唐 敏, 黃土森

(浙江理工大學理學院, 杭州 310018)

關于平面解析系統(tǒng)的定性結(jié)構(gòu)

唐 敏, 黃土森

(浙江理工大學理學院, 杭州 310018)

首先證明拓撲等價微分系統(tǒng)的兩個性質(zhì),分析了平面解析系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)及其分類的局限性;其次給出平面解析系統(tǒng)定性結(jié)構(gòu)的定義,并根據(jù)拓撲結(jié)構(gòu)和定性結(jié)構(gòu)對非退化平面解析系統(tǒng)的奇點進行分類,結(jié)果表明平面解析系統(tǒng)的定性結(jié)構(gòu)比拓撲結(jié)構(gòu)能更好地刻畫系統(tǒng)的定性行為。這些結(jié)果推廣了平面解析系統(tǒng)奇點理論中的有關結(jié)論,對研究平面解析系統(tǒng)的相圖具有參考價值。

相圖; 拓撲結(jié)構(gòu); 定性結(jié)構(gòu); 分類

0 引 言

微分方程定性理論根據(jù)微分方程本身研究其軌道的全局分布情況,因此,在平面微分系統(tǒng)的定性研究中,確定系統(tǒng)的相圖的信息十分重要[1]。一個微分系統(tǒng)的相圖是指這個微分系統(tǒng)的(定向)軌道的集合[2]。一般地,通過一些有意義的軌道來表示相圖,并且對于正則軌道(即不是奇點的軌道),用一個箭頭來表示其方向[2]。對于一些特別簡單的平面微分系統(tǒng)可以直接畫出其相圖,但絕大部分平面微分系統(tǒng)卻很難直接畫出相圖,因此,要畫出平面微分系統(tǒng)的相圖,一般先研究該系統(tǒng)局部相圖的結(jié)構(gòu),畫出局部相圖,然后構(gòu)造出整個系統(tǒng)的相圖。由于在系統(tǒng)的常點(即非奇點)的軌道的結(jié)構(gòu)是簡單的,而在系統(tǒng)的奇點附近的軌道的結(jié)構(gòu)有可能十分復雜[2],因此,在研究平面微分系統(tǒng)的相圖時,只需研究系統(tǒng)的奇點附近軌道的結(jié)構(gòu)。正由于系統(tǒng)的奇點附近的軌道的結(jié)構(gòu)可能十分復雜,所以往往對原來的系統(tǒng)在奇點進行某種形式的變換,把奇點分成有本質(zhì)區(qū)別的不同類型,這就是相圖的分類問題。目前國內(nèi)外文獻中最常用的相圖分類方式是:拓撲等價分類與拓撲共軛分類[3-4]。

本文首先證明拓撲等價微分系統(tǒng)的兩個性質(zhì),并分析按照拓撲等價分類微分系統(tǒng)是比較粗糙的,因為它不能很好地區(qū)分平面解析系統(tǒng)奇點的類型,比如非退化平面線性微分系統(tǒng)的結(jié)點與焦點屬于同一個拓撲類型,但它們卻具有不同的動力學行為。為了能更好地對微分系統(tǒng)進行分類,需引進其他的分類方法。文獻[5]研究了非退化平面線性微分系統(tǒng),認為拓撲結(jié)構(gòu)與定性結(jié)構(gòu)是兩個不同的概念,但沒有給出定性結(jié)構(gòu)的嚴格定義。目前國內(nèi)外的文獻還沒有給出平面解析系統(tǒng)定性結(jié)構(gòu)的嚴格定義。如果有軌道進入奇點,那么只能以螺旋形進入或沿固定方向進入。本文將根據(jù)平面解析系統(tǒng)的這個特征,給出平面解析系統(tǒng)定性結(jié)構(gòu)的嚴格定義,并按照拓撲結(jié)構(gòu)和定性結(jié)構(gòu)分別對非退化平面解析系統(tǒng)的奇點進行分類,并進行分析。

1 平面系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)

令

x=f(u,v),y=g(u,v)

(1)

(2)

b)T在G的每個點上是連續(xù)的;

