張衛(wèi)紅*,郭文杰,朱繼宏

西北工業(yè)大學(xué) 工程仿真與宇航計算技術(shù)實驗室,西安 710072

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計技術(shù)經(jīng)過近30年的發(fā)展和完善,在理論方法和應(yīng)用層面都取得了顯著的成就[1-4],已成為飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計中減輕重量、提高性能的關(guān)鍵手段之一。在飛行器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的設(shè)計過程中,為了滿足系統(tǒng)的綜合力學(xué)性能以及輕量化設(shè)計要求,需要同時考慮組件空間布局和結(jié)構(gòu)構(gòu)型的協(xié)調(diào)設(shè)計問題,如圖1所示,這一多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體式拓撲布局優(yōu)化構(gòu)成了結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域的挑戰(zhàn)性難題[4]。

整體式拓撲布局優(yōu)化的本質(zhì)是實現(xiàn)組件的空間布局及其支撐結(jié)構(gòu)構(gòu)型的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計,如圖2所示,將組件從有效載荷轉(zhuǎn)化為承力件參與傳力路徑布局,實現(xiàn)整體式設(shè)計,是減輕重量、提高性能的有效手段。前期相關(guān)學(xué)者已開展了大量有益的工作,如Feng[5]和Zhang[6]等應(yīng)用圖論、群論和全局優(yōu)化算法開展了衛(wèi)星艙體布局設(shè)計,尚未涉及到組件與支撐結(jié)構(gòu)的協(xié)同設(shè)計；Qian和Ananthasuresh[7]提出了剛性組件的結(jié)構(gòu)構(gòu)型的協(xié)同優(yōu)化；Zhu等[8-10]提出了多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化設(shè)計方法,采用有限包絡(luò)圓方法(FCM)近似描述組件外形,將幾何干涉約束轉(zhuǎn)化為包絡(luò)圓圓心之間的距離約束,解決了幾何干涉問題；Xia[11]、Zhang[12]、張維聲[13-14]以及 Kang[15]等基于Heaviside函數(shù)的材料插值方法、水平集方法以及擴展有限元方法(XFEM)描述組件幾何外形,結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型及組件位置的更新可認為是材料屬性布局的更新。

圖1 典型多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Illustration of a typical multi-component system

為進一步促進整體式拓撲布局優(yōu)化設(shè)計方法在飛行器復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)設(shè)計中的應(yīng)用,本文提出部件級多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計方法,如圖3所示,部件是整體框架結(jié)構(gòu)構(gòu)型中的一個特殊組件,不僅配合主框架結(jié)構(gòu)起承載作用,還作為組件安裝支架連接多個組件。此時,部件級多組件系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計包含了部件布局、組件布局、主結(jié)構(gòu)框架構(gòu)型、部件結(jié)構(gòu)構(gòu)型這4類設(shè)計變量的協(xié)同設(shè)計。

圖2 多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)協(xié)同拓撲布局優(yōu)化設(shè)計示意圖Fig.2 Illustration of integrated layout and topology optimization design of multi-component systems

圖3 部件級多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)協(xié)同拓撲布局優(yōu)化設(shè)計Fig.3 Integrated layout and topology optimization design of multi-component system with assembly units

1 優(yōu)化設(shè)計模型定義

1.1 基于多點約束的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)建模

多點約束(MPC)方法是有限元分析中用于建立連接約束的常用方法。本文中基于前期工作[16],在組件、部件及結(jié)構(gòu)構(gòu)型之間引入了多點約束使其保持連接。圖4給出了多點約束連接的有限元模型,深色部分表示組件,淺色部分表示支撐該組件的支撐結(jié)構(gòu)。

圖4 多點約束連接的幾何模型和有限元模型Fig.4 Geometrical and finite element models of multi-point constraints(MPC)connections

如圖5所示,假設(shè)M1為組件上的一個連接節(jié)點,這個節(jié)點對應(yīng)于支撐結(jié)構(gòu)單元e1上的點,多點約束方程可以寫為

式中:uM1和分別為節(jié)點M1和點的位移矢量；ue1和()為單元e1的位移矢量和點處的形狀函數(shù)系數(shù)矩陣。

圖5 多點約束連接的定義Fig.5 Definition of MPC connections

值得一提的是,多點約束方程是節(jié)點位移的線性組合,多個多點約束方程和邊界條件方程可以統(tǒng)一寫為

式中:H為由結(jié)構(gòu)單元的形狀函數(shù)、多點約束位置和邊界條件共同決定的系數(shù)矩陣；u為多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體位移向量。

1.2 優(yōu)化模型

考慮多點約束方程,修訂后的系統(tǒng)勢能可以寫為

式中:K為結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣；F和λ分別為節(jié)點載荷和拉格朗日乘子向量。駐點處的歐拉公式可以寫為

求解式(4)可以得到u和λ。

優(yōu)化過程中,需要考慮部件布局、組件布局、主結(jié)構(gòu)框架構(gòu)型和部件結(jié)構(gòu)構(gòu)型這4類設(shè)計變量,因此,優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)表述可以寫為

