程相文， 洪偉

（河北聯(lián)合大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山 063009）

0 引言

滯回非線性是很常見的系統(tǒng)非線性特性，常用于描述位移或應(yīng)力和應(yīng)變力、材料的力和速度之間的滯后關(guān)系。在振動(dòng)利用工程中具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景［1］。

非線性系統(tǒng)的滯回模型種類很多，大致可以分為分段直線型滯回模型和曲線型滯回模型兩大類，下面對這兩種類型中常用的模型作簡單介紹。

圖1 干摩擦理想模型

1 分段直線滯回模型

1.1 干摩擦理想模型

Den Hartog［2-3］在1931年按能量耗散相等原則用等效黏性阻尼力替代干摩擦力，發(fā)展成了等效線性化方法，同時(shí)提出了最簡單的滯回非線性的模型—干摩擦理想模型，其表達(dá)式為

干摩擦力與速度、位移的關(guān)系可用圖1表示。干摩擦力方向與速度方向相反，為一個(gè)常數(shù)，圖中的矩形面積就是一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的能量損耗。C.W.Stammers對半主動(dòng)干摩擦系統(tǒng)的振動(dòng)控制進(jìn)行了研究，干摩擦力在質(zhì)量控制中的應(yīng)用取代了只能作用于相反方向的彈性力。干摩擦阻尼器可以用來模擬黏性阻尼器［4］。王華中等［5］以理想的干摩擦模型為基礎(chǔ)，對摩擦力的分布情況進(jìn)行了分析，得出了摩擦力方向判斷及大小計(jì)算的方法。

1.2 雙線性模型

Iwan WD于1961年在干摩擦模型的基礎(chǔ)上，提出了雙線性模型［6］，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

滯后曲線可分解彈性和遲滯兩部分，如圖2所示。這個(gè)模型可以描述系統(tǒng)干摩擦?xí)r的情況，能夠?qū)鼗鼐€進(jìn)行較好的近似。具有簡單的表現(xiàn)形式、少量的物理參數(shù)識別、明確的物理意義等特點(diǎn)。

圖2 雙線性模型

胡海巖［7］提出的記憶力模型，是通過實(shí)驗(yàn)對雙線性模型進(jìn)行了改進(jìn)，此模型的提出，為非線性隔振器的研究提供了方便。R.Y.Tan［8］提出了一個(gè)驗(yàn)證算法來研究鉛橡膠基座高速公路橋隔振系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。用線性模型來表示底座構(gòu)造，用雙線性滯回模型表示支承體系，并且通過一個(gè)數(shù)值實(shí)例說明了驗(yàn)證過程和算法的可行性。白鴻柏等運(yùn)用Floquet理論解決了滯回非線性系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性分析問題［9-10］。

圖3 Caughy雙線性滯回模型曲線

1.3 Caughy雙線性模型

Caughy［11］于 1960年提出了最早的最簡單的對稱的雙線性滯回模型，其中系統(tǒng)的力—位移曲線由線段組成，如圖3所示。

2個(gè)線性彈簧及庫侖阻尼組合成了它的物理系統(tǒng)，此模型可用來研究振動(dòng)壓實(shí)過程中的不對稱滯回模型。

1.4 Neilsen退化雙線型模型

Neilsen提出的退化雙線模型常用于鋼材，如圖4所示。圖中的數(shù)字表示不同的作用力下的路線變化。

圖4 Neilsen退化雙線型

其中卸載曲線的斜率Ky表達(dá)式為

式中：xy為正負(fù)加載的屈服變形的絕對值；K為在變形x

圖5 Clough退化雙線型曲線

2.5 Clough退化雙線型模型

這個(gè)滯回曲線模型的提出，主要是為了研究鋼筋混凝土構(gòu)件，如圖5所示。圖5中數(shù)字與圖4中的具有相同意義，退化剛度按照最近一次反向變形的最遠(yuǎn)點(diǎn)來計(jì)算，例如路線7的斜率由J、C兩點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算如下：

