一問(wèn)平均得分5·484分（滿(mǎn)分6分），第二問(wèn)平均得分2·805分（滿(mǎn)分10分）·考生總數(shù)為4058人，具體各分?jǐn)?shù)人數(shù)如下表：

第一問(wèn)第二問(wèn)整個(gè)題目分?jǐn)?shù)人數(shù)分?jǐn)?shù)人數(shù)分?jǐn)?shù)人數(shù)分?jǐn)?shù)人數(shù)分?jǐn)?shù)人數(shù)分?jǐn)?shù)人數(shù)6 3639 10 787 3 443 16 774 9 432 2 14 5 31 9 39 2 224 15 44 8 221 1 57 4 6 8 62 1 356 14 61 7 354 0 260 3 51 7 8 0 2028 13 11 6 1652 2 17 6 7 12 9 5 19 1 54 5 20 11 20 4 5 0 260 4 84 10 85 3 40

對(duì)上表數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，我們可以掌握如下學(xué)情·

（1）對(duì)求橢圓方程這樣的基本問(wèn)題絕大部分學(xué)生能順利解決·

第一問(wèn)求橢圓的方程，得滿(mǎn)分人數(shù)為3639，占考生總數(shù)的89·67%，說(shuō)明絕大部分學(xué)生對(duì)此問(wèn)題的解決掌握得很好，也表明對(duì)該類(lèi)問(wèn)題的教學(xué)是成功的；得分在3-5分的有88人，占考生總數(shù)的2·17%，這部分學(xué)生正確得到了關(guān)于a、b、c的方程組，但計(jì)算出錯(cuò)了，表明少數(shù)學(xué)生對(duì)方程組的計(jì)算還不過(guò)關(guān)；得分小于或等于2分（含0分）的有331人，占考生總數(shù)的8·16%，這部分學(xué)生大都空白未做，對(duì)本題作放棄處理，查閱試卷后發(fā)現(xiàn)，近一半為體藝班學(xué)生·這一方面反映了學(xué)生的解題心理有問(wèn)題，他們認(rèn)為這樣的題目肯定得不到分，于是就放棄了；另一方面給我們教師的教學(xué)找到了方向，這300多位學(xué)生應(yīng)是我們對(duì)該類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行后續(xù)教學(xué)的重點(diǎn)對(duì)象，要鼓勵(lì)他們樹(shù)立正確的解題觀點(diǎn)，要敢于去探討、研究，不輕易放棄，通過(guò)平時(shí)對(duì)題目的鉆研提升自己的解題能力和解題信心·

（2）對(duì)多字母運(yùn)算的基本量求值問(wèn)題的解決學(xué)生呈現(xiàn)三個(gè)層次·

第二問(wèn)求橢圓的離心率，重點(diǎn)考查字母運(yùn)算求解能力，將學(xué)生區(qū)分為了三個(gè)層次·

第一層次，得8-10分的人數(shù)為888，占考生總數(shù)的21·88%，這些同學(xué)主要采用參考答案給出的方法或思路進(jìn)行求解，還有部分同學(xué)設(shè)M（acosα，bsinα）引入角為參數(shù)求解，也有一些同學(xué)設(shè)出過(guò)A點(diǎn)的直線，引入斜率為參數(shù)，通過(guò)韋達(dá)定理來(lái)求解M點(diǎn)，接著求解P點(diǎn)，再利用垂直求解出離心率的值·極少數(shù)同學(xué)在規(guī)范表達(dá)或計(jì)算上還有一些小問(wèn)題導(dǎo)致1-2分的失分·

第二層次，得1-5分的人數(shù)為1127，占27·78%，這部分同學(xué)對(duì)條件多少作了些轉(zhuǎn)化，但都是半途而廢·出現(xiàn)的主要錯(cuò)誤有：①部分同學(xué)用了第一問(wèn)的條件準(zhǔn)線為x= 4，這樣直接出錯(cuò)了；②有不少同學(xué)設(shè)直線方程求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，算錯(cuò)了或有的算出M點(diǎn)后放棄往下做；③有的同學(xué)設(shè)P點(diǎn)然后解M點(diǎn)，算算也中途放棄了；④不少同學(xué)直接采用kMA·kMB作為結(jié)論使用，但未作證明；⑤不會(huì)用點(diǎn)M在橢圓上這個(gè)條件代入化簡(jiǎn)·總體表現(xiàn)出解題方向不明確和計(jì)算能力不過(guò)關(guān)兩大問(wèn)題·

