☉浙江省臨海市教研室徐世白

從整體出發(fā)認(rèn)識(shí)教材，從認(rèn)知出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)
——以“對(duì)數(shù)運(yùn)算”的幾種教學(xué)設(shè)計(jì)為例

☉浙江省臨海市教研室徐世白

在臺(tái)州市高一數(shù)學(xué)新課程培訓(xùn)會(huì)議上，章建躍博士作了題為《注重?cái)?shù)學(xué)整體性》的專題報(bào)告·報(bào)告會(huì)上，章博士以一種全新的角度對(duì)數(shù)學(xué)的教學(xué)方式作了詮釋，與會(huì)教師都沉浸在章博士的發(fā)言之中·筆者也有幸參加了本次報(bào)告會(huì)，在聆聽的過程中，筆者不時(shí)有茅塞頓開的感覺·章博士提出的新角度，開拓了筆者對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的思維，令筆者受益匪淺·

章博士提出，整體是事物的一種真實(shí)存在形式·數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時(shí)也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識(shí)的前后邏輯關(guān)系上——縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系·

數(shù)學(xué)又是一個(gè)系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)需要系統(tǒng)思維·系統(tǒng)思維就是把認(rèn)識(shí)對(duì)象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地考察認(rèn)識(shí)對(duì)象的一種思維方法·系統(tǒng)思維能極大地簡(jiǎn)化人們對(duì)事物的認(rèn)知·系統(tǒng)思維給我們帶來整體觀、全局觀·培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了養(yǎng)成全面思考問題的習(xí)慣，避免“只見樹木不見森林”，在面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，能把解決問題的目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過程、解決過程的優(yōu)化以及對(duì)問題的拓展、深化等作為一個(gè)整體進(jìn)行研究·這樣“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，成為善于認(rèn)識(shí)和解決問題的人才”才能落在實(shí)處·

但是學(xué)生的學(xué)習(xí)又是循序漸進(jìn)、逐步深入的，概念要逐個(gè)學(xué)，知識(shí)要逐步教·如何處理好這種矛盾，是教學(xué)中的核心問題·以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程為載體，按學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過程，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)認(rèn)識(shí)和解決問題的能力，就顯得尤為重要了·然而在實(shí)際教學(xué)中，不少教師缺乏整體意識(shí)和全局觀，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)系統(tǒng)思維的深刻認(rèn)識(shí)，教學(xué)設(shè)計(jì)往往著眼于點(diǎn)而缺乏全面思考，更有不少教師忽視概念教學(xué)，忽視知識(shí)的形成過程，把概念教學(xué)演繹為解題教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念生吞活剝，缺乏深刻理解，沒法形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這對(duì)學(xué)生的素質(zhì)培養(yǎng)都是極為不利的·

近期筆者在臨海市一所高中調(diào)研，聽了幾節(jié)“對(duì)數(shù)的運(yùn)算”公開課，感覺幾位教師在授課時(shí)，大都能把教學(xué)重、難點(diǎn)落到實(shí)處，但在概念教學(xué)中明顯缺乏全局觀、沒有整體眼光，沒法從數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性和學(xué)生的認(rèn)知入手設(shè)計(jì)教學(xué)·聯(lián)系到張博士的整體性思想，感觸頗深，特整理成文·

一、教學(xué)設(shè)計(jì)1

師：根據(jù)對(duì)數(shù)的定義及對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，你能解答下列問題嗎？

評(píng)析：采用這種教學(xué)設(shè)計(jì)的往往是受過老人教教材滋潤(rùn)的教師.以問題形式提出，通過問題解決的方式達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，是典型的問題式教學(xué)法，即教師首先提出問題，學(xué)生帶著問題自學(xué)教材、分析問題、理解問題、討論問題、解決問題.這種設(shè)計(jì)看似合理，但關(guān)鍵是問題從何而來.提問是數(shù)學(xué)教學(xué)常用的方式，但問題的提出應(yīng)合情合理，符合學(xué)生實(shí)際才不致于突兀.如果問題如同空降，不符合學(xué)生的思維發(fā)展，學(xué)生會(huì)驚訝、佩服，會(huì)以仰視的目光看待教師的教學(xué)，但也會(huì)挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)是無任何裨益的.筆者認(rèn)為，產(chǎn)生這種教學(xué)設(shè)計(jì)的根源是教師找不到更合理的教學(xué)設(shè)計(jì)而不得已采用的.

