蘭少峰，劉 升

（上海工程技術(shù)大學(xué) 管理學(xué)院，上海201620）

0 引 言

布谷鳥(niǎo)搜索算法 （cuckoo search，CS），是由劍橋大學(xué)YANG等在文獻(xiàn) ［1］中提出的一種群智能優(yōu)化算法，它也是一種新型元啟發(fā)式搜索算法。其思想主要基于兩個(gè)策略：布谷鳥(niǎo)的巢寄生性和萊維飛行 （Lévy flights）機(jī)制。通過(guò)隨機(jī)游走的方式搜索得到一個(gè)最優(yōu)的鳥(niǎo)窩來(lái)孵化自己的鳥(niǎo)蛋，這種方式可以達(dá)到一種高效的尋優(yōu)模式［2］。

CS算法主要優(yōu)點(diǎn)是參數(shù)少、操作簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)、隨機(jī)搜索路徑優(yōu)和尋優(yōu)能力強(qiáng)等，備受學(xué)者關(guān)注，相關(guān)的科研成果也日益倍增［3］。目前，王凡、賀興時(shí)等已在文獻(xiàn) ［4］中通過(guò)建立CS算法的Markov鏈模型，理論證明了該算法可收斂于全局最優(yōu)。CS算法的衍生算法以及應(yīng)用研究也已得到了快速的發(fā)展，但目前國(guó)內(nèi)外對(duì)CS算法的綜述性研究比較少，YANG等在文獻(xiàn) ［5］中對(duì)CS算法最初的發(fā)展和它的多種改進(jìn)算法之間進(jìn)行了比較，沒(méi)有詳細(xì)概述CS算法的發(fā)展現(xiàn)狀。因此，有必要對(duì)CS算法的原理、算法改進(jìn)、其各領(lǐng)域的應(yīng)用、算法優(yōu)缺點(diǎn)、使用范圍、目前存在的問(wèn)題以及下一階段的研究方向等進(jìn)行系統(tǒng)、全面的總結(jié)和評(píng)述，進(jìn)而呈現(xiàn)CS算法的發(fā)展現(xiàn)狀，期望該算法能夠解決更多更有效的實(shí)際問(wèn)題。

1 CS算法原理

1.1 布谷鳥(niǎo)的巢寄生殖行為

布谷鳥(niǎo)具有孵卵寄生性，本身沒(méi)有孵化行為，這就促使它通過(guò)尋找質(zhì)優(yōu)的巢窩，依靠養(yǎng)父母孵化和育雛［6］。巢寄生殖行為主要表現(xiàn)在宿主的選擇，繁殖期間，大布谷鳥(niǎo)尋找在孵化和育雛時(shí)間上基本相似、雛鳥(niǎo)飲食習(xí)性基本相同的、卵形狀和顏色相當(dāng)?shù)乃拗?，通常表現(xiàn)為雀形目鳥(niǎo)類(lèi)。確定寄生的宿主后，大布谷鳥(niǎo)要選擇適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，一般要在宿主即將孵化之前，趁宿主外出覓食時(shí)迅速寄生產(chǎn)卵。春末夏初，便向北飛，它自己不會(huì)做窩，不會(huì)育雛，也不會(huì)孵化，它每次飛到一個(gè)巢窩里只產(chǎn)一個(gè)鳥(niǎo)蛋。通常情況下，大布谷鳥(niǎo)在產(chǎn)卵前，為了不被宿主察覺(jué)，會(huì)把宿主一枚或數(shù)枚卵移走，使得巢穴中的卵數(shù)量相等或相近。而一旦靠養(yǎng)母孵化的雛鳥(niǎo)孵出，它有將養(yǎng)母本身的雛鳥(niǎo)推出巢外的本性，從而獨(dú)享養(yǎng)母撫養(yǎng)，這樣自己成活的概率大大增加。

1.2 萊維飛行

自然界中，動(dòng)物以隨機(jī)或擬隨機(jī)的方式來(lái)覓食。從文獻(xiàn) ［7］可以看出，許多飛行動(dòng)物像信天翁、蜘蛛猴等，其飛行間隔服從冪率分布，比較其飛行軌跡 （如圖1所示）發(fā)現(xiàn)，較長(zhǎng)線段出現(xiàn)的頻率與無(wú)標(biāo)度的負(fù)二次方Lévy分布相像，都具有萊維飛行的特征。最新研究也顯示［8］，人的行為中也存在類(lèi)似萊維飛行行為。

