杜建銘，龍泉，麥焯偉，杜衡

(深圳大學(xué)機(jī)電與控制工程學(xué)院，廣東深圳 518060)

式中:θ表示玻璃工件轉(zhuǎn)過(guò)的角度;X表示磨輪移動(dòng)量;R表示磨輪半徑;

0 前言

據(jù)IDC預(yù)測(cè)，2013年全球手機(jī)銷售量超過(guò)9億部，2017年底將達(dá)到15億部，巨大的社會(huì)需求極大地促進(jìn)手機(jī)玻璃制造行業(yè)的發(fā)展。隨著對(duì)手機(jī)玻璃性能要求日趨增高，在其產(chǎn)業(yè)鏈中，手機(jī)玻璃磨邊環(huán)節(jié)不斷受到重視，促成手機(jī)玻璃磨邊的控制算法和誤差分析研究成為研究熱點(diǎn)和技術(shù)突破的重點(diǎn)。

傳統(tǒng)的磨邊目的是去除前道精磨的加工痕跡(磨紋、劃印、麻點(diǎn)、毛刺)，一般不能提高工件形狀精度和尺寸精度。其采用的靠模加工方式，需要在加工產(chǎn)品前制作專門的產(chǎn)品模板，當(dāng)生產(chǎn)品種較多時(shí)，模板制作與管理費(fèi)用高，更換模板麻煩［1］。

數(shù)控玻璃邊磨邊機(jī)一般采用兩軸聯(lián)動(dòng)加工方式，按所采用坐標(biāo)系的不同又可分為極坐標(biāo)系型和直角坐標(biāo)系型加工。對(duì)于直角坐標(biāo)系型式，華中科技大學(xué)開(kāi)發(fā)了一種基于測(cè)量的數(shù)控異型玻璃磨邊［2］，西安交通大學(xué)開(kāi)發(fā)了一種數(shù)控異型玻璃磨邊機(jī)［3］，加工時(shí)玻璃工件固定在工作臺(tái)上，依靠X、Y軸聯(lián)動(dòng)實(shí)現(xiàn)加工，效率不高。對(duì)于極坐標(biāo)系型式，國(guó)內(nèi)控制算法研究主要是在上層軟件層面上，底層插補(bǔ)算法研究不夠深入。趙萍等人［4］提出一種適用于回轉(zhuǎn)類零件精加工的插補(bǔ)算法，Liu Feng等［5］提出了基于粒子運(yùn)動(dòng)的極坐標(biāo)插補(bǔ)算法研究，以上文獻(xiàn)都對(duì)極坐標(biāo)型式下的插補(bǔ)算法進(jìn)行深入的研究。

然而，上述的研究大多是面向金屬材料或普通的玻璃，對(duì)于目前市場(chǎng)需要量較大的手機(jī)專有的鋼化玻璃及其特殊外形輪廓方面沒(méi)有涉及，并且存在磨削效率較低、專用化不強(qiáng)、精度不高等特點(diǎn)。為此，作者對(duì)手機(jī)玻璃邊輪廓磨邊展開(kāi)了工藝分析、控制算法研究，并對(duì)影響加工精度的主要因素進(jìn)行了討論。

1 工作原理

如圖1為數(shù)控手機(jī)玻璃邊磨邊機(jī)的工作原理圖，主要機(jī)械結(jié)構(gòu)為主軸電機(jī)、X、Z、C軸電機(jī)，玻璃夾具、左右對(duì)稱磨輪等。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是三軸聯(lián)動(dòng)方式，一個(gè)伺服電機(jī)(C軸)通過(guò)機(jī)械傳動(dòng)裝置帶動(dòng)工件作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，一個(gè)伺服電機(jī)帶動(dòng)兩個(gè)對(duì)稱的磨輪在X軸方向作進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，Z軸作輔助軸，便于玻璃邊的倒角和磨輪的加工位置調(diào)整。手機(jī)玻璃邊輪廓磨邊過(guò)程中應(yīng)始終保持磨輪的外圓與工件的外邊相切，切點(diǎn)就是磨削點(diǎn)，玻璃外輪廓的磨邊過(guò)程主要通過(guò)C軸和X軸聯(lián)動(dòng)完成。