第三層次，得0分的人數(shù)為2028，占49·98%，這個(gè)比例是比較大的，反映出有近一半的同學(xué)在這類(lèi)問(wèn)題的解決中毫無(wú)辦法、束手無(wú)策·分析原因，一部分同學(xué)是直接放棄的，他們認(rèn)為做了也做不出或想把時(shí)間放在其他題目上；一部分同學(xué)進(jìn)行了嘗試，但覺(jué)得字母多，分不清主次，理不清思路，這些同學(xué)絕大部分第一問(wèn)是得滿(mǎn)分的，應(yīng)該是具備基本知識(shí)的，不過(guò)在剛剛進(jìn)入高三，尚未進(jìn)行復(fù)習(xí)的情況下，還缺乏對(duì)知識(shí)與信息的整合能力，對(duì)有一定難度的問(wèn)題難以解決，這也給我們提示，在后面的一輪復(fù)習(xí)中要重點(diǎn)關(guān)注這些同學(xué)，同時(shí)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的解決要做好思路探索、方法提煉和恰當(dāng)訓(xùn)練·

3·對(duì)解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)的建議

（1）教學(xué)中要呈現(xiàn)解題的思維過(guò)程·

針對(duì)上述第二、三層次的學(xué)生，在教學(xué)中教師要重點(diǎn)呈現(xiàn)解題的思維過(guò)程·解析幾何問(wèn)題，往往解決過(guò)程長(zhǎng)，學(xué)生要經(jīng)歷審題、思考、解決、出現(xiàn)錯(cuò)誤、修改、調(diào)整方案等一系列環(huán)節(jié)，這就是“思維過(guò)程”·如本題中，M是主動(dòng)點(diǎn)，P是從動(dòng)點(diǎn)，M的移動(dòng)帶來(lái)直線MB、OP的轉(zhuǎn)動(dòng)，而由條件知MB⊥OP，這樣可得方程kOP·kBM=-1，再轉(zhuǎn)化到用a、c表示即可解出離心率e，其思維過(guò)程如圖2所示，其中①處主要為計(jì)算，②處為問(wèn)題轉(zhuǎn)化，③處為消參，可分兩個(gè)層次，先消x、y，再消b·

圖2

這些是學(xué)生解題的困難之處，是本題能否順利解決的障礙點(diǎn)，教學(xué)中只有把這些關(guān)鍵點(diǎn)突破，才能把學(xué)生點(diǎn)化·

因此解析幾何復(fù)習(xí)中，我們一方面要合理展示教師的思維過(guò)程，教師要盡量設(shè)法使學(xué)生看到，面對(duì)一個(gè)新問(wèn)題，自己是怎樣尋求解決思路的，其依據(jù)是什么，特別是在思路受阻后是如何調(diào)整思路的，為什么這樣調(diào)整等·另一方面，要充分展示學(xué)生的思維過(guò)程，教學(xué)中應(yīng)給學(xué)生充分暴露和展示思維過(guò)程的機(jī)會(huì)，教師要關(guān)注課堂提問(wèn)、板演、作業(yè)中反映出的學(xué)生思維，及時(shí)地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維“閃光點(diǎn)”和存在的問(wèn)題，并肯定正確、矯正錯(cuò)誤，才能讓學(xué)生在復(fù)習(xí)中打通思維、提高其求解解析幾何問(wèn)題的能力·

（2）要將算理與計(jì)算相結(jié)合·

現(xiàn)在學(xué)生的運(yùn)算能力普遍較差，有些是計(jì)算出錯(cuò)，還有很多是不通算理·解析幾何問(wèn)題的解決大多需要具備方程（組）思想，一般過(guò)程為“引參—列方程（組）—消參—求值”·當(dāng)然我們應(yīng)該要清楚如果方程個(gè)數(shù)和未知數(shù)個(gè)數(shù)相等，都可以解出具體值，比如本題第一問(wèn)，由條件可得關(guān)于a、b、c的三個(gè)方程，然后解這個(gè)三元方程組就可以了；如果方程個(gè)數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)，最后可能會(huì)求比值，如第二問(wèn)首先引參，可以設(shè)點(diǎn)引入兩個(gè)參數(shù)x、y，也可以設(shè)直線的斜率k，但無(wú)論引入什么參數(shù)，所得方程個(gè)數(shù)總比未知數(shù)個(gè)數(shù)少一個(gè)，所以最終要求離心率實(shí)際上為求兩個(gè)未知數(shù)的比值，這樣宏觀把握，那么我們只要去做方程的消元工作就可以了·如何提高學(xué)生的運(yùn)算能力？筆者覺(jué)得除了注重學(xué)生基本運(yùn)算技能的培養(yǎng)，還要讓學(xué)生準(zhǔn)確理解和掌握常用公式、法則及算法·數(shù)學(xué)公式、法則中，有的是運(yùn)算的依據(jù)，說(shuō)明了“為什么可以這樣做”，有的是運(yùn)算方法與步驟，給出了“如何做”的程序·對(duì)公式、法則的掌握程度會(huì)直接影響到解題的質(zhì)量與速度·如果學(xué)生理解不深刻，便會(huì)陷入一種盲目遲鈍的狀態(tài)，出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤·算法其實(shí)是對(duì)問(wèn)題的處理方法，但其間蘊(yùn)含著為什么這樣處理的一般性規(guī)律，我們的教學(xué)要直擊到這些規(guī)律性的東西，這樣才能讓學(xué)生做一題通一類(lèi)·

