孫 耿

(江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院, 南昌 330022)

關(guān)于馬約拉納準(zhǔn)粒子量子態(tài)變換問題的研究

孫 耿

(江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院, 南昌 330022)

討論量子點(diǎn)與馬約拉納粒子耦合量子態(tài)的變換問題。首先介紹了馬約拉納費(fèi)米子及其性質(zhì);然后引入量子態(tài)的Bloch球表示以及轉(zhuǎn)動(dòng)算符,通過量子操控技術(shù)實(shí)現(xiàn)量子態(tài)繞z軸的任意角旋轉(zhuǎn)及繞xoy平面的任意軸π旋轉(zhuǎn);最后通過數(shù)學(xué)方法證明了2個(gè)和4個(gè)馬約拉納粒子與量子點(diǎn)構(gòu)成的體系不能實(shí)現(xiàn)繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)任意角。

馬約拉納準(zhǔn)粒子; Bloch球; 量子點(diǎn); 轉(zhuǎn)動(dòng)算符

0 引 言

量子力學(xué)是21世紀(jì)的兩大理論物理支柱之一,基于量子力學(xué)發(fā)展起來的量子信息科學(xué)是當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。量子信息是關(guān)于量子系統(tǒng)“狀態(tài)”所帶有的物理信息,它是計(jì)算機(jī)、信息科學(xué)與量子物理相結(jié)合而產(chǎn)生的新興交叉學(xué)科[1]。馬約拉納費(fèi)米子是量子信息科學(xué)中一類重要的準(zhǔn)粒子,但是這類準(zhǔn)粒子至今尚未有確切的實(shí)驗(yàn)證明它的存在,科學(xué)家們一直在努力尋找它的藏身之處。Flensberg[2]通過單電子控制研究馬約拉納粒子上的非阿貝爾操作,研究了馬約拉納算符單次及連續(xù)作用兩次量子態(tài)的變換問題;Leijnse等[3]通過馬約拉納系統(tǒng)研究拓?fù)浜妥孕孔颖忍亻g的量子信息傳輸問題,并研究了量子點(diǎn)的自旋。本文將在此基礎(chǔ)上,討論馬約拉納算符連續(xù)作用多次量子態(tài)的變換問題,并運(yùn)用數(shù)學(xué)手段進(jìn)行了證明。

1 馬約拉納費(fèi)米子

自然界中已知存在的有兩類粒子:玻色子(如光子、介子)和費(fèi)米子(如電子、質(zhì)子),其中玻色子是自旋為整數(shù)的粒子,它服從玻色—愛因斯坦統(tǒng)計(jì);費(fèi)米子是自旋為半奇數(shù)的粒子,它服從費(fèi)米—狄拉克統(tǒng)計(jì)。1937年,意大利物理學(xué)家埃托雷·馬約拉納根據(jù)量子力學(xué)原理推斷出,自然界可能存在一類特殊的費(fèi)米子,它的反粒子是其本身,這類粒子就是馬約拉納費(fèi)米子。最近幾年的實(shí)驗(yàn)研究成果表明[2-3],馬約拉納費(fèi)米子很可能存在于拓?fù)涑瑢?dǎo)體的邊緣,在準(zhǔn)粒子激發(fā)過程中可能被檢測(cè)到。

馬約拉納粒子的拓?fù)湫螒B(tài)如圖1所示,拓?fù)浣^緣體TS的兩端有兩個(gè)馬約拉納費(fèi)米子M1、M2。

圖1 馬約拉納粒子的拓?fù)湫螒B(tài)

兩個(gè)馬約拉納粒子構(gòu)成一個(gè)普通的費(fèi)米子,馬約拉納算符用

γ

1

和

γ

2

表示,

?

分別是費(fèi)米子的產(chǎn)生算符和湮滅算符,

γ

1

、

γ

2

和

?

之間的關(guān)系可由下式表示:

(1)

(2)

結(jié)合式(1)、(2),可以得到:

(3)

(4)

σx、σy分別作用|0〉和|1〉兩個(gè)態(tài)上,那么:

(5)

(6)

(7)

(8)

根據(jù)式(3)、(5)-(8),可以看到γ1相當(dāng)于σx作用,γ2相當(dāng)于σy作用,所以:

(9)

2 量子態(tài)的Bloch球表示及轉(zhuǎn)動(dòng)算符

為了討論量子態(tài)的旋轉(zhuǎn)變換問題,下面來介紹一下量子態(tài)的Bloch球表示以及轉(zhuǎn)動(dòng)算符的定義。在量子信息理論中,量子態(tài)可以定義成二維復(fù)空間的矢量。假設(shè)|ψ〉表示任意的一個(gè)量子態(tài),Bloch球可由式(10)表示[4]:

(10)

球面上任意一點(diǎn)(r,θ,φ)對(duì)應(yīng)一個(gè)量子態(tài),并且r=1,即Bloch球是半徑為1的單位球。

再引入轉(zhuǎn)動(dòng)算符Rn(φ)表示繞n軸轉(zhuǎn)動(dòng)φ角的算符[5],

(11)

由于量子態(tài)有相因子不確定性,如果定義算符U=eiγRn(φ),它與轉(zhuǎn)動(dòng)算符Rn(φ)有著相同的作用效果。

3 兩個(gè)馬約拉納粒子與量子點(diǎn)耦合

馬約拉納粒子M1與量子點(diǎn)D的耦合,通過電壓Vg控制耦合系數(shù)V,耦合示意如圖2所示。

圖2 馬約拉納粒子M1與量子點(diǎn)D的耦合

量子點(diǎn)D與馬約拉納粒子M1耦合的Hamilton量形式如下:

(12)

(13)

同樣,量子點(diǎn)D與馬約拉納粒子M2耦合,對(duì)應(yīng)的哈密頓量為:

(14)

則γ2對(duì)量子態(tài)進(jìn)行操控可表示為:

(15)

兩個(gè)馬約拉納粒子M1、M2與同一個(gè)量子點(diǎn)D耦合,耦合系數(shù)分別為V1、V2,如圖3所示。

圖3 兩個(gè)馬約拉納粒子與同一個(gè)量子點(diǎn)耦合

耦合的哈密頓量形式可表示為:

(16)

通過系數(shù)配置,Hamilton可以寫成[4]:

(17)

(18)

其中,nxy=(a,b,0),nxy表示xoy平面的轉(zhuǎn)動(dòng)軸。如果連續(xù)作用兩次,那么:

(19)

其中,a2+b2=1,a′2+b′2=1,(aa′+bb′)2+(a′b-ab′)2=1。

設(shè)

(20)

(21)

可以觀察到,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),主對(duì)角線元素為0,副對(duì)角元素互為共軛;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),主對(duì)角線元素互為共軛,副對(duì)角元素為零。

(22)

其中,ξi、ηi均為實(shí)數(shù)。

而繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)φ角Rnx(φ)、繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)φ角Rny(φ)分別表示為:

(23)

(24)

比較式(21)—(23)可以發(fā)現(xiàn),無論n是奇數(shù)還是偶數(shù),都不符合Rnx(φ)、Rny(φ)的矩陣形式,故量子態(tài)繞x軸y軸轉(zhuǎn)動(dòng)任意的角不能實(shí)現(xiàn)。

4 四個(gè)馬約拉納粒子與量子點(diǎn)耦合

圖4 四個(gè)馬約拉納粒子與量子點(diǎn)耦合示意圖

|…〉M12表示M1、M2兩個(gè)馬約拉納粒子構(gòu)成的費(fèi)米子所處的態(tài),|…〉M34表示M3、M4構(gòu)成的費(fèi)米子所處的態(tài)。

(25)

γ1、γ2、γ3、γ4在基矢{|0〉M12|0〉M34,|0〉M12|1〉M34,|1〉M12|0〉M34,|1〉M12|1〉M34}的矩陣表示如下:

(26)

{|0〉M12|0〉M34,|1〉M12|1〉M34}為偶宇稱基矢,{|0〉M12|1〉M34,|1〉M12|0〉M34}為奇宇稱基矢,γ1、γ2、γ3、γ4在even-odd空間的矩陣表示如下:

(27)

整個(gè)馬約拉納體系的Hamilton為:

(28)

如果關(guān)閉D3、D4,只讓D1、D2作用,那么:

(29)

(30)

(31)

下面證明無論是奇空間還是偶空間都不能四個(gè)馬約拉納粒子體系實(shí)現(xiàn)繞x軸和y軸的任意旋轉(zhuǎn)。

設(shè):

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),

(33)

(34)

觀察上面矩陣的特點(diǎn),再與式(22)、(23)比較,不管如何設(shè)定系數(shù),均不滿足Rnx(φ)、Rny(φ)的形式,故不能用四個(gè)馬約拉納體系來實(shí)現(xiàn)繞x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)任意角度。

5 結(jié) 論

以上結(jié)果表明,不管是一維空間還是二維空間的偶空間(或奇空間),量子態(tài)通過馬約拉納與量子點(diǎn)的耦合系統(tǒng)只能實(shí)現(xiàn)z軸旋轉(zhuǎn)任意的角度和繞著xoy平面任意軸π轉(zhuǎn)動(dòng),不能實(shí)現(xiàn)繞著x軸和y軸任意的角度旋轉(zhuǎn),如果初始的態(tài)位于球面上的一點(diǎn)(r,θ,φ),只能變換到點(diǎn)(r,π-θ,φ′)所表示的態(tài),也就說末態(tài)方位角φ可以是任意的,而極角θ受初始的態(tài)限制,從而不能用馬約拉納算符作用讓量子態(tài)從Bloch球上的一個(gè)態(tài)變換到任意一個(gè)態(tài)。

本文討論了普遍情況下馬約拉納算符連續(xù)作用量子態(tài)的變換問題,并通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)邏輯論證,遺憾的是并不能用這個(gè)體系來實(shí)現(xiàn)量子態(tài)從Bloch球上的一個(gè)態(tài)變換到任意一個(gè)態(tài)。理論研究前提是假設(shè)馬約拉納粒子的存在,實(shí)驗(yàn)上并未發(fā)現(xiàn)這種粒子,如果真找到了馬約拉納費(fèi)米子,拓?fù)淞孔佑?jì)算將成為可能,量子計(jì)算機(jī)的時(shí)代即將到來,這將是信息科學(xué)的一次重大革命。

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(責(zé)任編輯： 康 鋒)

Study on the Problem of Quantum State Transformation based on Majorana Quasiparticles

SUNGeng

(College of Physics and Communication Electronics, Jiangxi Normal University, Nanchang 330022, China)

The problem of quantum state transformation of quantum dots coupling with Majorana Quasiparticles is discussed in this article. Firstly, Majorana fermion and its nature is introduced; then Bloch sphere expression of quantum states and rotation operator are introduced, and quantum states rotating in an arbitrary angle along z-axis and along an arbitrary—πonxoy-plane is realized via quantum control technology; finally, it is proved with mathematical method that a system comprising two and four Majorana particles and quantum dots cannot realize rotation in an arbitrary angle alongx-axis andy-axis.

Majorana quasiparticles; Bloch sphere; quantum dots; rotation operator

1673- 3851 (2015) 01- 0104- 05

2014-03-29

孫 耿(1988-),男,浙江臺(tái)州人,碩士研究生,主要從事量子信息和計(jì)算方面的研究。

O413.1

A