則把T稱為uv平面到xy平面的拓撲坐標變換。

定義1.2[4]稱T為uv平面到xy平面的正則坐標變換,如果函數(shù)組f,g在G的每個點具有直到p≥1的連續(xù)偏導數(shù),且滿足

特別地,如果函數(shù)組f、g是Cp(或解析)類的,則稱相應的正則映射是Ck(或解析)類的。

值得注意的是在平面微分系統(tǒng)的定性研究中,常用的極坐標變換

x=rcosθ,y=rsinθ

在含原點的區(qū)域中不是一個拓撲變換。

Andronov等[4]指出一個區(qū)域或集合上的平面微分系統(tǒng)的定性性質(zhì)是指該系統(tǒng)的軌道、軌道的集合以及相圖在拓撲映射下保持不變的那些性質(zhì),同時用間接的方法定義平面系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu),即不去定義(實際上也難以定義)什么是一個平面微分系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu),而是定義何時兩個平面微分系統(tǒng)具有相同的拓撲結(jié)構(gòu),由此可以對平面微分系統(tǒng)進行分類。

定義1.3[4]給定兩個平面微分方程組

(3)

與

(4)

它們分別定義在平面區(qū)域G1與G2上。稱系統(tǒng)(3)與(4)的相圖分別在G1與G2上具有相同的拓撲結(jié)構(gòu),如果存在G1到G2上的一個映射T,滿足下面的三個條件:

a)T是一個拓撲映射;

b) 若G1中的兩個點位于系統(tǒng)(3)的同一軌道上,則它們在T下的象位于系統(tǒng)(4)的同一軌道上;

c) 若G2中的兩個點位于系統(tǒng)(4)的同一軌道上,則它們在T-1下的象位于系統(tǒng)(3)的同一軌道上。

滿足條件a)、b)和c)的一個映射稱為從系統(tǒng)(3)到系統(tǒng)(4)的保軌道映射。

把滿足定義1.3中的兩個微分系統(tǒng)(3)與(4)通常稱為是拓撲等價的,并且拓撲映射T一般不能保持時間參數(shù)不變。如果T還保持時間參數(shù)不變,則稱兩個微分系統(tǒng)是拓撲共軛的[2-3]。下面給出具有相同拓撲結(jié)構(gòu)的兩個微分系統(tǒng)的一個性質(zhì)。

定理1.4 如果兩個微分系統(tǒng)具有相同的拓撲結(jié)構(gòu),則它們的奇點的個數(shù)及閉軌的個數(shù)是相同的。

證明:令φ(t,(x,y))與ψ(t,(x,y))分別為系統(tǒng)(3)與(4)生成的流。因為系統(tǒng)(3)與(4)具有相同的拓撲結(jié)構(gòu),所以存在單調(diào)的時間函數(shù)α(t,(x,y))使得

T°φ(t,(x,y))=ψ(α(t,(x,y)),T(x,y)),

其中,T°φ(t,(x,y))表示T與φ(t,(x,y))的復合[3]。若(x0,y0)是系統(tǒng)(3)的一個奇點,則對任意的t∈R使得φ(t,(x0,y0))=(x0,y0),于是對任意的t∈R使得

T(x0,y0)=ψ(α(t,(x0,y0)),T(x0,y0))。

所以T(x0,y0)是系統(tǒng)(4)的奇點;反之,由于T是一個同胚映射,同理可證:若(x0,y0)是系統(tǒng)(4)的一個奇點,則T-1(x0,y0)是系統(tǒng)(3)的奇點。故系統(tǒng)(3)與(4)的奇點的個數(shù)是相同的。其次,如果φ(t,(x0,y0))是系統(tǒng)(3)的一條閉軌道,即存在一個實數(shù)τ>0使得

φ(τ,(x0,y0))=(x0,y0)。

從而

T°φ(τ,(x0,y0))=T(x0,y0)。

于是

ψ(α(τ,(x0,y0)),T(x0,y0))=

ψ(α(0,(x0,y0)),T(x0,y0)),

這表明存在t1=α(0,(x0,y0))及t2=α(τ,(x0,y0))使得

ψ(t2,T(x0,y0))=ψ(t1,T(x0,y0)),

綜上,系統(tǒng)(3)與(4)奇點個數(shù)及閉軌個數(shù)相同。

另外,注意到定義1.3中的拓撲映射T并不要求保持兩個系統(tǒng)軌道的方向是一致的,但在文獻[2-3]中拓撲等價還要求拓撲映射T保持兩個系統(tǒng)軌道的方向也是一致的?？赡艽嬖谶@樣的兩個系統(tǒng),保軌道映射能保證區(qū)域中的一部分軌道的方向一致,在剩下部分的區(qū)域中的軌道的方向是相反的。例如考察下面的兩個系統(tǒng)

