杜建銘，龍泉，麥焯偉，杜衡

(深圳大學機電與控制工程學院，廣東深圳 518060)

式中:θ表示玻璃工件轉過的角度;X表示磨輪移動量;R表示磨輪半徑;

0 前言

據(jù)IDC預測，2013年全球手機銷售量超過9億部，2017年底將達到15億部，巨大的社會需求極大地促進手機玻璃制造行業(yè)的發(fā)展。隨著對手機玻璃性能要求日趨增高，在其產(chǎn)業(yè)鏈中，手機玻璃磨邊環(huán)節(jié)不斷受到重視，促成手機玻璃磨邊的控制算法和誤差分析研究成為研究熱點和技術突破的重點。

傳統(tǒng)的磨邊目的是去除前道精磨的加工痕跡(磨紋、劃印、麻點、毛刺)，一般不能提高工件形狀精度和尺寸精度。其采用的靠模加工方式，需要在加工產(chǎn)品前制作專門的產(chǎn)品模板，當生產(chǎn)品種較多時，模板制作與管理費用高，更換模板麻煩［1］。

數(shù)控玻璃邊磨邊機一般采用兩軸聯(lián)動加工方式，按所采用坐標系的不同又可分為極坐標系型和直角坐標系型加工。對于直角坐標系型式，華中科技大學開發(fā)了一種基于測量的數(shù)控異型玻璃磨邊［2］，西安交通大學開發(fā)了一種數(shù)控異型玻璃磨邊機［3］，加工時玻璃工件固定在工作臺上，依靠X、Y軸聯(lián)動實現(xiàn)加工，效率不高。對于極坐標系型式，國內(nèi)控制算法研究主要是在上層軟件層面上，底層插補算法研究不夠深入。趙萍等人［4］提出一種適用于回轉類零件精加工的插補算法，Liu Feng等［5］提出了基于粒子運動的極坐標插補算法研究，以上文獻都對極坐標型式下的插補算法進行深入的研究。

然而，上述的研究大多是面向金屬材料或普通的玻璃，對于目前市場需要量較大的手機專有的鋼化玻璃及其特殊外形輪廓方面沒有涉及，并且存在磨削效率較低、專用化不強、精度不高等特點。為此，作者對手機玻璃邊輪廓磨邊展開了工藝分析、控制算法研究，并對影響加工精度的主要因素進行了討論。

1 工作原理

如圖1為數(shù)控手機玻璃邊磨邊機的工作原理圖，主要機械結構為主軸電機、X、Z、C軸電機，玻璃夾具、左右對稱磨輪等。運動過程中是三軸聯(lián)動方式，一個伺服電機(C軸)通過機械傳動裝置帶動工件作旋轉運動，一個伺服電機帶動兩個對稱的磨輪在X軸方向作進給運動，Z軸作輔助軸，便于玻璃邊的倒角和磨輪的加工位置調(diào)整。手機玻璃邊輪廓磨邊過程中應始終保持磨輪的外圓與工件的外邊相切，切點就是磨削點，玻璃外輪廓的磨邊過程主要通過C軸和X軸聯(lián)動完成。

圖1 數(shù)控雙頭手機玻璃磨邊機的工作原理

2 控制系統(tǒng)的算法研究

根據(jù)給定的進給速度和給定輪廓線形的要求，在輪廓的已知點之間，確定一些中間點的方法，這種方法稱為插補。也即數(shù)據(jù)的密化處理［6］?？梢园巡逖a起始點間的插入點稱為插補的密化點，實際上直線插補、圓弧插補、B樣條插補以及比較新穎的NURBS插補、PH曲線插補的最終實現(xiàn)都是通過插補密化點間的微直線逼近實現(xiàn)的，其不同點只是在于它們在插補起始點間采用的微線段的總體形狀是逼近直線、圓弧、B樣條還是NURBS曲線、PH曲線。

針對手機玻璃的特殊外形輪廓構造，即:四段直線和四段小圓弧構成，文中提出了基于極坐標系下的直線插補和圓弧插補的算法。

2.1 專用的直線插補算法

如圖2所示，以右側磨輪和玻璃的位置關系進行分析，根據(jù)對稱性，左側也類似，假設初始位置磨輪與玻璃相切A，當玻璃工件順時針轉動，加工AB直線邊，根據(jù)幾何關系有

式中:θ表示玻璃工件轉過的角度;
X表示磨輪移動量;
R表示磨輪半徑;

點A表示玻璃中心和玻璃長邊的垂足，點B表示玻璃長邊和小圓弧的過渡點，點P表示玻璃邊和磨輪的切點;