圖1 萊維飛行軌跡與信天翁飛行軌跡對(duì)比

萊維飛行是一類(lèi)非高斯隨機(jī)過(guò)程，其平穩(wěn)增量服從Lévy穩(wěn)定分布，其飛行步長(zhǎng)滿(mǎn)足一個(gè)重尾的萊維穩(wěn)定分布。在飛行過(guò)程中，步長(zhǎng)較小的短距離行走與偶爾較大步長(zhǎng)的長(zhǎng)距離行走相互交替，從萊維飛行軌跡圖 （如圖1（a）所示）中可以看出，較小的跳躍組成的聚集被較大的跳躍分隔開(kāi)的現(xiàn)象。M.F在文獻(xiàn) ［9］中將該飛行方式植入到群智能搜索算法中，搜索前期大步長(zhǎng)用于探索發(fā)現(xiàn)，有利于增加種群多樣性、并擴(kuò)大搜索范圍，不至于陷入局部最優(yōu)；搜索后期，小步長(zhǎng)使得群體在小范圍內(nèi)收斂于全局最優(yōu)解。Pavly［10］將該飛行模式應(yīng)用于優(yōu)化算法和最優(yōu)搜索中，顯示了令人滿(mǎn)意的結(jié)果。AM等在文獻(xiàn) ［11］中證明了當(dāng)目標(biāo)位置呈現(xiàn)隨機(jī)特征，并且無(wú)規(guī)律地稀疏排布時(shí)，對(duì)于M個(gè)相互獨(dú)立的尋優(yōu)者來(lái)說(shuō)，萊維飛行是最有效、最理想的搜索策略。

1.3 CS算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程

為了模擬布谷鳥(niǎo)這種尋窩寄生的習(xí)性，YANG等在文獻(xiàn) ［1］中將CS算法假設(shè)以下3種理想狀態(tài)：

（1）每只布谷鳥(niǎo)一次只產(chǎn)一枚卵，并且隨機(jī)選擇一個(gè)鳥(niǎo)巢存放；

（2）在尋窩的過(guò)程中，卵最好的鳥(niǎo)巢將會(huì)被保留到下一代；

（3）可用鳥(niǎo)巢的數(shù)量是固定的，并且設(shè)鳥(niǎo)巢中外來(lái)卵被發(fā)現(xiàn)的概率是Ρ，Ρ∈［0， 1］。如果發(fā)現(xiàn)外來(lái)鳥(niǎo)蛋，則鳥(niǎo)窩主人重新建立一個(gè)鳥(niǎo)窩。

通過(guò)以上3種理想狀態(tài)的假設(shè)，布谷鳥(niǎo)尋優(yōu)搜索的位置和路徑的更新公式如下

式中：x（t）i——第i個(gè)鳥(niǎo)窩在第t代的鳥(niǎo)窩位置，⊕——點(diǎn)對(duì)點(diǎn)乘法，α——步長(zhǎng)控制量，用于控制步長(zhǎng)的搜索范圍，其值服從正態(tài)分布。

在式 （1）中，L（λ）為L(zhǎng)évy隨機(jī)搜索路徑，隨機(jī)步長(zhǎng)為L(zhǎng)évy分布

式中：s——由萊維飛行得到的隨機(jī)步長(zhǎng)。

有式 （1）可以看出，該行走方式是一個(gè)隨機(jī)漫步的過(guò)程。由于萊維飛行的隨機(jī)游動(dòng)特征，局部極值點(diǎn)附近往往會(huì)出現(xiàn)新解，因此萊維飛行的短步長(zhǎng)搜索更加有利于提高解的質(zhì)量。另外，距離局部最優(yōu)值較遠(yuǎn)的地方也存在新解，偶爾的大步長(zhǎng)探索，使得算法不容易陷入局部極值點(diǎn)［12］。

根據(jù)布谷鳥(niǎo)的孵化鳥(niǎo)蛋的過(guò)程，CS算法的算法描述如下：

步驟1 定義目標(biāo)函數(shù)f（X），X ＝ （x1，…xd）T，函數(shù)初始化，并隨機(jī)生成n個(gè)鳥(niǎo)窩的初始位置Xi（i＝1，2，…，n），設(shè)置種群規(guī)模、問(wèn)題維數(shù)、最大發(fā)現(xiàn)概率Ρ和最大迭代次數(shù)等參數(shù)；

步驟2 選擇適應(yīng)度函數(shù)并計(jì)算每個(gè)鳥(niǎo)窩位置的目標(biāo)函數(shù)值，得到當(dāng)前的最優(yōu)函數(shù)值；