(5)

(6)

其中G1=G2=R2。取恒等映射為保軌道映射T,則在單位圓外保持軌道的方向一致,而在單位圓內(nèi)軌道的方向相反,這里單位圓周上的點及原點為奇點。

然而當系統(tǒng)的奇點個數(shù)為有限時,可以證明不會出現(xiàn)這種情形。

雖然定義1.3中的兩個微分系統(tǒng)的軌道一般都是光滑的(即具有一階連續(xù)的導數(shù),只要兩個系統(tǒng)的右端函數(shù)是連續(xù)的),但不能保證保軌道映射是光滑的。

定理1.5 考慮下面的兩個線性系統(tǒng)

(7)

與

(8)

則它們是拓撲等價的,但保軌道映射T在奇點不可微。

證明:因為t=0時,式(7)過(x0,y0)的解為

熱浸鍍是一種用途極廣的金屬材料表面改性技術。它可顯著提高金屬材料表面的耐蝕性，提高耐高溫氣蝕，抗氧化或者耐磨性,還可使金屬制品表面均勻光潔，具有良好的裝飾作用[1]。關于熱浸鍍鋁,德國人在 1893年發(fā)表了論文，隨后人們相繼發(fā)明了多種鋼材熱浸鍍鋁工藝。1939年，美國阿姆科鋼鐵公司首先采用森吉米爾法實現(xiàn)了帶鋼連續(xù)熱鍍鋁硅合金的工業(yè)化生產(chǎn)。1952年，美國通用汽車公司又實現(xiàn)了熔融熔劑法熱浸鍍鋁的工業(yè)化生產(chǎn)，到 60年代，熱浸鋁鋼材的生產(chǎn)與應用幾乎遍及所有工業(yè)發(fā)達的國家。由于鍍鋁鋼材可應用于含硫和含氯的氣氛中，可代替某些不銹鋼，因此，近年來熱浸鍍鋁鋼材的應用日益廣泛[2]。

(9)

式(8)過(u0,v0)的解為

(10)

先證明系統(tǒng)(7)與(8)是拓撲等價的。實際上,在xy平面與uv平面中分別取單位圓周

Cxy={(x,y)|x2+y2=1}與Cuv={(u,v)|

u2+v2=1}。

任取(x0,y0)∈Cxy,令(u0,v0)=(x0,y0),并構(gòu)造xy平面到uv平面的映射T如下:

a)T(0,0)=(0,0);

b) 當x0y0≠0時,(u,v)=T(x,y),其中

c) 當x0y0=0時,可同理定義(u,v)=T(x,y)。

則可以證明映射T是一個系統(tǒng)(7)到(8)的識別映射,因此,系統(tǒng)(7)與系統(tǒng)(8)是拓撲等價的。

再證系統(tǒng)(7)到系統(tǒng)(8)的任何保軌道映射都不是C1。實際上,由于(7)的兩個特征值分別為λ1與λ2,而(8)的兩個特征值分別為α±iβ,顯然它們不對應成比例,故系統(tǒng)(7)與(8)的任何保軌道映射在奇點是不可能可微的。

由定理1.5可知:兩個微分系統(tǒng)雖然可以具有相同的拓撲結(jié)構(gòu),但它們之間的任何保軌道映射可以不具有可微性。

在微分系統(tǒng)的局部定性研究中,只需要考慮局部拓撲結(jié)構(gòu)。令P0是平面微分系統(tǒng)

(11)

