摘 要：微分中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中已成為非常重要的基本定理，為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間搭建起溝通的橋梁。如何加強微分中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用已成為當(dāng)前很多學(xué)者關(guān)注的焦點。本文主要對微分中值定理的相互關(guān)系、推廣以及具體應(yīng)用進行探析。

關(guān)鍵詞：微分中值定理；中學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用

微分中值定理主要是對一系列中值定理的概括，對研究函數(shù)有至關(guān)重要的作用。與其相關(guān)的定理主要有羅爾中值定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理，發(fā)揮其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用將是推動數(shù)學(xué)進步的重要保證。

一、微分中值定理的相互關(guān)系

1.微分中值定理

微分中值定理主要包括羅爾定理、拉格朗日中值定理與柯西中值定理。其中羅爾定理中，當(dāng)函數(shù)y=f（x）能夠滿足閉區(qū)間[a，b]連續(xù)；開區(qū)間（a，b）可導(dǎo)；f（b）=f（a），至少會存在一點ζ∈（a，b）使f ′（ζ）=0。拉格朗日中值定理中，當(dāng)函數(shù)滿足y=f（x）[a，b]閉區(qū)間連續(xù)，（a，b）開區(qū)間可導(dǎo)，則存在一點ζ∈（a，b），使得f′（ζ）=.柯西中值定理中，當(dāng)函數(shù)y=g（x）與y=f（x）滿足閉區(qū)間[a，b]連續(xù)；開區(qū)間（a，b）可導(dǎo)，且f ′（x）和g ′（x）都不為0，g（a）≠g（b），將至少有一點ζ∈（a，b），使得=.由此可見，拉格朗日中值定理與柯西中值定理都會涉及到羅爾定理，而且在前提條件方面都比較接近，因此下文中將會對三者之間的關(guān)系進行探析。

2.微分中值定理的相互聯(lián)系

羅爾定理、拉格朗日中值定理與柯西中值定理三者之間的關(guān)系主要體現(xiàn)在由一般到特殊，再由特殊到一般。當(dāng)柯西中值定理條件下G（x）=x，定理將轉(zhuǎn)變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ恚绻偈筬（a）=f（b），又會轉(zhuǎn)化為羅爾中值定理。換言之，柯西中值定理的特殊情況是拉格朗日中值定理，而拉格朗日中值定理的特殊情況是羅爾中值定理。

（1）從理論角度，很多情況下，至少有一點ζ能夠使此函數(shù)在該區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值保持一定的等量關(guān)系。而且定理的中值ζ在通常條件下很難發(fā)現(xiàn)，但對于定理理論研究與應(yīng)用價值沒有過多的影響。因此，對中值定理的掌握，必須要將三者在條件、證明方法、結(jié)論及幾何解釋方面正確分析，使三個中值定理的關(guān)系在相互聯(lián)系的情況下可以進行區(qū)分。

（2）拉格朗日中值定理與柯西中值定理在證明方法上都需應(yīng)用羅爾定理，以構(gòu)造新函數(shù)的方法得出結(jié)論。一般證明定理的過程必須保證新函數(shù)的構(gòu)造，但構(gòu)造的新函數(shù)應(yīng)符合羅爾中值定理的前提條件，而且新函數(shù)在結(jié)構(gòu)上必須保持與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系。現(xiàn)階段比較常用的證明定理的方法是構(gòu)造輔助函數(shù)，采用如原函數(shù)法、結(jié)論恒等變化形式等適當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

（3）在形式結(jié)構(gòu)上，中值定理的基礎(chǔ)為羅爾定理。關(guān)于羅爾定理的幾何解釋，首先通過這樣一個實例，即兩點縱坐標(biāo)相等的y=f（x）連續(xù)曲線，而且曲線上的任一一點都存在切線，那么將會有一點（ζ，f（ζ））使曲線在每個點處的切線保持水平狀態(tài)。而拉格朗日中值定理則用自變量的增量乘以函數(shù)導(dǎo)數(shù)值進行表示Δy=f′（x+θΔx）Δx（0<θ<1）。由此可見，拉格朗日中值定理實際是對羅爾定理的一種推廣。區(qū)別于拉格朗日中值定理，柯西中值定理從變量層面角度，能夠涵蓋拉格朗日中值定理，解決了函數(shù)之商變化率以及不定式等問題。因此，在形式結(jié)構(gòu)上，拉爾中值定理往往會變?yōu)榱_爾定理，柯西中值定理則會成為拉爾中值定理。

二、微分中值定理的推廣

1.羅爾中值定理

羅爾定理中，當(dāng)函數(shù)y=f（x）能夠滿足閉區(qū)間[a，b]連續(xù)；開區(qū)間（a，b）可導(dǎo)；f（b）=f（a），至少會存在一點ζ∈（a，b）使f ′（ζ）=0，其具體證明方法：f（x）在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，若最大值M與最小值m的存在，當(dāng)M=m的時候，y=f（x）在（a，b）上是常函數(shù)，而且f′（x）=0恒成立，若最大值與最小值不能相等，在[a，b]上將存在極值點，將其設(shè)為x0，因此可得出f′（x0）=0，至少會有一點ζ∈（a，b）使f′（ζ）=0。從整個證明過程中不難發(fā)現(xiàn)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)存在導(dǎo)函數(shù)，那么區(qū)間兩端必存在相等的極限值。

2.拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理中，一般可通過構(gòu)造函數(shù)法、區(qū)間套定理將羅爾定理在拉格朗日中值定理中的作用進行證明。若函數(shù)f（x）在（a，b）中可導(dǎo)，而且在兩個端點存在左右極限，便會得出這樣的結(jié)論，即f（x）在（a，b）可導(dǎo)，且存在f（a+0）與f（b+0），那么ζ∈（a，b）使f′（ζ）=0使f′（ζ）=.

