摘要：

輻射空調(diào)房間內(nèi)圍護(hù)結(jié)構(gòu)表面之間的角系數(shù)，以及人體表面與室內(nèi)維護(hù)結(jié)構(gòu)表面之間的角系數(shù)，是計(jì)算室內(nèi)輻射熱交換的基本參數(shù)。目前，有關(guān)人體、輻射板、門、窗等表面和其它圍護(hù)結(jié)構(gòu)表面間的角系數(shù)通常較難求解，這里避開了采用傳統(tǒng)的直接積分法求解角系數(shù)，而是利用對表面邊界曲線的角系數(shù)積分公式，推導(dǎo)出了相互垂直以及相互平行情況下兩矩形表面間的角系數(shù)表達(dá)式，其過程較為簡單；同時(shí)把人體形狀適當(dāng)?shù)睾喕癁?個(gè)六面體固體，得到了人體與維護(hù)結(jié)構(gòu)表面之間的角系數(shù)。所得結(jié)論不受圍護(hù)結(jié)構(gòu)表面大小及相對位置的限制，可以有效地求解與人體、輻射板、門、窗等表面相關(guān)的角系數(shù)。

關(guān)鍵詞：

角系數(shù)；輻射熱交換；維護(hù)結(jié)構(gòu)表面；人體簡化模型

中圖分類號：

TU831

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：16744764（2015）01005506

Angle factors between surfaces in a radiant airconditioned room

Zheng Dexiao，Li Nianping，Yang Changzhi

（College of Civil Engineering， Building Environment and Equipment Engineering，Hunan University， Changsha 410082， P.R.China）

Abstract：

Angle factors between enclosure structural surfaces， or between human body and enclosure structural surfaces are the basic parameters to calculate radiant heat transfer in a radiant airconditioned room. At present， the angle factors between the human body， radiant panels， windows and doors are usually quite difficult to solve. Therefore， we derived the angle factor expressions of two rectangular surfaces in the positions both mutual perpendicular and mutual parallel by using curve integral formula of angle factor， instead of using conventional surface integral formula. Meanwhile， angle factors between human body and enclosure structural surfaces by simplifying a seated person as a rectangular solid were acquired. The results were shown to be efficient and practical， and were free from the limitation of envehpe sizes and relative positions.

Key words：

angle factors； radiant heat transfer； enclosure structural surfaces； simplified human body model

采用輻射空調(diào)系統(tǒng)形式的房間，室內(nèi)輻射換熱量可達(dá)總換熱量的50%以上，成為決定房間熱力工況的主要換熱方式[1]。對于室內(nèi)圍護(hù)結(jié)構(gòu)表面凈輻射換熱量的計(jì)算，可以引入有效輻射的概念或吸收系數(shù)法列式求解[23]。無論采用何種理論方法求解室內(nèi)的輻射換熱，都不可避免的需要求解室內(nèi)圍護(hù)結(jié)構(gòu)表面間的角系數(shù)；此外，計(jì)算人體與周圍環(huán)境的輻射換熱以及平均輻射溫度時(shí)，同樣需要求解人體對室內(nèi)圍護(hù)結(jié)構(gòu)表面的角系數(shù)。

室內(nèi)圍護(hù)結(jié)構(gòu)表面（墻、頂棚、地面、輻射板、門、窗）基本都是相互平行或垂直的矩形表面。對于墻體、頂棚、地面之間的角系數(shù)，由于其相對位置及尺寸大小比較特殊，求解比較簡單，可以查相關(guān)線圖[4]或利用已有的公式進(jìn)行求解[5]。但是對于人體、輻射板、門、窗等表面角系數(shù)的求解卻往往顯得比較困難，針對這些問題，文獻(xiàn)[6]利用角系數(shù)的基本性質(zhì)（完整性、分解性、互換性）進(jìn)一步求得了外窗對其它圍護(hù)結(jié)構(gòu)表面的角系數(shù)，文獻(xiàn)[7]利用直接積分法求得了相互平行下任意兩矩形表面間的角系數(shù)，但其結(jié)論較為復(fù)雜。針對有關(guān)人體與維護(hù)結(jié)構(gòu)表面之間的角系數(shù)，一些學(xué)者分別采用實(shí)驗(yàn)法（Fanger等[8]、Horikoshi等[9]、Jones等[10]）、數(shù)值模擬方法（Ozeki等[11]）、理論解析算法進(jìn)行求解[12，13]，卻難以得到人體與圍護(hù)結(jié)構(gòu)表面較為精確的普遍性理論計(jì)算公式。