定義域G的一個內(nèi)點,P0可以是一個奇點,也可以是一個常點。

這樣的一個區(qū)域W0稱為系統(tǒng)(9)的局部拓撲結(jié)構(gòu)區(qū)域(或鄰域)。

由平行化定理可知,在常點的局部拓撲結(jié)構(gòu)是簡單的,即從拓撲上講就是平行線。至于在奇點,其局部拓撲結(jié)構(gòu)可能是十分復雜的,有的系統(tǒng)甚至在上述意義下可能沒有局部拓撲結(jié)構(gòu)。

例1.7 考慮下面的平面系統(tǒng)

C1:x2+y2=32,C2:x2+y2=22,

使得在C2k-1與C2k之間沒有極限環(huán),而在C2k與C2k+1之間恰有k個極限環(huán)。則這個系統(tǒng)在定義1.6意義下奇點O是不具有局部拓撲結(jié)構(gòu)。

然而,對于解析系統(tǒng)而言的任何奇點總是具有局部拓撲結(jié)構(gòu)的,但是難以用直接的方法來定義一個奇點的局部拓撲結(jié)構(gòu)的具體含義,而一般用下面的間接的方法來定義。由于是局部的,這里的保軌道映射不一定映整軌道到整軌道,而是允許映軌道段到軌道段。

定義1.8 令P1與P2分別是系統(tǒng)(3)與(4)的具有局部拓撲結(jié)構(gòu)的兩個點(可以是奇點,也可以使正則點)。稱系統(tǒng)(3)與(4)在這兩個點的局部拓撲結(jié)構(gòu)是相同的,如果分別存在P1與P2的鄰域W1與W2及映射

T:W1→W2

使得T(P1)=P2且軌道弧對應于軌道弧段。

2 平面解析系統(tǒng)的定性結(jié)構(gòu)

正如前面的定理1.5所表達的,對于非退化平面線性微分系統(tǒng)的焦點與結(jié)點,它們的拓撲結(jié)構(gòu)是相同的,然而從動力學上看,它們顯然有本質(zhì)的區(qū)別。因此在有些文獻,比如文獻[5]中,認為平面微分系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)與定性結(jié)構(gòu)是不同的。正如定義1.3或定義1.6那樣,兩個平面微分系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)是否相同可以通過一個拓撲映射來定義。至于如何定義兩個平面微分系統(tǒng)的定性結(jié)構(gòu)是否相同,就作者所知,目前國內(nèi)外文獻還沒有嚴格的定義,大多數(shù)文獻中就某兩個具體的微分系統(tǒng)討論它們是否具有相同的定性結(jié)構(gòu),比如對非退化平面線性微分系統(tǒng),焦點、結(jié)點(包括正常結(jié)點、退化結(jié)點與臨界結(jié)點)具有相同的拓撲結(jié)構(gòu),但它們具有不同的定性結(jié)構(gòu)[5]。

下面對平面解析系統(tǒng),利用文獻[2,5]中的一個結(jié)果給出其定性結(jié)構(gòu)的嚴格定義。

命題2.1[2,5]若原點O(0,0)是式(7)的奇點,即X(0,0)=Y(0,0)=0,且設X(x,y),Y(x,y)在原點的一個鄰域U中是解析的。則式(11)如果有軌道進入奇點O(0,0),它只能螺旋形地進入或沿固定方向進入。

定義2.2 定兩個平面解析系統(tǒng)

(12)

與

(13)

設P1與P2分別是式(12)與(13)的孤立奇點,且在它們的鄰域中有定義。稱系統(tǒng)(12)與(13)在P1與P2具有相同的定性結(jié)構(gòu),如果滿足下面兩個條件:

a) 它們在定義1.6意義下具有相同的拓撲結(jié)構(gòu),記保軌道段映射為T;

b) 系統(tǒng)(12)的一條軌道段沿固定方向趨于P1當且僅當在映射T下對應于系統(tǒng)(13)的軌道段沿固定方向趨于P2;等價地,系統(tǒng)(12)的一條軌道段螺旋形地趨于P1當且僅當在映射T下對應于系統(tǒng)(13)的軌道段螺旋形地趨于P2。

命題2.1表明,上面的定義是合理的。有了定性結(jié)構(gòu)的嚴格定義以后,類似于根據(jù)拓撲結(jié)構(gòu)對平面系統(tǒng)進行拓撲分類,現(xiàn)在可以利用定性結(jié)構(gòu),也可以對平面解析系統(tǒng)進行分類。