也有教師在其基礎(chǔ)上作了如下的變式·

師：請(qǐng)研究以下兩組對(duì)數(shù)，思考這三個(gè)對(duì)數(shù)之間有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系，你能得出什么規(guī)律？

（1）log232，log24，log28；（2）log215，log25，log23·

由log232=5，log24=2，log28=3，得log232=log24+log28，而三個(gè)真數(shù)之間滿足32=4×8，于是猜測(cè)（2）的三個(gè)對(duì)數(shù)間也滿足log215=log25+log23，進(jìn)而在猜測(cè)基礎(chǔ)上繼續(xù)教學(xué)設(shè)計(jì)1的教學(xué)·

這個(gè)變式是為了讓問題的提出變得合理，所以從特殊情況入手猜測(cè)一般性結(jié)果，然后證明，體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想·但問題的提出仍然顯得不自然，教師設(shè)計(jì)過分明顯，學(xué)生沒法理解接受·

另外證明時(shí)先設(shè)loga（M·N）=x是為了把對(duì)數(shù)問題化為指數(shù)問題進(jìn)行解決，但不符合學(xué)生實(shí)際，學(xué)生很難想到，不設(shè)x則容易出錯(cuò)·筆者在調(diào)研中，就曾看到有教師在教學(xué)時(shí)出現(xiàn)了下面的錯(cuò)誤證明：由logaM=m，logaN=n，得am=M，an=N，則loga（M·N）=loga（am+n）=m+n，即loga（M·N）= logaM+logaN·

錯(cuò)誤的原因是運(yùn)用了尚未證明的logaMn=nlogaM·教師尚且出錯(cuò)，學(xué)生就不必說了·但如果教師注意到上節(jié)課中的練習(xí)3、4，并且已經(jīng)事先落實(shí)到位，則最后一步的推理是正確的·這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)整體性的重要性·如果沒有落實(shí)到位，也可以令loga（am+n）=x，化為指數(shù)ax=am+n，即得正確的推導(dǎo)過程·

二、教學(xué)設(shè)計(jì)2

師：從指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，你能得出相應(yīng)的對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)嗎？

由于am·an=am+n，設(shè)M=am，N=an，于是M·N=am+n·由對(duì)數(shù)的定義得到logaM=m，logaN=n，loga（M·N）=m+n·這樣，我們就得到對(duì)數(shù)的一個(gè)運(yùn)算性質(zhì)：loga（M·N）=logaM+logaN·同樣可以仿照上述過程，由am÷an=am-n推出logaN·由am=M，（am）n=amn=Mn，化為對(duì)數(shù)式，得logaMn= mn= nlogaM·

評(píng)析：這是2004版人教教材中的引入，由于對(duì)數(shù)是源于指數(shù)，所以教材的設(shè)計(jì)是從指數(shù)的運(yùn)算來推導(dǎo)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，體現(xiàn)了將新問題化歸為舊問題以及從知識(shí)的相互聯(lián)系性思考問題的想法，較符合整體思想，能體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的系統(tǒng)思維，而且證明過程也非常流暢.但在實(shí)際教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)較少有教師用這種引入方式進(jìn)行教學(xué)，為什么呢？個(gè)人感覺從指數(shù)運(yùn)算直接推導(dǎo)對(duì)數(shù)運(yùn)算，雖說符合思維發(fā)展過程，但本質(zhì)是綜合法思想，推導(dǎo)變形時(shí)缺乏目標(biāo)，看似簡(jiǎn)單，實(shí)則困難.所以不符合學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際和認(rèn)知過程，學(xué)生不易掌握，估計(jì)問題就在此吧.

三、教學(xué)設(shè)計(jì)的再思考

對(duì)數(shù)在現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)中處于非常尷尬的地位·在發(fā)明電子計(jì)算機(jī)之前，對(duì)數(shù)對(duì)進(jìn)行冗長(zhǎng)的數(shù)值運(yùn)算是很有用的，它們廣泛地用于天文、工程、航海和測(cè)繪等領(lǐng)域中·所以恩格斯把對(duì)數(shù)的發(fā)明和解析幾何的創(chuàng)始、微積分的建立稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就，伽利略也說過：“給我空間、時(shí)間及對(duì)數(shù)，我就可以創(chuàng)造一個(gè)宇宙·”即使在電子計(jì)算機(jī)廣泛使用的今天，對(duì)數(shù)的一些重要的性質(zhì)仍在廣泛使用中·但是高中學(xué)生感受不到對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)的必要性和重要性，對(duì)學(xué)生而言，對(duì)數(shù)只是必考的知識(shí)，所以雖然能勉強(qiáng)對(duì)付學(xué)習(xí)，但時(shí)間稍長(zhǎng)就什么都忘了·可以說，對(duì)數(shù)是高中教材中學(xué)生掌握得最差且遺忘最快的內(nèi)容·

那么如何解決這個(gè)問題呢？筆者認(rèn)為，對(duì)數(shù)的教學(xué)更應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)的整體性和系統(tǒng)性，把對(duì)數(shù)放到一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中去，讓學(xué)生在知識(shí)的相互聯(lián)系中理解、掌握、記憶、應(yīng)用，這才是合理的教學(xué)思路·