鄭德曉，等：輻射空調(diào)房間表面的角系數(shù)

1維護(hù)結(jié)構(gòu)表面間的角系數(shù)計(jì)算

11角系數(shù)計(jì)算數(shù)學(xué)模型

角系數(shù)是指離開某一表面的輻射能中直接落在另一表面的百分?jǐn)?shù)，對于符合蘭貝特定律的漫射表面，角系數(shù)僅取決于兩表面的相對位置與形狀大小，根據(jù)輻射換熱基本原理可以推得兩有限面的平均角系數(shù)計(jì)算公式[4]：

FA1-A2=1A1∫A1∫A2cos q1cos q2πr2dA2dA1（1）

式中：A1、A2是2個(gè)互相可見的表面；r 是兩微元面間的距離；q1是微元面dA1的法線與兩微元面連線的夾角；q2是微元面dA2的法線與兩微元面連線的夾角。

若采用該式計(jì)算兩個(gè)有限面之間的角系數(shù)，需要做四重積分，計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜。Stokes公式可以把曲面積分轉(zhuǎn)換為曲線積分，因此，對于上式的二重面積分兩次運(yùn)用stokes公式轉(zhuǎn)換可以得到對其邊界曲線積分的二重坐標(biāo)曲線積分，其形式為[1415]

FA1-A2=12πA1∮C1dx1∮C2（lnr）dx2+12πA1∮C1dy1∮C2（lnr）dy2+12πA1∮C1dz1∮C2（lnr）dz2（2）

式中：C1、C2是面A1、A2的邊界曲線（曲線的正向可用右手螺旋法則確定）；x1、y1、z1、x2、y2、z2是兩邊界曲線上的直角坐標(biāo)變量； r=（x2-x1）2+（y2-y1）2+（z2-z1）2是兩邊界曲線上任意兩點(diǎn)的距離。采用該式可以快速的導(dǎo)出表面間的角系數(shù)，該公式要求兩個(gè)計(jì)算表面互相全部可見。

12維護(hù)結(jié)構(gòu)表面角系數(shù)計(jì)算基本過程

121相互垂直維護(hù)結(jié)構(gòu)表面的角系數(shù)計(jì)算輻射空調(diào)房間內(nèi)任意兩個(gè)相互垂直的維護(hù)結(jié)構(gòu)表面的相對位置可用圖1表示，為了便于推導(dǎo)，把兩個(gè)計(jì)算表面分別放在XOY和YOZ 2個(gè)坐標(biāo)面上，兩個(gè)表面的位置用a（0， ay， az）、b（0， by， bz）、c（cx， cy， 0）、d（dx， dy， 0）4個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)確定，（0， y1， z1）表示表面A1邊界上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)，（x2， y2， 0）表示表面A2邊界上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)。

