李瑞霞

(長(zhǎng)治醫(yī)學(xué)院生物醫(yī)學(xué)工程系，山西長(zhǎng)治 046000)

0 前言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于其本身具有的諸多優(yōu)點(diǎn)，如剛度高、承載能力強(qiáng)、動(dòng)態(tài)性能好、速度快和結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等，受到了國(guó)際學(xué)術(shù)界和工程界的廣泛重視［1－2］。陳修龍等［3］對(duì)4-UPS-UPU并聯(lián)式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的靈巧度從7個(gè)性能指標(biāo)進(jìn)行了研究，齊明［4］對(duì)4-UPS/UPU 5自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分析，提出給定工作空間使其操作性能最優(yōu)的尺度綜合方法，吳文強(qiáng)等［5］對(duì)串聯(lián)機(jī)器人的性能指標(biāo)進(jìn)行了優(yōu)化分析，Tao等［6］對(duì)三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了性能指標(biāo)優(yōu)化分析，對(duì)于對(duì)立的性能指標(biāo)提出加權(quán)因子，李明磊等［7］提出了基于差異演化算法對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

本文作者以一種可實(shí)現(xiàn)5自由度的4-UPS-UPU并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型及雅克比矩陣，考慮機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，引入全域條件指標(biāo)和全域梯度指標(biāo)為優(yōu)化目標(biāo)，基于多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化軟件Modefrontier對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化研究。采用柱坐標(biāo)極限搜索法求解機(jī)構(gòu)工作空間，通過求解其全域條件指標(biāo)的近似值，得到優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型;采用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和粒子群優(yōu)化算法對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化求解，求得最優(yōu)Pareto解，對(duì)優(yōu)化前后的運(yùn)動(dòng)性能進(jìn)行了比較分析，為并聯(lián)機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

1 4-UPS-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型

1.1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)描述

4-UPS-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型及坐標(biāo)系的建立如圖1所示，該機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)及連接動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)的4條完全相同的驅(qū)動(dòng)支鏈UPS以及1條驅(qū)動(dòng)支鏈UPU組成。4個(gè)完全相同的驅(qū)動(dòng)支鏈由1個(gè)虎克鉸，1個(gè)移動(dòng)副和1個(gè)球鉸按照U-P-S的順序連接而成。另一驅(qū)動(dòng)支鏈由一個(gè)移動(dòng)副和兩個(gè)虎克鉸按照U-P-U的順序連接而成［8］。

圖1 4-UPS-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

以該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)靜平臺(tái)的幾何中心o、O為原點(diǎn)，分別建立機(jī)構(gòu)的相對(duì)坐標(biāo)系o－xyz和參考坐標(biāo)系O－XYZ，動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑為ra，x軸指向點(diǎn)A1，鉸點(diǎn)Ai在動(dòng)平臺(tái)圓周上均勻分布，z軸垂直于動(dòng)平臺(tái)方向向上，y軸正方向按右手定則給定;靜平臺(tái)外接圓的半徑為rb，X軸指向B5，B1與X軸正向夾角為45°，其余4個(gè)虎克鉸相距90°均勻分布，Z軸垂直于定平臺(tái)方向向上，Y軸由右手螺旋定則給定。

1.2 自由度的計(jì)算

根據(jù)傳統(tǒng)的自由度求解公式

式中:F為機(jī)構(gòu)的自由度，n為構(gòu)件數(shù)，g為運(yùn)動(dòng)副數(shù)，fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)。d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)，當(dāng)機(jī)構(gòu)為空間機(jī)構(gòu)時(shí)，式中的d=6。球副的自由度為3，虎克鉸的自由度為2，移動(dòng)副的自由度為1。該機(jī)構(gòu)中，則F=5。即動(dòng)平臺(tái)具有X軸、Y軸、Z軸移動(dòng)的自由度以及繞X軸、Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度。

1.3 機(jī)構(gòu)位置分析

動(dòng)平臺(tái)鉸點(diǎn)Ai在相對(duì)坐標(biāo)系oxyz和參考坐標(biāo)系OXYZ下的矢量坐標(biāo)可以表示為(Aix，Aiy，Aiz)T和(AiX，AiY，AiZ)T。

靜平臺(tái)鉸點(diǎn)Bi在相對(duì)坐標(biāo)系O－XYZ下的坐標(biāo)為(BiX，BiY，BiZ)T。

點(diǎn)Ai從坐標(biāo)系o－xyz轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系O－XYZ下表示為