圖1 數(shù)控雙頭手機(jī)玻璃磨邊機(jī)的工作原理

2 控制系統(tǒng)的算法研究

根據(jù)給定的進(jìn)給速度和給定輪廓線形的要求，在輪廓的已知點(diǎn)之間，確定一些中間點(diǎn)的方法，這種方法稱為插補(bǔ)。也即數(shù)據(jù)的密化處理［6］?？梢园巡逖a(bǔ)起始點(diǎn)間的插入點(diǎn)稱為插補(bǔ)的密化點(diǎn)，實(shí)際上直線插補(bǔ)、圓弧插補(bǔ)、B樣條插補(bǔ)以及比較新穎的NURBS插補(bǔ)、PH曲線插補(bǔ)的最終實(shí)現(xiàn)都是通過(guò)插補(bǔ)密化點(diǎn)間的微直線逼近實(shí)現(xiàn)的，其不同點(diǎn)只是在于它們?cè)诓逖a(bǔ)起始點(diǎn)間采用的微線段的總體形狀是逼近直線、圓弧、B樣條還是NURBS曲線、PH曲線。

針對(duì)手機(jī)玻璃的特殊外形輪廓構(gòu)造，即:四段直線和四段小圓弧構(gòu)成，文中提出了基于極坐標(biāo)系下的直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)的算法。

2.1 專用的直線插補(bǔ)算法

如圖2所示，以右側(cè)磨輪和玻璃的位置關(guān)系進(jìn)行分析，根據(jù)對(duì)稱性，左側(cè)也類似，假設(shè)初始位置磨輪與玻璃相切A，當(dāng)玻璃工件順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，加工AB直線邊，根據(jù)幾何關(guān)系有

式中:θ表示玻璃工件轉(zhuǎn)過(guò)的角度;
X表示磨輪移動(dòng)量;
R表示磨輪半徑;

點(diǎn)A表示玻璃中心和玻璃長(zhǎng)邊的垂足，點(diǎn)B表示玻璃長(zhǎng)邊和小圓弧的過(guò)渡點(diǎn)，點(diǎn)P表示玻璃邊和磨輪的切點(diǎn);

當(dāng)進(jìn)行加工直線AB段時(shí)，須滿足AP＜AB條件;即

式中:θ1=arctan［(L－r)/(W+R)］，表示點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，對(duì)應(yīng)的θ值;

r表示小圓弧半徑。

圖2 直線段插補(bǔ)

2.2 專用的圓弧插補(bǔ)算法

如圖3所示，當(dāng)加工小圓弧段時(shí)，根據(jù)圓弧段和磨輪相切位置關(guān)系的特性，以下討論玻璃工件順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)情況，即滿足

其中，θ3=arctan［(L+R)/(W－r)］，表示第一段圓弧運(yùn)動(dòng)完成時(shí)，對(duì)應(yīng)的θ值;此時(shí)，

圖3 圓弧段插補(bǔ)

不妨設(shè)OO1所在直線為X軸，與之相垂直相交于O點(diǎn)直線為Y軸，O點(diǎn)為(0，0)，O1(Xo1，0)，O2(a，b)，即

其中，θ2=arctan［(L－r)/(W－r)］，表示點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與X軸相交位置時(shí)，對(duì)應(yīng)的θ值

聯(lián)合式(4)、(5)、(6)得

磨邊輪移動(dòng)量為

這樣通過(guò)上述式(1)、(8)就建立了X=f(θ)的關(guān)系式，由(2)、(3)可確定角度變化范圍。從而就可以根據(jù)角度的變化量大小，相應(yīng)地改變X軸進(jìn)給量，達(dá)到了聯(lián)動(dòng)效果。其他段的原理采用類似方法即可。

3 誤差分析

在玻璃輪廓的磨邊加工過(guò)程中存在影響加工精度眾多的因素，主要來(lái)源可分為:機(jī)械結(jié)構(gòu)誤差、控制系統(tǒng)誤差、磨削過(guò)程機(jī)械損耗誤差。這里主要討論磨削加工速度大小、方式不同所導(dǎo)致的誤差。