當進行加工直線AB段時，須滿足AP＜AB條件;即

式中:θ1=arctan［(L－r)/(W+R)］，表示點P運動到點B時，對應的θ值;

r表示小圓弧半徑。

圖2 直線段插補

2.2 專用的圓弧插補算法

如圖3所示，當加工小圓弧段時，根據(jù)圓弧段和磨輪相切位置關系的特性，以下討論玻璃工件順時針轉動情況，即滿足

其中，θ3=arctan［(L+R)/(W－r)］，表示第一段圓弧運動完成時，對應的θ值;此時，

圖3 圓弧段插補

不妨設OO1所在直線為X軸，與之相垂直相交于O點直線為Y軸，O點為(0，0)，O1(Xo1，0)，O2(a，b)，即

其中，θ2=arctan［(L－r)/(W－r)］，表示點P運動到與X軸相交位置時，對應的θ值

聯(lián)合式(4)、(5)、(6)得

磨邊輪移動量為

這樣通過上述式(1)、(8)就建立了X=f(θ)的關系式，由(2)、(3)可確定角度變化范圍。從而就可以根據(jù)角度的變化量大小，相應地改變X軸進給量，達到了聯(lián)動效果。其他段的原理采用類似方法即可。

3 誤差分析

在玻璃輪廓的磨邊加工過程中存在影響加工精度眾多的因素，主要來源可分為:機械結構誤差、控制系統(tǒng)誤差、磨削過程機械損耗誤差。這里主要討論磨削加工速度大小、方式不同所導致的誤差。

3.1 離散時間系統(tǒng)跟隨誤差

跟隨誤差，是指伺服系統(tǒng)發(fā)出的指令位置與系統(tǒng)輸出的實際位置之間的穩(wěn)態(tài)誤差［7］。在實際工程應用中，都是離散時間系統(tǒng)，如圖4是速度環(huán)輸入的離散系統(tǒng)方框圖。

圖4 離散時間控制系統(tǒng)方塊圖

圖4中R(s)、C(s)、K、τ分別表示速度環(huán)激勵、響應、伺服增益和時間常數(shù)。ZOH表示零階保持器，可表示為

T表示采樣時間。即系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

經(jīng)過Z變換后

由上述公式對比分析，跟隨誤差只與系統(tǒng)指令速度和伺服的增益有關系，與系統(tǒng)指令速度成正比，與伺服增益成反比，并且不受采樣周期的大小的影響。

3.2 綜合輪廓誤差

在數(shù)控機床的各軸聯(lián)動加工過程中，由于各軸自身跟隨誤差的存在，因此合成的運動軌跡會產(chǎn)生工件的輪廓誤差。所謂的輪廓誤差［8－10］是指，任意位置處，實際輪廓軌跡與理論輪廓軌跡之間的最短距離［11－12］。對于采用極坐標型，輪廓由直線軸和旋轉軸合成運動產(chǎn)生。兩軸的跟隨誤差會引起輪廓誤差，此時運動軌跡復雜，為便于分析，這里提出綜合輪廓誤差的概念，即:

式中:ΔX、ΔY分別表示X、C軸聯(lián)動產(chǎn)生的X、Y軸向的綜合的跟隨誤差。

不妨設C軸和X軸的增益分別為Kc、Kx，這樣C軸和X軸的跟隨誤差分別為:

式中:Kc、Kx分別表示C軸和X軸的增益，vc、vx分別表示C軸和X軸的指令速度。這樣C軸的跟隨誤差可以分解為X、Y軸向誤差:

式中:φ表示旋轉工件在切削點處的線速度方向與X軸正方向的夾角，順時針旋轉為正值，逆時針為負值;εcx、εcy分別表示C軸跟隨誤差在X、Y軸的分量。從而系統(tǒng)的綜合輪廓誤差可表示為:

總之，跟隨誤差是產(chǎn)生系統(tǒng)輪廓誤差的主要原因，輪廓誤差是影響加工輪廓形狀的根本因素。在直角坐標系中，對于直線輪廓誤差，當兩軸伺服增益相同就不存在輪廓誤差［9］;曲線輪廓誤差不僅跟伺服增益匹配，與指令速度有關，同時也跟曲線的形狀有關。若要減少系統(tǒng)的輪廓誤差，盡量使聯(lián)動軸伺服增益靠近并偏大，指令速度適當減小，曲線越平滑越好。而在極坐標系中，由公式(16)可知，適當?shù)販p少指令速度、增大伺服增益，可以減少綜合輪廓誤差。