考慮平面非退化的解析系統(tǒng)

(14)

其中a、b、c、d是實數(shù),且ad-bc≠0,而Φ(0,0)=ψ(0,0)=0。顯然原點O(0,0)是孤立奇點,并且

是系統(tǒng)(14)的特征方程。若令p=-(a+d),q=ad-bc,則D(λ)=λ2+pλ+q=0,該方程的根

稱作系統(tǒng)(14)的特征根。

由于對任何n階常系數(shù)線性系統(tǒng),當特征根實部k個為負,n-k個為正(k=0,1,…,n),對固定的k,它們的軌道的拓撲結(jié)構(gòu)都相同[5],因此當按拓撲結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)(14)的奇點進行分類時,只有以下三種不同的類型:

a) 若λ1、λ2的實部同號,則系統(tǒng)(14)的焦點或結(jié)點為一類;

b) 若λ1、λ2的實部異號,則(14)的鞍點為一類;

c) 若λ1、λ2的實部均為零,則(14)的中心為一類。

由a)可知,當按拓撲結(jié)構(gòu)來分類系統(tǒng)(14)時,不能把系統(tǒng)的焦點與結(jié)點區(qū)分開來。然而,從動力學的角度來看,焦點與結(jié)點是不同的,因此按照拓撲結(jié)構(gòu)來分類系統(tǒng)(14)是比較粗糙的。現(xiàn)按定義2.2的定性結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)(14)的奇點進行分類,則它的奇點可分為下面六種不同的類型:

a) 若λ1,λ2為兩個不同的實根且同號,則存在兩條不同的直線,使得系統(tǒng)(14)的奇點附近的所有軌道都沿確定的方向進入(或離開)奇點,并且只有兩條軌道沿兩條直線中的一條所確定的方向相向進入(或離開)奇點,剩下的所有軌道沿另外一條直線所確定的方向進入(或離開)奇點,稱這樣的奇點為正常結(jié)點;

b) 若λ1,λ2為兩個相同的實根,且初等因子為單時,則對過奇點的任意直線,有且僅有系統(tǒng)(14)的奇點附近的兩條軌道沿這條直線所確定的方向相向進入(或離開)奇點,稱這樣的奇點為臨界結(jié)點;

c) 若λ1,λ2為兩個相同的實根,且初等因子為重時,則存在一條直線,使得系統(tǒng)(14)的奇點附近的所有軌道只可能沿這條直線所確定的方向進入(或離開)奇點,稱這樣的奇點為退化結(jié)點;

d) 若λ1,λ2為兩個異號的實根,則存在過奇點的兩條直線與系統(tǒng)(14)的奇點附近的四條軌道,使得其中的兩條軌道沿其中的一條直線所確定的方向相向進入(或離開)奇點,而另外兩條軌道沿另一條直線所確定的方向相向離開(或進入)奇點,稱這樣的奇點為鞍點;

e) 若λ1,λ2為兩個共軛的復特征根,且實部非零,則系統(tǒng)(14)的奇點附近的所有軌道只能螺旋形地進入(或離開)奇點,稱這樣的奇點為焦點;

f) 若λ1,λ2為兩個共軛的純虛根,則系統(tǒng)(14)的奇點附近的所有軌道或者都是閉的,或者所有軌道只能螺旋形地進入(或離開)奇點,出現(xiàn)前者稱為中心,出現(xiàn)后者稱為細焦點。關于中心與細焦點的區(qū)分問題稱為穩(wěn)定性問題,雖然理論上已經(jīng)解決,但對一個具體的系統(tǒng)要區(qū)分它們?nèi)杂写^續(xù)研究的課題。

通過上面的分析可知,雖然焦點、正常結(jié)點、退化結(jié)點、臨界結(jié)點具有相同的拓撲結(jié)構(gòu),但它們卻具有不同的定性結(jié)構(gòu),并且軌道的動力學行為存在很大的差別。所以按定性結(jié)構(gòu)對平面非退化的解析系統(tǒng)的奇點進行分類比拓撲結(jié)構(gòu)進行分類更加精細,從而能夠更好地刻畫系統(tǒng)的動力學行為。至于一般的平面解析系統(tǒng)的奇點(特別是退化奇點)的定性結(jié)構(gòu)分類問題仍有待繼續(xù)研究,但下面的結(jié)果表明這樣的類型只有有限多個。