圖1相互垂直的兩個(gè)矩形表面

Fig.1Two rectangular surfaces in mutual perpendicular position

由于表面A1在X軸上的增量為0，表面A2在Z軸上的增量為0，則有

∮C1lnrdx1=0→∮C1dx1∮C2（lnr）dx2=0

∮C2lnrdz2=0→∮C1dz1∮C2（lnr）dz2=0

從而式（2）簡化為

FA1-A2=12πA1∮C1dy1∮C2（lnr）dy2（3）

先對表面A2的邊界曲線進(jìn)行積分，在Y軸方向積分：

∮C2（lnr）dy2=

∫dycyln（dx-0）2+（y2-y1）2+（0-z1）2dy2+

∫cydyln（cx-0）2+（y2-y1）2+（0-z1）2dy2=

12∫dycyln（dx-0）2+（y2-y1）2+（0-z1）2（cx-0）2+（y2-y1）2+（0-z1）2dy2（41）

上式是y1， z1的函數(shù)，為了便于表示，可簡記為

∮C2（lnr）dy2=f（y1，z1） （42）

再對表面A1的邊界曲線y軸方向進(jìn)行積分

∮C2dy1∮C2（lnr）dy2=∮C2f（y1，z1）dy1=

∫byayf（y1，az）dy1+∫aybyf（y1，bz）dy1=∫byay[f（y1，az）-

f（y1，bz）]dy1∮C1dy1（5）

把（41）、（5）帶入式（3）中并且改變自變量形式即可得

FA1-A2=14πA1∫byaydx

∫dycyln[（y-x）2+d2x+a2z][（y-x）2+c2x+b2z][（y-x）2+c2x+a2z][（y-x）2+d2x+b2z]dy（6）

其中：A1=（by-ay）（bz-az）為表面A1的面積。

122相互平行維護(hù)結(jié)構(gòu)表面的角系數(shù)計(jì)算輻射空調(diào)房間內(nèi)任意兩個(gè)相互平行維護(hù)結(jié)構(gòu)表面的相對位置可用圖2表示，表面A1位于XOZ坐標(biāo)面上，且以其某個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可用a（ax， 0， az）、b（bx， m， bz）、c（cx， m， cz）3個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)確定兩表面的位置。由于表面A1和A2只有在Y軸上的增量為零，所以推導(dǎo)結(jié)果由兩項(xiàng)二重積分組成，具體的推導(dǎo)過程與121類似，這里就不再重復(fù)。

圖2相互平行的2個(gè)矩形表面

Fig.2Two rectangular surfaces in mutual parallel position

FA1-A2=14πA1 ∫ax0dx∫cxbxln[（y-x）2+m2+（bz-a2z][（y-x）2+m2+c2z][（y-x）2+m2+（cz-az）2][（y-x）2+m2+b2z]dy+

∫az0dx∫czbzln[（y-x）2+m2+（bx-ax）2][（y-x）2+m2+c2x][（y-x）2+m2+（cx-ax）2][（y-x）2+m2+b2x]dy（7）

其中： A1=axaz為表面A1的面積。

根據(jù)式（6）和式（7），只需輸入確定兩個(gè)維護(hù)結(jié)構(gòu)表面位置的坐標(biāo)參數(shù)，就能得到所需的角系數(shù)。值得注意的是，確定坐標(biāo)參數(shù)時(shí)，應(yīng)該參考圖1和圖2建立正確的坐標(biāo)系。

2人體與維護(hù)結(jié)構(gòu)表面的角系數(shù)

21建立人體簡化模型

人體表面凹凸不平，相互遮擋，無法用理論方法求解其角系數(shù)，因此有必要對人體形狀作適當(dāng)?shù)暮喕?，考慮用六面體代替人體進(jìn)行求解是比較適宜的[16]。由于人體表面部分相互遮擋，需采用有效輻射面積Aeff來描述人體與環(huán)境輻射換熱的真實(shí)面積[17]：

Aeff=feff×fcl×AD（8）

式中：feff為人體的有效輻射面積系數(shù)，坐立姿態(tài)可取0696；fcl為服裝面積系數(shù)，著裝為長褲長襯衫時(shí)取值為12[18]；AD為裸體人體的外表面積，m2。AD可按DuBois公式計(jì)算[19]：

AD=0202×m0425×l0725（9）

式中：m為人的體重，kg；l為人的身高，m。本文計(jì)算取l=173 m，m=64 kg。

處于室內(nèi)的人體大部分時(shí)間都是坐立姿態(tài)，根據(jù)模型面積和有效輻射面積相等，可以把人體簡化為一個(gè)長（2L）寬（2W）高（2H）分別為028、028、12 m的長方體模型。

