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        基于CASIO計(jì)算器的辛普森公式法曲線計(jì)算

        2015-05-04 21:59:02劉鋒張曉雅謝媛媛王雪
        關(guān)鍵詞:坐標(biāo)

        劉鋒++張曉雅++謝媛媛++王雪

        摘要:根據(jù)實(shí)際需要,采用定積分公式推導(dǎo)出線路曲線中線點(diǎn)坐標(biāo)的積分公式,然后采用復(fù)化辛普森公式給出其數(shù)值積分式。在此基礎(chǔ)上給出了求線路中線以及邊線坐標(biāo)計(jì)算的CASIO計(jì)算器程序。并對程序進(jìn)行了說明,CASIO計(jì)算器的辛普森公式法曲線計(jì)算大大提高了工作效率。

        關(guān)鍵詞:辛普森公式 曲線元 坐標(biāo) 切線方位角

        中圖分類號:TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1007-9416(2014)12-0114-01

        1 引言

        目前在鐵路、公路曲線的中、邊樁計(jì)算中主要采用泰勒級數(shù)展開公式進(jìn)行計(jì)算。在計(jì)算不同曲線元時就需要采用不同的計(jì)算公式,這就導(dǎo)致采用計(jì)算器計(jì)算大大不便。當(dāng)計(jì)算卵形曲線或曲線的半徑較小時,計(jì)算誤差會較大,需要較多的泰勒級數(shù)展開項(xiàng)才能保證精度,這就導(dǎo)致公式繁雜又增加計(jì)算難度。而采用辛普生通用公式進(jìn)行計(jì)算就非常簡便,該公式能用于任意的直線段、圓曲線段、緩和曲線段的中、邊樁坐標(biāo)計(jì)算。

        2 辛普森通用公式推導(dǎo)

        一般線路都是由直線、緩和曲線、圓曲線組成。而這三種線型的曲率都是隨弧長作線性變化的,所以可用曲線元代表三種線型中的任意一種。已知弧長為l的任意點(diǎn)i的坐標(biāo)的積分公式可表示為:

        (1)

        式中XA、YA為曲線元起點(diǎn)的坐標(biāo),αi為曲線元上i點(diǎn)的切線方位角,其計(jì)算公式為:

        (2)

        式中αA為曲線元起點(diǎn)切線方位角,PA為曲線元起點(diǎn)處的曲率,PB為曲線元終點(diǎn)處的曲率,L為曲線元總長度,l為任意點(diǎn)i距曲線元起點(diǎn)的弧長?!辣硎厩€元的左右偏向,左偏時取“-”,右偏則取“+”。αA、αi單位均為度。

        將式(2)代入式(1),采用復(fù)化辛普森公式給出其數(shù)值積分式為:

        (3)

        式中m為積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)n的一半,α2K-1為曲線元上n等分點(diǎn)處的切線方位角,α2K為曲線元上n/2等分點(diǎn)處的切線方位角。

        復(fù)化辛普森公式具有如下特點(diǎn):適用于直線、緩和曲線、圓曲線,計(jì)算精度可控制,精度隨積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)n的而變化,可以根據(jù)實(shí)際需要選用合適的n值以確保計(jì)算精度和計(jì)算效率,計(jì)算方向是可逆的,即可以沿里程遞增方向計(jì)算也可以沿里程遞減方向計(jì)算。

        3 程序?qū)崿F(xiàn)

        根據(jù)實(shí)際計(jì)算所需要的參數(shù),編寫程序時定義如下變量:A-曲線元起點(diǎn)A的坐標(biāo);B-曲線元起點(diǎn)B的坐標(biāo);C-曲線元起點(diǎn)A的切線坐標(biāo)方位角;F-曲線元起點(diǎn)A的里程;G-曲線元起點(diǎn)B的里程;H-曲線上待求點(diǎn)i的里程;D-曲線元起點(diǎn)A的曲率;E-曲線元終點(diǎn)B的曲率;XL-左邊線點(diǎn)位X坐標(biāo);YL-左邊線點(diǎn)位Y坐標(biāo);XR-右邊線點(diǎn)位X坐標(biāo);YR-右邊線點(diǎn)位Y坐標(biāo);X-中線點(diǎn)位縱坐標(biāo);Y-中線點(diǎn)位橫坐標(biāo);DL-左邊線距中線平距;DR-右邊線距中線平距。程序見表1。

        程序說明及需要輸入的數(shù)據(jù)項(xiàng):(1)曲線元起點(diǎn)A的施工坐標(biāo)和切線坐標(biāo)方位角,計(jì)算器顯示為“XA”,“YA”,“CA”;(2)曲線元起點(diǎn)A和終點(diǎn)B的曲率,計(jì)算器顯示為1/RA,1/RB(曲線左偏時取“-”);(3)曲線元起點(diǎn)A和終點(diǎn)B的里程,計(jì)算器顯示為“DKA”,“DKB”;(4)輸入待求點(diǎn)里程和該點(diǎn)距中樁左右的水平距離,計(jì)算器顯示為“DKI”,“DL”,“DR”;每算完一個點(diǎn)的中線及邊線坐標(biāo),直接輸入下一點(diǎn)的“DKI”,“DL”,“DR”,當(dāng)輸入的“DKI”大于“DKB”時,程序計(jì)算下一個曲線元,只要輸入下一曲線元的起點(diǎn)的曲率和里程即可。

        4 結(jié)語

        通過對不同類型線路曲線測量通用公式的推導(dǎo)及程序?qū)崿F(xiàn),使得曲線計(jì)算變得靈活、簡便,不但解決了常規(guī)計(jì)算方法不具備通用性的問題,并且避免了傳統(tǒng)計(jì)算中復(fù)雜的多次坐標(biāo)平移及旋轉(zhuǎn)過程,使用辛普森通用公式使計(jì)算工作進(jìn)一步簡化, 解算步驟清晰明了,而且使得計(jì)算精度可根據(jù)曲線半徑大小進(jìn)行控制,具有很強(qiáng)大的實(shí)用性,CASIO計(jì)算器程序的應(yīng)用在工程實(shí)踐中大大提高了計(jì)算效率。

        參考文獻(xiàn)

        [1]顧孝烈.土木工程測量計(jì)算程序開發(fā)與應(yīng)用[M].上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,2007.

        [2]李青岳.工程測量學(xué)[M].北京:測繪出版社,1984.

        [3]王兆祥.鐵路工程測量學(xué)[M].北京:測繪出版社,1986.

        [4]李孟山,等.計(jì)算公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)的復(fù)合辛普森公式[J].測繪通報(bào),2000(1).

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