式中:P=[x y z]T表示相對(duì)坐標(biāo)系o－xyz原點(diǎn)在定坐標(biāo)系下的位置矢量，根據(jù)RPY變換理論，可得旋轉(zhuǎn)矩陣Q為

式中:sβ=sinβ，cβ=cosβ，其余類似。

驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度矢量表達(dá)式為

則驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度li為

若已知?jiǎng)悠脚_(tái)的位姿，即可求出各連桿長(zhǎng)度，即運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。

1.4 雅可比矩陣分析

對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)4-UPS-UPU，雅可比矩陣反映驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度與動(dòng)平臺(tái)速度之間的映射關(guān)系。設(shè)動(dòng)平臺(tái)o點(diǎn)的線速度，動(dòng)平臺(tái)的角速度ω=，鉸點(diǎn)Ai的速度可表示為

則第i條支鏈的驅(qū)動(dòng)速度l·

i可表示為

其中si為驅(qū)動(dòng)支鏈的單位向量

把式(6)代入式(7)中，得

則并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣為

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)的建立

2.1 全域條件指標(biāo)

Gosseli［9－10］提出了全域條件指標(biāo)，能夠評(píng)估機(jī)構(gòu)在整個(gè)工作空間上的運(yùn)動(dòng)性能，公式定義為其中ν為局部條件數(shù)，ν=1/κ(J)，κ(J)為雅可比條件數(shù)，κ(J)=‖J‖·‖J-1‖，‖·‖為矩陣的譜范數(shù)，W為工作空間。

全域條件數(shù)越大，說(shuō)明整個(gè)工作空間的靈巧度越佳，因此，應(yīng)使優(yōu)化目標(biāo)GCⅠ處于最大化。

2.2 全域梯度指標(biāo)

F A LARA-MOLINA［11－12］提出了全域梯度指標(biāo)，它代表局部條件數(shù)的波動(dòng)情況，定義為

其中局部條件數(shù)的梯度可以表示為

GPⅠ近似等于整個(gè)工作空間下局部梯度的最大值，若梯度越小，說(shuō)明整個(gè)工作空間的靈巧度波動(dòng)性越小。于是，希望全域梯度指標(biāo)取最小。

2.3 工作空間求解

為了求解全域條件指標(biāo)和全域梯度指標(biāo)，需要求解該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間。本文采用柱坐標(biāo)極限搜索法對(duì)4UPS-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)定位姿(α=0，β=0)下位置工作空間求解。通過搜索空間中動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)的位置對(duì)應(yīng)的桿長(zhǎng)和運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角以及奇異性判斷是否符合限制條件，判斷該位置點(diǎn)是否在工作空間內(nèi)。搜索工作空間的流程圖見圖2。

圖2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間搜索流程圖

具體的步驟為:

(1)將工作空間用平行于XY平面的的平面簇將Z軸分成n等份，沿Z軸以步長(zhǎng)為Δz的子空間從Zmin到Zmax進(jìn)行搜索;

(2)每一子空間z'內(nèi)，采用柱坐標(biāo)確定子空間，動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)o在參考坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(ρcosθ，ρsinθ，z)。極角θ從0到2π以步長(zhǎng)為Δθ=2π/100搜索，極徑從ρ=0以步長(zhǎng)Δρ=0.01 m搜索至ρmax=0.5 m。

(3)在搜索過程中，判斷動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)是否滿足約束條件。如果機(jī)構(gòu)滿足約束條件且至少有一個(gè)取等號(hào)，則該點(diǎn)為工作空間的邊界點(diǎn)，從而得到每個(gè)截面上的邊界線，最終由邊界線描繪出工作空間的三維輪廓;

(4)將柱坐標(biāo)系下的ρ、θ轉(zhuǎn)化到笛卡爾坐標(biāo)系下，x=ρcosθ，y=ρsinθ。用坐標(biāo)(x，y，z)表示，Matlab繪制機(jī)構(gòu)工作空間的三維圖形。