命題2.3[2,5]設O(0,0)是系統(tǒng)(11)的具有局部拓撲結(jié)構(gòu)的孤立奇點,則存在O(0,0)的一個鄰域Sδ(O),使得在Sδ(O)的閉包內(nèi)的雙曲扇形與拋物扇形的個數(shù)是有限的,從而橢圓扇形的個數(shù)也是有限的。

定理2.4 設O(0,0)是系統(tǒng)(11)的具有局部拓撲結(jié)構(gòu)的孤立奇點,則奇點O(0,0)僅有有限種不同類型的定性結(jié)構(gòu)。

證明 由定義1.6與命題2.4立即得到。

3 結(jié) 論

微分方程定性理論的基本思想是根據(jù)微分系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與特點,用盡可能簡單的方法來確定其軌線的分布圖形,即對微分系統(tǒng)的軌線作“全局”分布的研究。這必須解決三個問題:奇點附近軌線的結(jié)構(gòu)、經(jīng)過奇點的分界線的去向、極限環(huán)的個數(shù)及相對位置。為研究奇點附近軌線的結(jié)構(gòu),通常用拓撲變換法對系統(tǒng)的奇點進行拓撲分類,使得屬于同一類的奇點具有相同的拓撲結(jié)構(gòu)。但正如本文中所分析的那樣,雖然拓撲等價系統(tǒng)具有相同個數(shù)的奇點與極限環(huán)(見定理1.4),但由于這樣的拓撲變換可能是不可微的(見定理1.5),所以在使用上是不方便的;同時平面非退化線性系統(tǒng)的焦點與結(jié)點屬于同一個拓撲類型,因此在這個意義下對奇點進行拓撲分類是比較粗糙的,它不能很好地區(qū)分系統(tǒng)奇點的動力學行為。為了能更好地對微分系統(tǒng)的奇點進行分類,本文根據(jù)平面解析系統(tǒng)如果有軌道進入奇點只能螺旋形地進入或沿固定方向進入這個特征給出了平面解析系統(tǒng)定性結(jié)構(gòu)的定義,并按照拓撲結(jié)構(gòu)和定性結(jié)構(gòu)分別對平面非退化解析系統(tǒng)的奇點進行分類,結(jié)果是:按照拓撲結(jié)構(gòu)可以分為三類,其中焦點與結(jié)點屬于同一類;按照定性結(jié)構(gòu)可以分為六類,把焦點、正常結(jié)點、退化結(jié)點與臨界結(jié)點區(qū)分開來。這表明,對于平面非退化解析系統(tǒng),按定性結(jié)構(gòu)進行分類比按照拓撲結(jié)構(gòu)進行分類能更好地刻畫系統(tǒng)的動力學行為。至于一般的平面解析系統(tǒng)的奇點(特別是退化奇點)的定性結(jié)構(gòu)分類問題仍有待繼續(xù)研究。

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[5] 張芷芬, 丁同仁, 黃文灶, 等. 微分方程定性理論[M]. 北京: 科學出版社, 1985: 19-96.

(責任編輯： 康 鋒)

Analysis on Qualitative Framework of Planar Analysis System

TANGMin,HUANGTu-sen

(School of Sciences, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

This paper firstly proves 2 properties of topological equivalence differential systems, and analyzes topological structure of planar analytic system and limitations of its classification; and then gives the definition of qualitative framework of planar analytic system, and makes classification according to the singular points of topological structure and qualitative framework on non-degenerating planar analytic system. The result shows that the qualitative framework of planar analytic system can better depict qualitative behavior of system compared with topological structure. Those results popularize relevant conclusions in singular point theory of planar analytic system, and have reference value to research on phase diagram of planar analytic system.

phase diagram; topological structure; qualitative framework; classification

1673- 3851 (2015) 01- 0140- 06

2014-03-10

國家自然科學基金項目(10871181,11101370)

唐 敏(1990-),女,貴州普安人,碩士研究生,主要從事微分方程定性理論方面的研究。

O175.14

A