22人體與維護(hù)結(jié)構(gòu)表面角系數(shù)的計(jì)算

在1中已經(jīng)分別推導(dǎo)了相互平行與相互垂直下兩矩形表面的角系數(shù)關(guān)系。簡化的人體長方體模型與維護(hù)結(jié)構(gòu)表面的角系數(shù)，實(shí)際上就是人體模型的各個(gè)矩形表面與維護(hù)結(jié)構(gòu)表面角系數(shù)值的平均代數(shù)和。這里省略推導(dǎo)過程，給出圖3和圖4情況下人體對圍護(hù)結(jié)構(gòu)表面的角系數(shù)式（10）與式（11）、（12），圖中坐標(biāo)原點(diǎn)O位于人體模型的中心，相當(dāng)于人體肚臍處位置，人體中心處于矩形表面某一直角的正下（前）方。

FA1-A2=0053 02∫014-014dx ∫X0ln[（y-x）2+（Y+014）2+C2][（y-x）2+（12+C）2][（y-x）2+（Y-014）2+（12+C）2][（y-x）2+C2]dy+

∫014-014dx ∫Y0ln[（y-x）2+（X+014）2+C2][（y-x）2+（12+C）2][（y-x）2+（X-014）2+（12+C）2][（y-x）2+C2]dy（10）

FA1-A2=0053 02∫014-014dx ∫X0ln[（y-x）2+（Y+06）2+C2][（y-x）2+（028+C）2][（y-x）2+（Y-06）2+（028+C）2][（y-x）2+C2]dy+

∫06-06dx ∫Y0ln[（y-x）2+（X+014）2+C2][（y-x）2+（028+C）2][（y-x）2+（X-014）2+（028+C）2][（y-x）2+C2]dy（11）

FA1-A2=0053 02∫06-06dx ∫Y0ln[（y-x）2+（X+014）2+C2][（y-x）2+（028+C）2][（y-x）2+（X-014）2+（028+C）2][（y-x）2+C2]dy+

∫014-014dx ∫X0ln（y-x）2+（Y+06）2+C2（y-x）2+（Y-06）2+C2dy（12）

圖3人體簡化模型與水平矩形表面

Fig.3The simplified human body model and a horizontal rectangle surface

圖4人體簡化模型與垂直矩形表面

Fig.4The simplified human body model and a vertical rectangle surface

式（10）是對應(yīng)圖3，式（11）是對應(yīng)圖4中當(dāng)Y>06 m時(shí)的情況，式（12）是對應(yīng)圖4中當(dāng)Y≤06 m時(shí)的情況。只需要根據(jù)人體與維護(hù)結(jié)構(gòu)表面的相對位置來確定X、Y、C，就可以計(jì)算出角系數(shù)值。人體與矩形表面的其它相對位置可以根據(jù)角系數(shù)的分解性求解[4]。

3結(jié)果與分析

通過以上推導(dǎo)得到了相互平行以及相互垂直兩種相對位置下兩表面間的角系數(shù)計(jì)算式，把坐姿人體簡化為長方體模型，同時(shí)得到了人體與維護(hù)結(jié)構(gòu)表面的角系數(shù)關(guān)系。根據(jù)式（7），把相互平行、大小相等的兩矩形表面的角系數(shù)結(jié)果繪制成圖5。精確的結(jié)果可根據(jù)式（6）和式（7）具體計(jì)算，利用該結(jié)論求解室內(nèi)圍護(hù)結(jié)構(gòu)表面間的角系數(shù)，不受表面位置以及大小的限制，可以有效的求解輻射板、門、窗等表面間的角系數(shù)。但是，當(dāng)相互垂直的兩表面相交時(shí)，即圖1中的az、cx同時(shí)為零，利用式（6）求解，由于被積函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，數(shù)值積分時(shí)會出現(xiàn)奇異性?？紤]到室內(nèi)圍護(hù)結(jié)構(gòu)表面垂直相交的情況，基本都是墻體、頂棚、地板等表面的相交，其特點(diǎn)是相交的邊長相等，如圖6所示，此時(shí)可以采用下式直接進(jìn)行計(jì)算[5]，其中H=Z/X，W=Y/X。