機(jī)構(gòu)參數(shù)初始值見表1。

表1 機(jī)構(gòu)參數(shù)表

借助MATLAB軟件編寫工作空間程序，可求得機(jī)構(gòu)的三維工作空間，如圖3所示。

圖3 4-UPS-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間

3 優(yōu)化模型的建立

選擇該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)lmin=0.4為固定值，ra、rb、lmax作為設(shè)計(jì)變量;優(yōu)化目標(biāo)為機(jī)構(gòu)的全域條件指標(biāo)GCⅠ和全域梯度指標(biāo)GGⅠ，則機(jī)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化模型為

4 優(yōu)化結(jié)果分析

Modefrontier集成MATLAB，采用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、優(yōu)化算法來(lái)求解GCⅠ的最大值和GPⅠ的最小值。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)采用最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)，粒子群優(yōu)化算法參數(shù)配置如下［13］:粒子種群大小為40，粒子個(gè)數(shù)設(shè)為10，慣性權(quán)重為0.9，全局增量為0.9，粒子增量為0.9，決定在當(dāng)前位置與最好位置之間的區(qū)域分辨率的最大速度為0.1，運(yùn)行失敗的罰值為1030，運(yùn)行失敗的目標(biāo)值為1030。任務(wù)組合流程圖如圖4所示。

圖4 Modefrontier多目標(biāo)優(yōu)化任務(wù)流程圖

Modefrontier在進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化過程中，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)會(huì)對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行計(jì)算，并剔除不符合約束條件的值，滿足約束條件的值會(huì)進(jìn)入優(yōu)化環(huán)節(jié)，進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化求解，多次遺傳迭代后可得到全域條件性能指標(biāo)和全域梯度指標(biāo)的Pareto解集，如圖5所示。

圖5 全域性能指標(biāo)的Pareto解集

設(shè)計(jì)變量對(duì)性能指標(biāo)的影響如圖6、7所示。

圖6 ra、rb對(duì)全域條件指標(biāo)的影響圖

圖7 ra、rb對(duì)全域梯度指標(biāo)的影響圖

從圖5可以看出，全域條件指標(biāo)和全域梯度指標(biāo)是近似正相關(guān)，這是兩個(gè)相互沖突的指標(biāo)，增大GCⅠ的同時(shí)也會(huì)增大GPⅠ。從圖6和圖7可以看出，隨著設(shè)計(jì)變量的增大，性能指數(shù)也在增加，因此，需要設(shè)計(jì)者從Pareto解中選擇符合要求的解。

選擇P點(diǎn)作為可行解，比較優(yōu)化前后目標(biāo)函數(shù)變化情況，見表2。

表2 設(shè)計(jì)變量與性能指標(biāo)優(yōu)化前后結(jié)果比較

優(yōu)化前GCⅠ=0.093，GPⅠ=0.9×10－2;優(yōu)化后GCⅠ=0.122，GGⅠ=0.97×10－2，全域條件指標(biāo)增大了30%，而全域梯度指標(biāo)僅僅增大7%。

多目標(biāo)優(yōu)化不同于單目標(biāo)優(yōu)化，并不是獲取一個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解，由于多目標(biāo)函數(shù)的相互沖突，使得Pareto解未必占優(yōu)。但如果單純優(yōu)化一個(gè)目標(biāo)，就會(huì)使得其他性能很差。因此，同時(shí)對(duì)多個(gè)性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，需要決策者權(quán)衡滿足不同要求的優(yōu)化結(jié)果，合理選取設(shè)計(jì)參數(shù)的值。

5 結(jié)論

(1)以一種可實(shí)現(xiàn)5自由度的4-UPS-UPU并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型及雅克比矩陣，考慮機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，并引入全域條件指標(biāo)和全域梯度指標(biāo)作為運(yùn)動(dòng)靈巧度的評(píng)價(jià)指標(biāo);

(2)采用柱坐標(biāo)邊界極限搜索法求解工作空間的方法，求解了全域條件指標(biāo)的數(shù)學(xué)模型;在建立優(yōu)化目標(biāo)、選擇設(shè)計(jì)變量、確定優(yōu)化目標(biāo)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了4-UPS-UPU機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)靈巧度多目標(biāo)優(yōu)化模型;

(3)基于多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化軟件Modefrontier對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化研究，采用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和粒子群優(yōu)化算法對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，求得Pareto解，并從多組解中合理選擇了最優(yōu)解，并合理確定了結(jié)構(gòu)參數(shù)和優(yōu)化參數(shù)，通過優(yōu)化前后結(jié)果比較，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能得到增強(qiáng)，該文為并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

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