從整體性、系統(tǒng)性的角度來分析本單元內(nèi)容·本章首先學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)，然后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)運(yùn)算，再在此基礎(chǔ)上研究對(duì)數(shù)函數(shù)，三者環(huán)環(huán)相扣·對(duì)數(shù)源于指數(shù)，所以對(duì)數(shù)的概念教學(xué)離不開指數(shù)概念，但對(duì)數(shù)運(yùn)算的教學(xué)直接從指數(shù)運(yùn)算入手就顯得有點(diǎn)牽強(qiáng)·所以如上文所述，教師也很少愿意使用教學(xué)設(shè)計(jì)2進(jìn)行教學(xué)·

那么剩下的可能性就是從對(duì)數(shù)入手研究對(duì)數(shù)運(yùn)算了·從數(shù)學(xué)的整體性和系統(tǒng)性來看，學(xué)習(xí)了新的數(shù)，接下來就要研究它們的運(yùn)算，所以我們會(huì)自然想到兩個(gè)對(duì)數(shù)也應(yīng)該有加、減、乘、除等運(yùn)算，那么在實(shí)際教學(xué)中，我們不妨從兩個(gè)對(duì)數(shù)的加、減運(yùn)算著手研究，此時(shí)又考慮到對(duì)數(shù)的底會(huì)有所不同，所以先把問題特殊化，考慮同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)的加、減運(yùn)算，這樣自然把問題引到同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差運(yùn)算公式的推導(dǎo)上來·即已知logaM、logaN，求logaM+logaN·

由指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，對(duì)數(shù)問題還是得化為指數(shù)進(jìn)行，所以設(shè)logaM=m，logaN=n，有am=M，an=N，運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算法則得am·an=M·N=am+n，化為對(duì)數(shù)式，得loga（M·N）=m+ n，即loga（M·N）=logaM+logaN（*）·這樣推導(dǎo)顯然合情合理，符合學(xué)生的認(rèn)知過程，所以教師教得輕松，學(xué)生學(xué)得自在·同理，設(shè)logaM=m，logaN=n，由指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，化為指數(shù)式有am=M，an=N，由指數(shù)運(yùn)算法則得am÷an=logaN·把n視為正整數(shù)，令（*）中M=N，推廣得nlogaM=礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生自主證明，這樣也符合學(xué)生思維的發(fā)展·

按這種思路繼續(xù)思考，如果對(duì)數(shù)的底數(shù)不同呢？不同底的對(duì)數(shù)能否化為相同的底呢？自然而然地引入對(duì)數(shù)的換底公式，設(shè)logab=x，則b=ax，取對(duì)數(shù)logcb=logcax=生認(rèn)知而一氣呵成·

最后，由指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，我們知道指數(shù)對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)、冪對(duì)應(yīng)真數(shù)，所以在指數(shù)運(yùn)算中指數(shù)相加，在對(duì)數(shù)運(yùn)算中應(yīng)該有對(duì)數(shù)相加，指數(shù)運(yùn)算中的同底數(shù)冪相乘對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)運(yùn)算中的真數(shù)的相乘；在指數(shù)運(yùn)算中指數(shù)相減，在對(duì)數(shù)運(yùn)算中應(yīng)該有對(duì)數(shù)相減，指數(shù)運(yùn)算中的同底數(shù)冪相除對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)運(yùn)算中的真數(shù)相除；指數(shù)運(yùn)算中冪的乘方對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)運(yùn)算中的真數(shù)乘方，指數(shù)運(yùn)算中的乘方數(shù)與指數(shù)相乘對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)運(yùn)算中的乘方數(shù)與對(duì)數(shù)相乘·利用這樣的聯(lián)系來引入對(duì)數(shù)運(yùn)算的教學(xué)，其實(shí)也不失為一種合理的教學(xué)引入方法，同樣符合數(shù)學(xué)的整體性，但考慮到過分抽象，在實(shí)際教學(xué)中難度過大，不符合學(xué)生的實(shí)際，所以可以在完成教學(xué)后揭示這種關(guān)系，幫助學(xué)生形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步加深理解·

上文所述的幾種對(duì)數(shù)運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)，表面上看，只是同樣幾個(gè)步驟在教學(xué)時(shí)的不同組合，實(shí)質(zhì)上則是不同教學(xué)理念在教學(xué)中的體現(xiàn)·在追求教材系統(tǒng)性、整體性的同時(shí)，我們還應(yīng)該考慮學(xué)生的接受能力，盡量符合學(xué)生的認(rèn)知，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知來設(shè)計(jì)教學(xué)，這樣才能真正使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，成為善于認(rèn)識(shí)和解決問題的人才·A