3.1 離散時(shí)間系統(tǒng)跟隨誤差

跟隨誤差，是指伺服系統(tǒng)發(fā)出的指令位置與系統(tǒng)輸出的實(shí)際位置之間的穩(wěn)態(tài)誤差［7］。在實(shí)際工程應(yīng)用中，都是離散時(shí)間系統(tǒng)，如圖4是速度環(huán)輸入的離散系統(tǒng)方框圖。

圖4 離散時(shí)間控制系統(tǒng)方塊圖

圖4中R(s)、C(s)、K、τ分別表示速度環(huán)激勵(lì)、響應(yīng)、伺服增益和時(shí)間常數(shù)。ZOH表示零階保持器，可表示為

T表示采樣時(shí)間。即系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

經(jīng)過(guò)Z變換后

由上述公式對(duì)比分析，跟隨誤差只與系統(tǒng)指令速度和伺服的增益有關(guān)系，與系統(tǒng)指令速度成正比，與伺服增益成反比，并且不受采樣周期的大小的影響。

3.2 綜合輪廓誤差

在數(shù)控機(jī)床的各軸聯(lián)動(dòng)加工過(guò)程中，由于各軸自身跟隨誤差的存在，因此合成的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)產(chǎn)生工件的輪廓誤差。所謂的輪廓誤差［8－10］是指，任意位置處，實(shí)際輪廓軌跡與理論輪廓軌跡之間的最短距離［11－12］。對(duì)于采用極坐標(biāo)型，輪廓由直線軸和旋轉(zhuǎn)軸合成運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生。兩軸的跟隨誤差會(huì)引起輪廓誤差，此時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡復(fù)雜，為便于分析，這里提出綜合輪廓誤差的概念，即:

式中:ΔX、ΔY分別表示X、C軸聯(lián)動(dòng)產(chǎn)生的X、Y軸向的綜合的跟隨誤差。

不妨設(shè)C軸和X軸的增益分別為Kc、Kx，這樣C軸和X軸的跟隨誤差分別為:

式中:Kc、Kx分別表示C軸和X軸的增益，vc、vx分別表示C軸和X軸的指令速度。這樣C軸的跟隨誤差可以分解為X、Y軸向誤差:

式中:φ表示旋轉(zhuǎn)工件在切削點(diǎn)處的線速度方向與X軸正方向的夾角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正值，逆時(shí)針為負(fù)值;εcx、εcy分別表示C軸跟隨誤差在X、Y軸的分量。從而系統(tǒng)的綜合輪廓誤差可表示為:

總之，跟隨誤差是產(chǎn)生系統(tǒng)輪廓誤差的主要原因，輪廓誤差是影響加工輪廓形狀的根本因素。在直角坐標(biāo)系中，對(duì)于直線輪廓誤差，當(dāng)兩軸伺服增益相同就不存在輪廓誤差［9］;曲線輪廓誤差不僅跟伺服增益匹配，與指令速度有關(guān)，同時(shí)也跟曲線的形狀有關(guān)。若要減少系統(tǒng)的輪廓誤差，盡量使聯(lián)動(dòng)軸伺服增益靠近并偏大，指令速度適當(dāng)減小，曲線越平滑越好。而在極坐標(biāo)系中，由公式(16)可知，適當(dāng)?shù)販p少指令速度、增大伺服增益，可以減少綜合輪廓誤差。

3.3 恒角速度磨削磨砂輪速度、加速度仿真分析

磨削力的大小直接影響磨邊的效果，根據(jù)研究磨削力的文獻(xiàn)［13－14］以及磨削原理，磨削力大小跟工件磨削點(diǎn)速度、磨輪旋轉(zhuǎn)速度密切相關(guān)。李勇等提出的數(shù)控凸輪軸指令曲線的優(yōu)化［15］文獻(xiàn)中關(guān)于加工曲線最優(yōu)化分析，加工精度受到磨削點(diǎn)線速度，伺服軸的速度、加速度及加速度變化率，系統(tǒng)頻率成分等因素影響。因此要提高加工精度，磨削點(diǎn)線速度盡可能小且恒定，伺服軸的速度、加速度及加速度變化率絕對(duì)值盡可能小，系統(tǒng)高頻成分盡量少。但諸多因素相互制約，一項(xiàng)減小可能引起另一項(xiàng)增加，所以必須綜合考慮諸多因素，得到一個(gè)最優(yōu)的結(jié)果。