（3）要梳理常見(jiàn)題型，優(yōu)化解題方法·

笛卡兒說(shuō)：“我們每解一題都要成為以后解題的范例·”個(gè)人覺(jué)得所謂“范例”可以落點(diǎn)在兩個(gè)方面，一是題型，二是方法·解析幾何復(fù)習(xí)中我們要和學(xué)生梳理好常見(jiàn)的題型，筆者將其歸納為基本量求值問(wèn)題、最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題、軌跡問(wèn)題、定點(diǎn)問(wèn)題、定值問(wèn)題等六類(lèi)，我們對(duì)每一類(lèi)問(wèn)題都應(yīng)做好細(xì)致的研究，對(duì)每一類(lèi)問(wèn)題的解法要結(jié)合學(xué)生的解法進(jìn)行梳理、改造，解法的探究必須做到“從學(xué)生中來(lái)，到學(xué)生中去”，要在錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)·錯(cuò)誤是一面鏡子，是解題教學(xué)中重要的教學(xué)資源，它能充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程·我們暴露考試和作業(yè)中學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤，并進(jìn)行討論反思，讓學(xué)生明白每一種方法的優(yōu)點(diǎn)（適用面）和缺點(diǎn)（不適用面），讓學(xué)生的思維走出誤區(qū)，在錯(cuò)誤中“撥亂反正”，從而生成新思維·只有這樣，學(xué)生才能在解題時(shí)根據(jù)具體情況，選擇有效、便捷的方法解決問(wèn)題·就本題而言，有兩點(diǎn)值得關(guān)注：一是要掌握一些比較常用的運(yùn)算技能，如直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題中，知道一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，如何計(jì)算另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)；二是本題為基本量求值問(wèn)題，解完后我們要反思解題的思路，優(yōu)化解題的路徑，是設(shè)點(diǎn)，還是設(shè)斜率，哪個(gè)簡(jiǎn)單，還是都行？對(duì)條件“MP為直徑的圓”是否可以利用圓的幾何性質(zhì)，如何轉(zhuǎn)化這個(gè)條件？如何消參更簡(jiǎn)單、便捷？

三、一點(diǎn)感想

以上是筆者對(duì)該試題作的粗淺分析，是基于事實(shí)與數(shù)據(jù)得出的論斷·教育對(duì)數(shù)據(jù)的使用才剛剛起步，教育的數(shù)據(jù)時(shí)代即將來(lái)臨，通過(guò)技術(shù)的創(chuàng)新與發(fā)展，以及數(shù)據(jù)的全面感知、收集、分析、共享，我們會(huì)有一種全新的研究方法，這樣的研究方法，將推動(dòng)一些習(xí)慣于靠“差不多”運(yùn)行的事情發(fā)生巨大變革·正如哈佛大學(xué)社會(huì)學(xué)教授加里·金對(duì)“大數(shù)據(jù)分析”這樣評(píng)價(jià)：“這是一場(chǎng)革命，龐大的數(shù)據(jù)資源使得各個(gè)領(lǐng)域開(kāi)始了量化進(jìn)程，無(wú)論學(xué)術(shù)界、商界還是政府，所有領(lǐng)域都將開(kāi)始這種進(jìn)程·”將來(lái)我們的教育教學(xué)該是怎樣的，我們目前還不清楚，但我們不應(yīng)只做看客，我們要有整合教學(xué)數(shù)據(jù)的能力，要有探索數(shù)據(jù)背后的價(jià)值和制定精確行動(dòng)綱領(lǐng)的能力，要有進(jìn)行精確快速實(shí)時(shí)行動(dòng)的能力，我們應(yīng)努力做一個(gè)創(chuàng)新的實(shí)踐者·A