圖5相等平行兩表面間的角系數(shù)

Fig.5Angle factors between two parallel rectangular Surfaces with an equal size

FA1-A2=1πWWtan-11W+Htan-11H-（H2+

W2）1/2tan-11（H2+W2）1/2+

14πWln（1+W2）（1+H2）1+W2+H2W2（1+W2+H2）（1+W2）（W2+H2）W2

H2（1+W2+H2）（1+H2）（W2+H2）H2（13）

同樣，將人體與圍護(hù)結(jié)構(gòu)矩形表面（頂棚、墻體、地板）的角系數(shù)繪制成圖7、8、9、10，以供查詢；圖7、8是分別取D=3 m和D=4 m，根據(jù)相似原則繪制成的無量綱參數(shù)圖表，更為精細(xì)的角系數(shù)值可根據(jù)式（10）、（11）、（12）計(jì)算；實(shí)際中由于人體簡化為六面體固體模型，所以人體前后左右是沒有方向性的。

圖6相互垂直相交的2個(gè)矩形表面

Fig.6Two perpendicular surfaces with a common edge

圖7坐姿人體與頂棚的角系數(shù)

Fig.7Angle factors between a seated person and the ceiling

圖8坐姿人體與垂直壁面的角系數(shù)（Y≥06）

Fig.8Angle factors between a seated personand the vertical wall（Y≥06）

計(jì)算結(jié)果與Fanger用攝像法測得的角系數(shù)對比如圖11、12、13所示。對比可以發(fā)現(xiàn)，本文所得的角系數(shù)一般略小于Fanger所得的角系數(shù)值，但差值較小。在人體對地板表面的角系數(shù)中，當(dāng)邊長較小時(shí)，出現(xiàn)了略大于Fanger所得角系數(shù)的情況，當(dāng)邊長較大時(shí)依然略小于Fanger所得角系數(shù)值。本文采用的是理論解析算法，誤差主要來源于長方體模型與人體實(shí)際形狀的差異，一般來說，該差異對結(jié)果的影響會隨著邊長的增大而逐漸減小。

圖9坐姿人體與地板的角系數(shù)

Fig.9Angle factors between a seated person and the floor

圖10坐姿人體與垂直壁面的角系數(shù)（Y≤06）

Fig.10Angle factors between a seated person and the vertical wall（Y≤06）

圖11本文與Fanger角系數(shù)結(jié)論對比一

Fig.11The first comparison of angle factors between this article and Fanger

圖12本文與Fanger角系數(shù)結(jié)論對比二

Fig.12The second comparison of angle factors between this article and Fanger

圖13本文與Fanger角系數(shù)結(jié)論對比三

Fig.13The third comparisons of angle factors between this article and Fanger

4結(jié)論

針對輻射空調(diào)房間內(nèi)人體、輻射板、門、窗等表面角系數(shù)難以求解的問題，采用Stokes公式轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)曲線角系數(shù)積分公式進(jìn)行推導(dǎo)，有效地求解了人體、輻射板、門、窗等表面的角系數(shù)，得到以下結(jié)論：

1）推導(dǎo)出了相互平行以及相互垂直兩種情況下兩表面的角系數(shù)表達(dá)式，利用該結(jié)論可以求解室內(nèi)任意兩矩形維護(hù)結(jié)構(gòu)表面間的角系數(shù)。

2）把人體簡化為簡單六面體固體，同時(shí)得到了人體與矩形圍護(hù)結(jié)構(gòu)表面的角系數(shù)關(guān)系。

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（編輯胡玲）