2 曲線滯回模型

2.1 Davidenkov模型

Davidenkov［12］于 1939 年提出了雙參數(shù)模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：K為滯后環(huán)的線性剛度；x為相對位移；n和η為滯后環(huán)系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定。滯后曲線如圖6所示。楊紹普［13］利用此模型提出了轉(zhuǎn)遷極限點(diǎn)的概念；金棟平 等［14］在 Davidenkov模型的基礎(chǔ)上，描述了材料的滯回非線性特性。通過多尺度法和奇點(diǎn)理論得到了此類系統(tǒng)的新的動(dòng)態(tài)特性；陳恩利等［15］對兩系非線性懸掛車輛的運(yùn)行穩(wěn)定性與分岔進(jìn)行了研究，建立了以Davidenkov模型為基礎(chǔ)的動(dòng)微分方程，為車輛設(shè)計(jì)和參數(shù)選取提供了依據(jù)；項(xiàng)偉等［16］結(jié)合對土體動(dòng)力學(xué)特性廣泛適用性的基于等效黏彈性理論的修正Davidenkov模型，提出用于求取最大動(dòng)剪切模量并得到本構(gòu)方程中所需系數(shù)，對該模型中的3個(gè)參量多元回歸和對最大動(dòng)剪切模量自適應(yīng)逼近迭代的反分析算法。榮棉水等［17-18］利用此模型對渤海海域軟表層土非線性動(dòng)力本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行了一系列研究。

圖6 Davidenkov模型

2.2 Bouc-Wen模型

由 Bouc［11］于 1967 年提出，Wen 等［19］于 1976 年進(jìn)一步發(fā)展得到了被稱作一階非線性微分方程模型的Bouc-Wen模型，如圖7，其表達(dá)式為

圖7Bouc-Wen模型

式中：Z 為滯后恢復(fù)力；x為相對位移；x˙為相對速度；α、β、γ、n為參數(shù)。

通過對具有滯回非線性恢復(fù)力的系統(tǒng)進(jìn)行研究，Bouc［20］于1967年介紹了一種沿用至今的簡單的光滑滯回模型，它是通過微分方程來進(jìn)行控制的。1976年Wen［11，21］改進(jìn)了Bouc-Wen模型，其表達(dá)式為

式（8）可以表示一般曲線滯回非線性模型。α、β、γ決定滯回曲線的大小和形狀，常數(shù)n決定曲線的光滑程度。調(diào)節(jié)這些系數(shù)，取α=1.0，β=0和γ=1.0，所得到的滯回恢復(fù)力系統(tǒng)具有不同的特性，如圖8所示。其中：圖8（a）～（e）中 α<0，β≥0；圖 8（f）～（j）中 α＞0，β<0。

圖8 Brouc-Wen模型在不同參數(shù)下的光滑滯回曲線模型

由圖8可知Brouc-Wen模型的光滑滯回曲線特點(diǎn)：

1）當(dāng)α＞0，β≥0時(shí)，系統(tǒng)的恢復(fù)力與位移絕對值成反比，即具有軟特性；當(dāng)α＞0，β<0時(shí)，系統(tǒng)的恢復(fù)力隨著位移絕對值成正比，即具有硬特性。

2）系統(tǒng)滯回恢復(fù)力曲線包含的面積、曲線形狀和系統(tǒng)在振動(dòng)過程中消耗的能量與α/β比值成正比。

目前，該模型主要用于對土木結(jié)構(gòu)、機(jī)械系統(tǒng)的地震隨機(jī)響應(yīng)分析和磁流變阻尼力分析。嚴(yán)天宏等［22］在Bouc-Wen模型的基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)基于軌道結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制的用于非線性滯回隔振系統(tǒng)的改進(jìn)瞬時(shí)主動(dòng)控制算法，此算法使控制系統(tǒng)的評估更簡單明了，最后運(yùn)用數(shù)字仿真證明了算法的可行性。魯麗雪等［23］討論了動(dòng)態(tài)Bouc-Wen模型的應(yīng)用條件和滯回環(huán)上模型參數(shù)的影響，得到了Bouc-Wen動(dòng)態(tài)模型的增益耗散函數(shù)表達(dá)式，分析了筑壩土石的能量耗散原理，對進(jìn)一步認(rèn)識土體動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變特性有一定意義。Spencer［24］在Bouc-Wen模型的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)新的能夠有效地描述典型磁流變減振器特性的模型，此模型在很大范圍的操作條件下都能保證精確度，同時(shí)適用于控制設(shè)計(jì)和分析；關(guān)新春等［25］分析了磁流變耗能器阻尼力和它的一般模型的特性，建立了阻尼力的改進(jìn)Bouc-Wen模型并確定了模型參數(shù)，為磁流變耗能器在結(jié)構(gòu)控制領(lǐng)域的應(yīng)用提供了基礎(chǔ)；王貞艷等［26］提出了一個(gè)針對壓電致動(dòng)器的基于Bouc-Wen滯回非線性特性的Hammerstein率相關(guān)模型，建立了一個(gè)基于Bouc-Wen模型的滯回補(bǔ)償器，并且將其與被控對象串聯(lián)起來，使系統(tǒng)線性化。