步驟3 記錄上一代最優(yōu)函數(shù)值，利用式 （1）對(duì)其他鳥(niǎo)窩的位置和狀態(tài)進(jìn)行更新；

步驟4 現(xiàn)有位置函數(shù)值與上一代最優(yōu)函數(shù)值進(jìn)行比較，若較好，則改變當(dāng)前最優(yōu)值；

步驟5 通過(guò)位置更新后，用隨機(jī)數(shù)r∈［0，1］與P對(duì)比，若r＞P，則對(duì)x（t＋1）i進(jìn)行隨機(jī)改變，反之則不變。最后保留最好的一組鳥(niǎo)窩位置y（t＋1）i；

步驟6 若未達(dá)到最大迭代次數(shù)或最小誤差要求，則返回步驟2，否則，繼續(xù)下一步；

步驟7 輸出全局最優(yōu)位置。

2 CS改進(jìn)算法

2.1 基于發(fā)現(xiàn)概率Ρ的改進(jìn)

文獻(xiàn) ［13］認(rèn)為被發(fā)現(xiàn)的概率Ρ的選擇會(huì)影響最優(yōu)解的搜索：Ρ選擇過(guò)大，較好解很難收斂到最優(yōu)解；Ρ選擇過(guò)小，就會(huì)使得當(dāng)前較壞的解收斂較慢。因此引入了動(dòng)態(tài)發(fā)現(xiàn)概率

式中：Ρmax、Ρmin——最大、最小發(fā)現(xiàn)概率；ΡInterNum——當(dāng)前迭代次數(shù)；ΡIntermax——最大迭代次數(shù)。通過(guò)兩個(gè)典型的30維的測(cè)試函數(shù)驗(yàn)證表明，改進(jìn)后的CS算法優(yōu)化性能有較大的提升。

文獻(xiàn) ［14］通過(guò)改變發(fā)現(xiàn)概率，采用動(dòng)態(tài)自適應(yīng)機(jī)制控制發(fā)現(xiàn)概率Ρ，來(lái)提高搜索能力和加快收斂速度

式中：Pt——第t代種群中，第i個(gè)個(gè)體被發(fā)現(xiàn)并重新生成新解的概率；Pmax和Pmin——Pt的上下限；fti和ftbest——第t代種群中，第i個(gè)個(gè)體和最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度。通過(guò)多個(gè)測(cè)試函數(shù)的對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該改進(jìn)算法提高了CS算法的收斂速度。

2.2 基于自適應(yīng)步長(zhǎng)的改進(jìn)

文獻(xiàn) ［15］認(rèn)為萊維飛行模式缺乏自適應(yīng)性，為了能夠自適應(yīng)動(dòng)態(tài)調(diào)整大、小步長(zhǎng)的間隔，協(xié)調(diào)好尋優(yōu)精度和全局尋優(yōu)能力之間的關(guān)系，引入了

式中：dmax——當(dāng)前最優(yōu)位置與其余所有鳥(niǎo)窩位置距離的最大值；ni——第i個(gè)鳥(niǎo)窩的位置；nbest——當(dāng)前最佳的鳥(niǎo)窩位置。由此提出了基于最佳鳥(niǎo)窩位置的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)調(diào)整步長(zhǎng)策略

式中：stepmax和stepmin——步長(zhǎng)的最大值和最小值。通過(guò)對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)的CS算法，結(jié)果表明改進(jìn)后的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)調(diào)整步長(zhǎng)策略使算法具有較高的尋優(yōu)精度和較快的收斂速度。

Walton等在文獻(xiàn) ［16］中針對(duì)優(yōu)勢(shì)解交換信息步長(zhǎng)進(jìn)行改進(jìn)，以加強(qiáng)局部搜索能力，使其優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在高維上能夠快速的收斂于全局最優(yōu)。Andrew W等在文獻(xiàn) ［17］中利用一種基于種群排序的改進(jìn)版本來(lái)指導(dǎo)隨機(jī)游動(dòng)時(shí)的步長(zhǎng)，結(jié)果顯示該改進(jìn)算法優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)的CS算法。文獻(xiàn) ［18］引入自適應(yīng)機(jī)制，將自適應(yīng)發(fā)現(xiàn)概率和自適應(yīng)步長(zhǎng)相結(jié)合，也提高了算法的最優(yōu)解。

2.3 混合CS算法改進(jìn)

文獻(xiàn) ［19］介紹了一種和差分進(jìn)化算法結(jié)合的混合CS算法。差分進(jìn)化存在易陷入局部最優(yōu)、過(guò)早收斂和停滯的缺陷，利用CS算法尋優(yōu)能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，在DE每次完成選擇操作后，不直接進(jìn)入下一次迭代，而是引入CS算法，繼續(xù)進(jìn)行搜索，這樣就增加了粒子的搜索活力，來(lái)提高尋優(yōu)的精度。