3.柯西中值定理

柯西中值定理在證明方法上與拉格朗日中值定理基本相似。在推廣方面，當(dāng)函數(shù)f（x），g（x）在（a，b）中任一點x處存在導(dǎo)數(shù)f ′（x）和g ′（x），而且滿足x∈（a，b），g′（x）≠0， f（a+b），f（b-0），g（a+0），g（b-0）則至少有一點ζ∈（a，b）使.

三、微分中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.討論方程根的存在性問題

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，除二次方程根的問題較為容易，對其他復(fù)雜的方程往往會使學(xué)生無從下手，因此可結(jié)合微分中值定理進行分析并解決。通過給定閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，只需保證區(qū)間內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，而且以f（a）=f（b），便可通過羅爾定理解決方程的判根問題，具體做法為：首先命題條件，再進行輔助函數(shù)F（x）的構(gòu)造，然后將F（x）驗證以滿足羅爾定理條件，最后做出命題結(jié)論。例如，f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，在[a，b]上連續(xù)，證明（a，b）內(nèi)，2x[f（b）-f（a）]=（b2-a2）f′（x）至少存在一個根。對此，可首先使F（x）[f（b）-f（a）]x2-（b2-a2）f（x），其中F（x）在（a，b）上可導(dǎo)，在[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)（a）=f（b）a2-b2f（a）=F（b）。至此，以羅爾定理為依據(jù)，將存在ζ使2ζ[f（b）-f（a）]=（b2-a2）f′（ζ），在（a，b）內(nèi)，2x[f（b）-f（a）]=（b2-a2）f′（x）至少有一個根存在。

2.證明不等式

不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中是重要的內(nèi)容，微分中值定理在其證明上發(fā)揮很大的作用，具體可在不等式兩邊的代數(shù)式進行不同的選取設(shè)為F（x），通過微分中值定理，可得出一個等式，根據(jù)x取值范圍對等式進行討論，如對ln（1+x）≤x（x>-1）進行求證，當(dāng)x=0時，ln（1+x）=x=0；x≠0時，對于f（t）=lnt，將1與1+x設(shè)為端點，并應(yīng)用拉格朗日中值定理，在區(qū)間內(nèi)的ζ使f（1+x）-f（1）=f′（ζ）（1+x-1），即ln（1+x）=；當(dāng)x>0時，ζ>0，0<<1，因此ln（1+x）≤x；當(dāng)x<0時，0<ζ<1，>1、ln（1+x）與x為負值，所以ln（1+x）≤x，即對x>-1恒成立。

3.用于求極限

中樞穴中對于極限的問題，很多時候在使用洛必達法則，為教師及學(xué)生帶來很大的計算量，但通過微分中值定理可為較難的極限問題提供有效且簡單的方法，主要是通過對某些部分進行輔助函數(shù)的構(gòu)造，通過微分中值定理的使用，得出極限。如a>0時，求n2（a-a）.整個求解過程：

4.函數(shù)單調(diào)性的討論

對函數(shù)單調(diào)性的判斷，采用微分中值定理的主要方法是：當(dāng)f（x）能夠滿足閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，開區(qū)間（a，b）可導(dǎo)，那么（a，b）中f′（x）>0，可推出f（x）在[a，b]上單調(diào)增加；若f′（x）<0，單調(diào)減少。盡管連續(xù)函數(shù)中的某個點可能存在無導(dǎo)數(shù)的現(xiàn)象，但對函數(shù)單調(diào)性不會有影響。另外，在中學(xué)數(shù)學(xué)中可能涉及到利用函數(shù)單調(diào)性求極值，此時首先可對函數(shù)定義域進行確定，并將f′（x）求出，在對定義域內(nèi)所有駐點進行求值，找出f（x）連續(xù)但f′x）不存在的點，最后對駐點及不可導(dǎo)點附近f′（x）的符號變化情況進行討論，確定函數(shù)極值點，以此求出極大值或極小值。

5.求近似值

中學(xué)數(shù)學(xué)中，微分中值定理在求近似值中的應(yīng)用也比較常見，一般只需構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，再通過微分中值定理的應(yīng)用便可得出近似值。如求的近似值，因為是f（x）=在x=0.97處的值，因此設(shè)x0=1，x=x0+△x，△x=-0.03，通過微分中值定理可得出≈+（）′x=1×（-0.03）=1+×（-0.03）=0.985。

微分中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用較為廣泛，本文主要對其中常見的應(yīng)用進行探析，并結(jié)合微分中值定理的推廣以及其中關(guān)于拉格朗日中值定理、羅爾中值定理與柯西中值定理之間的關(guān)系做出相關(guān)研究，以此說明微分中值定理的應(yīng)用價值。因此，中學(xué)數(shù)學(xué)中教師與學(xué)生應(yīng)注意對其加以運用，促進數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)質(zhì)量的提高。

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