2.3 跡法模型

1987 年 Badrakhan［27-28］提出了跡法模型，其滯后恢復(fù)力的表達(dá)式為

模型示意圖如圖9所示。跡法模型具有平均和等效原則，形式簡單，振幅和頻率的改變會(huì)導(dǎo)致其恢復(fù)力的變化，易于根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。根據(jù)不同的階次和參數(shù)，可得到不同的形狀，有較為廣泛的使用范圍。

圖9 跡法模型

L.M.Tinker［29］利用跡法模型對建立在螺旋光電隔振器上的鋼絲繩隔振系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了研究，提出了一個(gè)包含非線性剛度、加速度阻尼和可變庫侖摩擦阻尼的半經(jīng)驗(yàn)方程，并對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。潘東等［30］在跡法模型的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)用新的參數(shù)來描述線性阻尼和干摩擦混合阻尼特性的模型，并通過參數(shù)辨識來證明此模型能夠有效地描述混合型阻尼滯回非線性特性。王軻等［31］通過實(shí)驗(yàn)在利用跡法模型建模過程中首先引入了最大位移變形，然后根據(jù)恢復(fù)力和位移變形之間先后達(dá)到最大位移變形的不同的本構(gòu)關(guān)系，得到滑移極限等模型參數(shù)，并證明整個(gè)識別過程是可行的。龔憲生［32-33］利用跡法模型對以鋼絲繩為基本元件的聯(lián)軸器和增強(qiáng)泡沫塑料隔振器的建模和參數(shù)識別進(jìn)行研究，并提出了多種以試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型。趙榮國［34］基于跡法模型提出了一個(gè)新的非線性隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并且推導(dǎo)出了它的理論表達(dá)式。此模型由非線性剛度和非線性滯回阻尼原理構(gòu)成，將非線性滯回阻尼力表示為位移的函數(shù)，這使數(shù)字計(jì)算更加簡便，減少了測量工作量。

另外，楊紹普等［35］提出了新的跡法模型，他用位移和速度的立方對系統(tǒng)的滯回非線性特性進(jìn)行模擬，其表達(dá)式為

式中：x 為相對位移；x˙為相對速度；k1、k2、c1、c2為參數(shù)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合。

其滯后回線如圖10所示。楊紹普［35］運(yùn)用此模型研究了一個(gè)基于均值法的多頻激勵(lì)滯回非線性系統(tǒng)組合共振，提出了組合共振系統(tǒng)參數(shù)的影響。李韶華［36-37］利用這種模型研究了具有滯后非線性的汽車懸架在發(fā)生路面多頻正弦激勵(lì)下的受迫振動(dòng)時(shí)的混沌運(yùn)動(dòng)，得到從準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)到混沌運(yùn)動(dòng)的軌跡。周艷國等［38］針對金屬橡膠動(dòng)力學(xué)特性提出了三個(gè)非線性模型，其中精確推導(dǎo)出了兩種形式的跡法模型和記憶力模型，為金屬橡膠隔振器的建模和參數(shù)識別提供了一種實(shí)際有效的方法。

圖10 位移和速度3次方模型

3 結(jié)論

由上述可見，當(dāng)系統(tǒng)存在滯回非線性特性時(shí)，它的力與位移形成的曲線或者應(yīng)力與應(yīng)變形成的曲線會(huì)產(chǎn)生滯后回線。滯后回線是由表示彈性力的滯后回線基架線（不隨頻率變化，無能量損耗）和表示阻尼力的純滯后環(huán)組成，滯后環(huán)可以用不同種類的阻尼來表示，它的面積表示能量損耗。正阻尼時(shí)滯后回線走向?yàn)轫槙r(shí)針，相反，負(fù)阻尼時(shí)滯后回線走向?yàn)槟鏁r(shí)針。在分段直線滯回模型中，當(dāng)滯回曲線的決定因素是第一次正負(fù)向加載的力-形變曲線時(shí)，第一次正負(fù)向加載的開裂點(diǎn)（三線型）和屈服點(diǎn)的載荷和位移值，或者3個(gè)（二線型是2個(gè)）圖中線段的斜率及其相應(yīng)轉(zhuǎn)折點(diǎn)的載荷和位移值必須已知；而Bouc-Wen模型等曲線型滯回模型則具有包括非線性阻尼和非線性剛度在內(nèi)的較強(qiáng)的適應(yīng)性，可用來近似描述各種光滑滯回曲線。

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