文獻(xiàn) ［20］提出了二進(jìn)制布谷鳥(niǎo)搜索算法，將該算法應(yīng)用到求解旅行商問(wèn)題和0／1背包問(wèn)題兩類(lèi)NP完全問(wèn)題。試驗(yàn)結(jié)果顯示，BCS算法優(yōu)于其他混合算法。

此外，文獻(xiàn) ［21］在算法中偏好隨機(jī)游動(dòng)和萊維隨機(jī)游動(dòng)之間融合PSO組件，提高了算法的性能。文獻(xiàn) ［22］將CS與PSO算法串行，在迭代開(kāi)始時(shí)，利用PSO算法優(yōu)化種群，然后利用CS算法在最優(yōu)個(gè)體中繼續(xù)尋優(yōu)。文獻(xiàn)［23］在算法迭代過(guò)程中對(duì)鳥(niǎo)窩位置加入高斯擾動(dòng)，即在每一次迭代得到較優(yōu)的鳥(niǎo)窩位置后，進(jìn)行高斯擾動(dòng)，使鳥(niǎo)窩位置得到進(jìn)一步搜索，增強(qiáng)了鳥(niǎo)窩位置變化的活力，提高了算法的收斂速度。

3 CS算法應(yīng)用

CS算法具有較強(qiáng)的優(yōu)越性，一經(jīng)提出，便得到了迅速的發(fā)展。CS算法的應(yīng)用已經(jīng)涉及到多目標(biāo)優(yōu)化［8］、軟件測(cè)試數(shù) 據(jù) 自 動(dòng) 生 成［24］、神 經(jīng) 網(wǎng) 絡(luò) 訓(xùn) 練［25］、工 程 設(shè) 計(jì) 優(yōu)化［2，26］、交通流量預(yù)測(cè)［27］、人臉識(shí)別［28］、函數(shù)優(yōu)化［29］、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)［31］等理論與應(yīng)用領(lǐng)域。

文獻(xiàn) ［2］以O(shè)tsu法設(shè)計(jì)適應(yīng)度函數(shù)，利用CS算法的并行尋優(yōu)性能在多閾值圖像分割問(wèn)題中成功運(yùn)用。文獻(xiàn)［24］則將CS算法中引入禁忌搜索思想，將當(dāng)前搜索得到的最優(yōu)解保存在禁忌搜索隊(duì)列中，達(dá)到避免陷入局部最優(yōu)的目的，該算法在軟件結(jié)構(gòu)測(cè)試數(shù)據(jù)自動(dòng)生成中得到了較好的效果。文獻(xiàn) ［25］對(duì)CS算法的搜索參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟呗苑治?，并用于?xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)基準(zhǔn)分類(lèi)問(wèn)題。文獻(xiàn)［26］提出一種基于隨機(jī)局部搜索的改進(jìn)布谷鳥(niǎo)搜索算法，以加快算法的收斂速度，兩個(gè)工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法具有可行性和有效性。文獻(xiàn) ［27］采用CS算法找到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)參數(shù)，建立了短時(shí)交通的預(yù)測(cè)模型，仿真結(jié)果表明，該方法更好的反應(yīng)了短時(shí)交通的變化趨勢(shì)。文獻(xiàn) ［28］將CS算法運(yùn)用到人臉識(shí)別中，結(jié)果顯示該算法優(yōu)于PSO算法和ACO算法。文獻(xiàn) ［29］利用基本CS算法求解整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法具有比PSO算法擁有更好的性能和更強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力。文獻(xiàn)［30］提出一種基于正交學(xué)習(xí)的搜索策略，提高了CS算法的局部搜索能力，并成功運(yùn)用于連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)［31］采用CS算法優(yōu)化支持向量機(jī)參數(shù)，使用這組優(yōu)化參數(shù)建立網(wǎng)絡(luò)流量預(yù)測(cè)模型，仿真結(jié)果顯示該方法有效可行。

4 CS算法與相關(guān)群智能算法性能對(duì)比

CS算法、蟻群算法 （ACO）、粒子群算法 （PSO）、蜂群算法 （ABC）等都是基于仿生群智能而產(chǎn)生的優(yōu)化算法，在種群進(jìn)化過(guò)程中，通過(guò)迭代完成搜索尋優(yōu)的過(guò)程。在應(yīng)用過(guò)程中，不同的算法有著不同的優(yōu)缺點(diǎn)，本文通過(guò)總結(jié)歸納文獻(xiàn) ［1－3，6，7，12－31］，對(duì)幾種優(yōu)化算法進(jìn)行比較，得出表1的結(jié)果。