式中:(xε,yε,θε)和(xκ,yκ,θκ)分別為描述組件ε和部件κ位置的幾何設(shè)計變量,包括平動及轉(zhuǎn)動坐標(biāo)；ηi和ηj分別為主結(jié)構(gòu)和部件結(jié)構(gòu)設(shè)計域單元i和j的偽密度設(shè)計變量；nca、ncb、nda和ndb分別為組件數(shù)目、部件數(shù)目、主結(jié)構(gòu)拓撲設(shè)計域單元數(shù)目和部件結(jié)構(gòu)拓撲設(shè)計域單元數(shù)目；C為結(jié)構(gòu)的總體應(yīng)變能；V和VU分別為結(jié)構(gòu)材料用量及其上限；Γε和Γκ分別為組件ε和部件κ所占區(qū)域；ΓD為主結(jié)構(gòu)所包括的設(shè)計區(qū)域。組件和部件之間的非干涉約束采用有限包絡(luò)圓方法定義。

2 靈敏度求解

首先推導(dǎo)結(jié)構(gòu)總體應(yīng)變能對主結(jié)構(gòu)框架構(gòu)型、部件結(jié)構(gòu)構(gòu)型拓撲優(yōu)化偽密度設(shè)計變量的靈敏度。式(4)兩端同時對偽密度設(shè)計變量求偏導(dǎo)可得

假設(shè)F=f+G,其中:f為設(shè)計無關(guān)載荷；G為設(shè)計相關(guān)載荷,如重力、慣性力、離心力等。設(shè)計無關(guān)載荷f對偽密度設(shè)計變量的靈敏度為0,因此式(6)可以簡化為

式(11)中設(shè)計相關(guān)載荷G和總體剛度矩陣K可根據(jù)材料質(zhì)量和材料插值模型求得。結(jié)構(gòu)總體位移向量u可以通過一次有限元分析得到。

應(yīng)變能和平衡方程對平動幾何設(shè)計變量ξi求偏導(dǎo),可以得到

假設(shè)ξi為第i個組件的平動坐標(biāo)設(shè)計變量,則在有限元分析過程中組件平動不會影響總體剛度矩陣,即?K/?ξi=0,這樣式(14)就可以簡化為

如果ξi是第i個組件的轉(zhuǎn)動坐標(biāo)設(shè)計變量,則當(dāng)組件在有限元分析過程中發(fā)生轉(zhuǎn)動時,組件的剛度矩陣可以寫為

最終,系統(tǒng)總體應(yīng)變能對轉(zhuǎn)動設(shè)計變量的靈敏度可以寫為

3 數(shù)值算例

3.1 含兩個部件的12組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

考慮如圖6所示尺寸為1.8 m×0.6 m×0.6 m的長方體薄壁通筒,通過翻邊與兩個標(biāo)記為E和F、尺寸為0.6 m×0.6 m的薄壁部件建立多點約束連接。在標(biāo)有A～D的通筒外壁和部件E和F上各安裝2個組件,編號1～12,初始位置如圖7所示。通筒側(cè)壁、組件、部件厚度均為0.01 m。為避免組件間幾何干涉,各組件幾何輪廓用有限包絡(luò)圓近似表述,如圖8所示。

圖6 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)初始工況Fig.6 Original condition of proposed system

圖7 組件初始位置布局Fig.7 Original position of each component

圖8 組件幾何模型及其有限包絡(luò)圓描述Fig.8 Geometric models and finite-circle definition of each component

材料屬性賦值如下:

薄壁通筒及部件,彈性模量E0=7×1010Pa、密度ρ0=2 700 kg/m3、泊松比ν0=0.3。

組件,彈性模量Ex=2×1011Pa、密度ρx=7 800 kg/m3、泊松比νx=0.3。

薄壁通筒側(cè)壁及部件上的材料用量上限均約束為40%。首先考慮不含組件的單一結(jié)構(gòu)構(gòu)型拓撲優(yōu)化,如圖9所示,隨著優(yōu)化迭代,側(cè)壁及部件上的材料分布逐漸清晰。經(jīng)過約103次迭代目標(biāo)函數(shù)收斂于0.089 J,如圖10收斂曲線所示。

隨后將組件安裝到該系統(tǒng)中,同時考慮組件及部件的位置設(shè)計,即部件可沿著薄壁通筒長邊平動,組件在各自安裝平面內(nèi)移動。優(yōu)化過程如圖11所示,組件和部件的位置均隨迭代進行而變動,與此同時,側(cè)壁及部件上的支撐結(jié)構(gòu)材料布局也不斷更新。迭代初始,由于組件材料屬性較強,導(dǎo)致組件對優(yōu)化目標(biāo)更敏感,位置更新迅速；隨后,側(cè)壁及部件的支撐結(jié)構(gòu)構(gòu)型逐漸清晰,組件、部件位置也逐漸趨于穩(wěn)定。優(yōu)化結(jié)果中,部件E的位置從0.6 m變?yōu)?.410 m,部件F的位置從初始的1.2 m變?yōu)?.195 m?？梢?側(cè)壁及部件的材料分布、組件和部件的空間位置均找到了合適的布局,共同構(gòu)成了整體式傳力路徑。目標(biāo)函數(shù)經(jīng)約89次迭代收斂于0.075 J,如圖12所示。