3.3 恒角速度磨削磨砂輪速度、加速度仿真分析

磨削力的大小直接影響磨邊的效果，根據(jù)研究磨削力的文獻［13－14］以及磨削原理，磨削力大小跟工件磨削點速度、磨輪旋轉速度密切相關。李勇等提出的數(shù)控凸輪軸指令曲線的優(yōu)化［15］文獻中關于加工曲線最優(yōu)化分析，加工精度受到磨削點線速度，伺服軸的速度、加速度及加速度變化率，系統(tǒng)頻率成分等因素影響。因此要提高加工精度，磨削點線速度盡可能小且恒定，伺服軸的速度、加速度及加速度變化率絕對值盡可能小，系統(tǒng)高頻成分盡量少。但諸多因素相互制約，一項減小可能引起另一項增加，所以必須綜合考慮諸多因素，得到一個最優(yōu)的結果。

通過旋轉軸的運動規(guī)律，可以相應地求出磨削輪位置、速度、加速度隨時間變化的關系。下面以手機玻璃磨削加工為例，手機玻璃輪廓的基本參數(shù)為:玻璃的長112 mm、寬60 mm，玻璃小圓弧半徑7 mm，磨輪的半徑為100 mm，這里采取恒角速度加工方式進行仿真分析，設定工件旋轉角速度為ω=1 rad/s。

從圖5、6分析，X軸磨削速度最大值約為53 mm/s，X軸最大加速度約為0.235 m/s2，速度、加速度都不大，加速度變化率也不太大，因此對伺服系統(tǒng)要求不是很高，此時磨削力變化成為影響加工精度的主要因素。對于恒線速度情況，可維持恒定的磨削力，理論上可以提高磨削加工精度。恒線速度磨削方式聯(lián)動耦合運動模型復雜，控制算法難，此外還會導致瞬間的速度、加速度、加速度變化率過大，對伺服系統(tǒng)的控制精度提出了很高的要求，可能會導致不能形成良好的耦合，加工精度反而會大大降低。此外，復雜的恒線速度磨削系統(tǒng)會產(chǎn)生很多的高頻成分，也會影響伺服精度?？傊憔€速度磨削加工是提高磨削加工的有效措施，但實現(xiàn)起來困難重重。針對目前的工藝要求和伺服系統(tǒng)自身發(fā)展條件，恒角速度磨削方式基本上能滿足加工現(xiàn)有的工藝需求。

圖5 X軸速度隨時間變化關系

圖6 X軸加速度隨時間變化關系

3.4 恒角速度磨削改進策略下磨砂輪的速度、加速度仿真分析

在恒角速度磨削加工中，在圓弧段加工時間較長，但磨輪的位置、速度、加速度變化量不大;在直線段加工時間較短，但磨削輪位置、速度、加速度變化量大;為了提高加工精度和效率，提出了在圓弧段適當增大角速度，直線段降低角速度的分段恒角速度磨削的改進策略。

通過改進恒角速度磨削的策略，在加工直線段角速度設為ω=0.7 rad/s，加工圓弧段角速度設為ω=1.3 rad/s，保持角速度平均值為ω=1 rad/s，這樣便于與恒角速度加工方法對比分析，其他參數(shù)量保持不變。下面將對恒角速度磨削加工改進策略下的速度、加速度進行仿真分析。

從圖7、8分析，X軸磨削速度最大值大約為68 mm/s，改進后X軸最大加速度數(shù)值大約為0.16 m/s2(忽略正負號)。對比可知，改進恒角速度磨削加工最大速度比恒角速度方法提高了15 mm/s，最大加速度卻減少了大約75 mm/s2，并且完成一周期的加工時間有一定減少;再從加速度曲線變化趨勢來看，改進恒角速度曲線相比恒角速度曲線平滑度更好，從而加速度變化率也相應減小。這樣速度適量增大，但加速度、加速度變化率的都能減小，伺服系統(tǒng)跟蹤效果達到一定改善。因此，在加工輪廓曲線變化平滑處適當增加角速度，而在其他處適當降低角速度的恒角速度磨削改進策略，相比于恒角速度磨削方式能改進伺服系統(tǒng)性能，從而提高加工精度。

圖7 X軸速度隨時間變化關系

圖8 X軸加速度隨時間變化關系

總之，要減少誤差，需在伺服系統(tǒng)，機械系統(tǒng)，硬件控制系統(tǒng)和軟件算法設計方面達到最佳優(yōu)化。

4 結束語

該數(shù)控手機玻璃磨邊機是針對了當前使用最為廣泛的手機玻璃進行研制的，使用工件旋轉并與左右對稱磨輪聯(lián)動磨邊，極大地改進傳統(tǒng)磨邊技術方法，同時也促進了手機玻璃加工行業(yè)的發(fā)展。該技術也可以相應地應用到平板玻璃、數(shù)碼相機等設備的磨邊。在磨削力控制和上層的指令曲線優(yōu)化、恒線速度磨削技術方面都是值得今后深入研究的問題。

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