通過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可以相應(yīng)地求出磨削輪位置、速度、加速度隨時(shí)間變化的關(guān)系。下面以手機(jī)玻璃磨削加工為例，手機(jī)玻璃輪廓的基本參數(shù)為:玻璃的長(zhǎng)112 mm、寬60 mm，玻璃小圓弧半徑7 mm，磨輪的半徑為100 mm，這里采取恒角速度加工方式進(jìn)行仿真分析，設(shè)定工件旋轉(zhuǎn)角速度為ω=1 rad/s。

從圖5、6分析，X軸磨削速度最大值約為53 mm/s，X軸最大加速度約為0.235 m/s2，速度、加速度都不大，加速度變化率也不太大，因此對(duì)伺服系統(tǒng)要求不是很高，此時(shí)磨削力變化成為影響加工精度的主要因素。對(duì)于恒線速度情況，可維持恒定的磨削力，理論上可以提高磨削加工精度。恒線速度磨削方式聯(lián)動(dòng)耦合運(yùn)動(dòng)模型復(fù)雜，控制算法難，此外還會(huì)導(dǎo)致瞬間的速度、加速度、加速度變化率過(guò)大，對(duì)伺服系統(tǒng)的控制精度提出了很高的要求，可能會(huì)導(dǎo)致不能形成良好的耦合，加工精度反而會(huì)大大降低。此外，復(fù)雜的恒線速度磨削系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生很多的高頻成分，也會(huì)影響伺服精度?？傊憔€速度磨削加工是提高磨削加工的有效措施，但實(shí)現(xiàn)起來(lái)困難重重。針對(duì)目前的工藝要求和伺服系統(tǒng)自身發(fā)展條件，恒角速度磨削方式基本上能滿足加工現(xiàn)有的工藝需求。

圖5 X軸速度隨時(shí)間變化關(guān)系

圖6 X軸加速度隨時(shí)間變化關(guān)系

3.4 恒角速度磨削改進(jìn)策略下磨砂輪的速度、加速度仿真分析

在恒角速度磨削加工中，在圓弧段加工時(shí)間較長(zhǎng)，但磨輪的位置、速度、加速度變化量不大;在直線段加工時(shí)間較短，但磨削輪位置、速度、加速度變化量大;為了提高加工精度和效率，提出了在圓弧段適當(dāng)增大角速度，直線段降低角速度的分段恒角速度磨削的改進(jìn)策略。

通過(guò)改進(jìn)恒角速度磨削的策略，在加工直線段角速度設(shè)為ω=0.7 rad/s，加工圓弧段角速度設(shè)為ω=1.3 rad/s，保持角速度平均值為ω=1 rad/s，這樣便于與恒角速度加工方法對(duì)比分析，其他參數(shù)量保持不變。下面將對(duì)恒角速度磨削加工改進(jìn)策略下的速度、加速度進(jìn)行仿真分析。

從圖7、8分析，X軸磨削速度最大值大約為68 mm/s，改進(jìn)后X軸最大加速度數(shù)值大約為0.16 m/s2(忽略正負(fù)號(hào))。對(duì)比可知，改進(jìn)恒角速度磨削加工最大速度比恒角速度方法提高了15 mm/s，最大加速度卻減少了大約75 mm/s2，并且完成一周期的加工時(shí)間有一定減少;再?gòu)募铀俣惹€變化趨勢(shì)來(lái)看，改進(jìn)恒角速度曲線相比恒角速度曲線平滑度更好，從而加速度變化率也相應(yīng)減小。這樣速度適量增大，但加速度、加速度變化率的都能減小，伺服系統(tǒng)跟蹤效果達(dá)到一定改善。因此，在加工輪廓曲線變化平滑處適當(dāng)增加角速度，而在其他處適當(dāng)降低角速度的恒角速度磨削改進(jìn)策略，相比于恒角速度磨削方式能改進(jìn)伺服系統(tǒng)性能，從而提高加工精度。