表1 CS與ACO、PSO、ABC算法的比較

由表1可以看出，相對(duì)于其它3種優(yōu)化算法，CS算法在參數(shù)設(shè)置、全局搜索能力、通用性和魯棒性方面具有綜合性?xún)?yōu)勢(shì)。文獻(xiàn) ［1，15，22，26］中經(jīng)過(guò)多種測(cè)試函數(shù)的測(cè)試，比較了CS算法與螢火蟲(chóng)算法、人工蜂群算法、粒子群算法的參數(shù)及性能，其性能均接近或優(yōu)于其他標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)化算法，CS算法作為后起之秀，它的優(yōu)越性使其廣泛應(yīng)用于各個(gè)研究領(lǐng)域。

5 CS算法存在的問(wèn)題及展望

CS算法之所以能夠廣泛應(yīng)用，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①萊維飛行模式能夠正確協(xié)調(diào)局部搜索和全局搜索之間的關(guān)系，這使得算法在搜索解的精度上更加有效。②控制參數(shù)少，較少的參數(shù)使它通用性和魯棒性更好。但是，CS算法是一個(gè)新型的群智能優(yōu)化技術(shù)，尚處于快速發(fā)展階段，還有一些問(wèn)題尚需要學(xué)者們關(guān)注，未來(lái)的研究方向可歸納如下：

5.1 算法的收斂性

CS算法在實(shí)際應(yīng)用中已被證明是一種有效的優(yōu)化工具，在收斂性方面，只有文獻(xiàn) ［6］通過(guò)建立Markov鏈模型，分析該Markov鏈的有限齊次性，證明了CS算法滿(mǎn)足隨機(jī)搜索算法全局收斂的兩個(gè)條件。但是對(duì)于CS算法的內(nèi)部機(jī)理的認(rèn)識(shí)還不夠，它的理論研究需要完善，其收斂速度和解的質(zhì)量需要進(jìn)一步提高，深入研究CS算法的內(nèi)部機(jī)理，對(duì)于它的應(yīng)用領(lǐng)域的擴(kuò)展，具有深遠(yuǎn)的意義。

5.2 算法的改進(jìn)

原始的CS算法只能用于求解連續(xù)型的優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)于離散型的、組合的、有約束的、多目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題，CS算法還需進(jìn)一步研究。對(duì)于已有的連續(xù)型的優(yōu)化問(wèn)題，有步長(zhǎng)改進(jìn)、參數(shù)自適應(yīng)、與其他算法相互耦合等，也存在適應(yīng)能力不強(qiáng)、搜索效果不夠理想、對(duì)復(fù)雜問(wèn)題求解能力有限等缺點(diǎn)，如何探索新的改進(jìn)方法和策略，提高變量間高度關(guān)聯(lián)函數(shù)的性能，例如如何利用合作協(xié)同進(jìn)化框架來(lái)處理復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，值得我們進(jìn)一步研究。

5.3 算法的應(yīng)用

科學(xué)與工程實(shí)踐中的許多問(wèn)題都可以歸結(jié)為優(yōu)化問(wèn)題。相對(duì)于ACO、PSO等發(fā)展較為完善的仿生智能算法來(lái)說(shuō)，CS算法的應(yīng)用研究在涉及電力系統(tǒng)、生物醫(yī)藥、模糊控制、金融、電子與電磁場(chǎng)等領(lǐng)域還較少，如何找到CS算法及其衍生算法與實(shí)際問(wèn)題的切入點(diǎn)，將CS算法與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，將會(huì)有力地推動(dòng)CS算法的快速發(fā)展。相信本文能夠?yàn)閺氖翪S算法研究的學(xué)者提供有意義的參考和建議。

6 結(jié)束語(yǔ)

布谷鳥(niǎo)搜索算法是一種新型元啟發(fā)式搜索算法，具有十分廣闊的研究前景。與其他群智能算法相比，其優(yōu)越性已被眾多學(xué)者認(rèn)可，不僅表現(xiàn)出魯棒性強(qiáng)、通用性好等優(yōu)點(diǎn)，還具有可移植性、平臺(tái)無(wú)關(guān)性等強(qiáng)大的活力。系統(tǒng)地梳理CS算法的研究現(xiàn)狀以及目前所存在的不足，若能夠?qū)ι鲜鰡?wèn)題進(jìn)行深入研究，將會(huì)極大地促進(jìn)該算法的發(fā)展，也將拓展相關(guān)技術(shù)的研究和應(yīng)用領(lǐng)域。下一步，將緊跟該領(lǐng)域世界發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行研究，以期該算法能夠有效解決更多更復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題。

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