圖9 無組件系統(tǒng)優(yōu)化歷史Fig.9 Iteration history of optimization design of system without component

圖10 無組件系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)收斂曲線Fig.10 Convergence history of objective function of system without component

圖11 含組件系統(tǒng)優(yōu)化歷史Fig.11 Iteration history of optimization design of system with components

圖12 含組件系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)收斂曲線Fig.12 Convergence history of objective function of system with components

由以上算例可以發(fā)現(xiàn),部件和組件的位置更新與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的拓撲構(gòu)型耦合影響,導(dǎo)致整體式設(shè)計與單一拓撲優(yōu)化設(shè)計有明顯區(qū)別。最終布局優(yōu)化結(jié)果并非組件、部件和結(jié)構(gòu)拓撲的簡單疊加,而是多種因素匹配承載效果的體現(xiàn)。

3.2 慣性載荷作用下的8部件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

圖13 8部件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)基本描述Fig.13 Basic definition of proposed 8 assembly units system

考慮如圖13所示長×寬×高為3 m×3 m×2 m的設(shè)備艙,上蓋板尺寸為4 m×4 m,8個部件通過支撐座安裝在設(shè)備艙內(nèi)及其蓋板上,艙內(nèi)被隔板均分為4部分。部件通過尺寸為0.8 m×0.5 m的矩形平面與上蓋板、下蓋板連接,安裝面通過4個角點附近的節(jié)點與上蓋板、下蓋板之間建立多點約束連接。設(shè)計變量包括設(shè)備艙所有壁板、部件支撐座的材料分布以及部件的位置布局。

分別約束下底板各角點及各邊中點。初始時,每個部件幾何中心距其所在蓋板中心的距離均為l0=1.05 m?？紤]到設(shè)備的對稱性要求,每個組件僅沿其所在蓋板的對角線在給定范圍內(nèi)移動。

材料屬性賦值如下:

壁板及支撐座,彈性模量E0=1.96×1011Pa、密度ρ0=2 050 kg/m3、泊松比ν0=0.3。

組件,彈性模量Ex=7×1010Pa、密度ρx=2 700 kg/m3、泊松比νx=0.3。

壁板及支撐座材料用量的上限約束為40%,仍然以結(jié)構(gòu)總體應(yīng)變能最小為目標(biāo)進行優(yōu)化。首先考慮系統(tǒng)在自身重力作用下的布局優(yōu)化設(shè)計,如圖14所示,隨著優(yōu)化迭代,壁板及支撐座材料布局逐漸清晰。經(jīng)過約60次的迭代,優(yōu)化目標(biāo)收斂于0.115 56 J。此時上蓋板上4個組件幾何中心距上蓋板中心距離變?yōu)閘up=1.10 m,艙內(nèi)4個部件距離為lin=1.11 m。

圖14 不同視角下自身重力作用的優(yōu)化歷史Fig.14 Iteration history under its own gravity from different viewpoints

繼續(xù)對上述結(jié)構(gòu)施加豎直向上的加速度a=49 m/s2,其他條件不變。優(yōu)化設(shè)計經(jīng)過43次迭代收斂,最終目標(biāo)函數(shù)數(shù)值為2.592 44 J,lup=1.10 m,lin=1.11 m,圖15給出了最終優(yōu)化構(gòu)型。

上述算例表明,當(dāng)系統(tǒng)承受a=49 m/s2的加速度時,支撐結(jié)構(gòu)較單純重力作用下時明顯得到加強,大量材料分布在靠近底端的支撐位置。圖16給出了以上2種工況下的目標(biāo)函數(shù)收斂曲線。

圖15 a=49 m/s2作用下系統(tǒng)最終優(yōu)化結(jié)果,C W=2.592 44 JFig.15 Final optimized results under acceleration a=49 m/s2,C W=2.592 44 J

圖16 兩種工況下目標(biāo)函數(shù)收斂曲線Fig.16 Convergence curves of objective function under two different load steps

4 結(jié) 論

1)提出了部件級多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體式拓撲布局優(yōu)化設(shè)計方法,對多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行了優(yōu)化設(shè)計,拓展了多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計方法,使飛行器復(fù)雜部件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體式優(yōu)化設(shè)計成為可能。

2)通過數(shù)值算例深入分析,驗證了所提方法的正確性,實現(xiàn)了典型部件級多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的布局優(yōu)化設(shè)計,設(shè)計結(jié)果獲得了清晰的結(jié)構(gòu)構(gòu)型形式和新的組件、部件位置布局,這些設(shè)計因素共同構(gòu)成了整體式傳力路徑樣式。

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