圖7 X軸速度隨時(shí)間變化關(guān)系

圖8 X軸加速度隨時(shí)間變化關(guān)系

總之，要減少誤差，需在伺服系統(tǒng)，機(jī)械系統(tǒng)，硬件控制系統(tǒng)和軟件算法設(shè)計(jì)方面達(dá)到最佳優(yōu)化。

4 結(jié)束語(yǔ)

該數(shù)控手機(jī)玻璃磨邊機(jī)是針對(duì)了當(dāng)前使用最為廣泛的手機(jī)玻璃進(jìn)行研制的，使用工件旋轉(zhuǎn)并與左右對(duì)稱磨輪聯(lián)動(dòng)磨邊，極大地改進(jìn)傳統(tǒng)磨邊技術(shù)方法，同時(shí)也促進(jìn)了手機(jī)玻璃加工行業(yè)的發(fā)展。該技術(shù)也可以相應(yīng)地應(yīng)用到平板玻璃、數(shù)碼相機(jī)等設(shè)備的磨邊。在磨削力控制和上層的指令曲線優(yōu)化、恒線速度磨削技術(shù)方面都是值得今后深入研究的問(wèn)題。

［1］趙毅忠，楊奕昕．高精度數(shù)控玻璃磨邊機(jī)及其控制算法［J］．工業(yè)儀表與自動(dòng)化裝置，2012(1):17．

［2］龔興武，金建新．玻璃磨邊機(jī)床專用CNC系統(tǒng)的研究與開(kāi)發(fā)［D］．武漢:華中科技大學(xué)，2003．

［3］石憲章．?dāng)?shù)控異形玻璃磨邊機(jī)加工軟件的研究與開(kāi)發(fā)［D］．西安:西安交通大學(xué)，2001．

［4］趙萍，王亞美，徐慧，等．一種適用于回轉(zhuǎn)類零件精加工的插補(bǔ)算法［J］．機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2005(1):47－48．

［5］LIU F，QU R，ZHENG L，et al．Research on Polar Coordinate Interpolation Algorithm Based on Particle Movement［C］//Computer Science and Automation Engineering(CSAE)，2012 IEEE International Conference on．IEEE，2012:164－168．

［6］楊后川，梁煒．機(jī)床數(shù)控技術(shù)及應(yīng)用［M］．北京:北京大學(xué)出版社，2005．

［7］薛旺錄，劉立美．?dāng)?shù)控機(jī)床中伺服系統(tǒng)技術(shù)特性的應(yīng)用［J］．機(jī)械研究與應(yīng)用，2008，21(3):13－16．

［8］SUN J，HU C．Research on Modeling of Contour Error for Motion Control System of CNC Machine［C］//Mechanic Automation and Control Engineering(MACE)，2011 Second International Conference on．IEEE，2011:1553－1556．

［9］HUO F，XI X C，POO A N．Effect of Servo Control Frequency on Contour Errors in a Bi-axial Cnc Machine［C］//Mechatronics and Automation(ICMA)，2010 International Conference on．IEEE，2010:1132－1136．

［10］ZHAO G．Research on Analyse and Compensation Approach Aimed at CNC Machine Geometrical and Kinema-?tic Errors［C］//Intelligent Computation Technology and Automation，2009．ICICTA’09．Second International Conference on．IEEE，2009:893－896．

［11］PATNAIK DURGUMAHANTI U S，SINGH V，VENKATESWARA Rao P．A New Model for Grinding Force Prediction and Analysis［J］．International Journal of Machine Tools and Manufacture，2010，50(3):231－240．

［12］LIU Q，CHEN X，WANG Y，et al．Empirical Modelling of Grinding Force Based on Multivariate Analysis［J］．Journal of Materials Processing Technology，2008，203(1－3):420－430．

［13］李勇，段正澄，胡倫驥．?dāng)?shù)控凸輪軸磨削指令曲線的優(yōu)化［J］．制造業(yè)自動(dòng)化，2006，28(6):47－50．

［14］唐立偉，曹勝男．超精密加工輪廓誤差的ILC-CCC補(bǔ)償控制［J］．云南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，17(3):274－276，282．

［15］孫興偉，董蔚，王可，等．?dāng)?shù)控機(jī)床伺服系統(tǒng)跟隨誤差對(duì)加工輪廓的影響［J］．制造技術(shù)與機(jī)床，2010(6):76－78．