謝寶昌

(上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，上海， 200240)

0 引言

鏡像法是“電磁場”課程的重要內(nèi)容之一，其本質(zhì)是利用矢量場唯一性定理并通過求解區(qū)域外設(shè)置鏡像電荷來等效區(qū)域邊界電荷的影響，其典型實例是靜電場無窮大接地導(dǎo)體平面和圓球面鏡像的解析解，但“電磁場”相關(guān)教材主要針對鏡像法的原理和求解方法，沒有進一步闡述這兩種鏡像法的內(nèi)在聯(lián)系［1-4］。

本文從無窮大接地導(dǎo)體平面鏡像出發(fā)，引入空間圓球面對稱變換方法，揭示球面鏡像與平面鏡像的相互關(guān)系，從而獲得更加簡潔的求解球面鏡像問題的方法，這有助于學(xué)生深入認識靜電場中鏡像法的本質(zhì)和規(guī)律。

1 無窮大接地導(dǎo)體平面鏡像

靜電場中，點電荷關(guān)于無窮大接地導(dǎo)體平面鏡像是電磁場中最基本的鏡像問題，如圖1所示，假設(shè)接地平面MN，點電荷Q及其鏡像電荷Qi關(guān)于平面MN對稱，建立圓球坐標(biāo)系，原點位于兩點電荷的連線上，求解區(qū)域在平面MN的右半空間。為了方便起見令無界空間的格林函數(shù)的圓球坐標(biāo)表示為

式中，場點矢徑 r(r，θ，φ)，源點矢徑 s(s，0，0)，兩者之差表示源點到場點的矢量，因此格林函數(shù)不僅具有對稱性且與坐標(biāo)原點位置無關(guān)，如r1=r－s和 r2=r － si［3］。

圖1 無窮大接地導(dǎo)體平面鏡像

由圖1不難得到，場源點電荷Q的矢徑s與其鏡像點電荷Qi=-Q的矢徑si之間的關(guān)系，根據(jù)對稱性滿足

2 圓球面對稱變換

如圖2所示，圓球半徑a，球心為坐標(biāo)原點，原來空間微元電荷量dQ及其圓球坐標(biāo)s經(jīng)過對稱變換后分別為dQi和si，變換原則用含零矢量0的格林函數(shù)表示為式(5)表明坐標(biāo)變換系數(shù)等于電荷變換系數(shù)的平方，而且逆變換具有對稱性，點s與si稱為變換圓球面的一對對稱點，其逆變換表示為

圖2 圓球面對稱變換

式(9)表明變換后空間任意點(P點)r的電位φi(r)等于變換前對稱點a2r/r2的電位φ(a2r/r2)與電荷量變換系數(shù)a/r的乘積，反之亦然，即經(jīng)圓球面逆變換后得到原來空間電位分布也具有對稱性

盡管變換前的等位面經(jīng)過變換后不再保持等位面，但零電位面是例外，而且空間圓球面經(jīng)過變換后仍然是圓球面或者經(jīng)過原點的圓球面變換為無窮大平面。這一特點可建立起圓球面與平面鏡像的聯(lián)系。

3 圓球面與平面鏡像轉(zhuǎn)換

如圖3所示，半徑為a的接地導(dǎo)體圓球球心c，坐標(biāo)原點o選擇在導(dǎo)體圓球面上，使得球外點電荷Q位于z軸上，其點電荷到球心c距離為d，圓球坐標(biāo)矢量s對稱點坐標(biāo)矢量為si，即滿足導(dǎo)體球面對稱變換

為了計算導(dǎo)體球外部電位分布，以原點為球心半徑為b的圓球面進行對稱變換，使得上述對稱點s與si關(guān)于該圓球面仍保持對稱點，則半徑b為

圖3 圓球面與平面鏡像轉(zhuǎn)換

由式(11)和(12)可知b＞2a，且

式(13)表明經(jīng)半徑為b的圓球面對稱變換后，接地導(dǎo)體球面變換為接地平面MN且是對稱點s與si的對稱平面，導(dǎo)體圓球內(nèi)部變換到MN的右半空間，外部變換到MN的左半空間，電荷量由式(5)得到Qi=Qb/s，該電荷關(guān)于無窮大接地平面的鏡像，左半空間電位分布為

式(18)代入式(17)表明，電位分布是點電荷Q關(guān)于半徑為a的接地導(dǎo)體圓球面的格林函數(shù)表示，即球外點電荷Q與球內(nèi)鏡像電荷-aQ/d產(chǎn)生的電位合成得到球面鏡像問題的解［3］。由此可見，接地導(dǎo)體圓球面的鏡像問題可以通過圓球面對稱變換將導(dǎo)體圓球面變換成無窮大平面，然后利用平面鏡像獲得求解空間的解，再經(jīng)過逆變換獲得實際問題的解。

特別需要強調(diào)的是式(14)和(17)與坐標(biāo)原點位置無關(guān)，因此所有位置矢量可以看成是導(dǎo)體圓球球心位于坐標(biāo)原點。式(17)中括號內(nèi)的球面格林函數(shù)在導(dǎo)體圓球面上恒等于零，即保持零電位［3］。

如果球外電荷是分布的，式(17)是與源點坐標(biāo)相關(guān)聯(lián)的，那么電位分布需要采用積分形式。事實上電位分布可以分為兩部分:球外分布電荷單獨作用引起的電位分布φo(r)，由式(7)計算，球面電荷可以等效成鏡像電荷單獨作用的電位分布φi(r)，根據(jù)導(dǎo)體球面對稱變換式(10)和疊加原理得到

其中，負號表示鏡像電荷與源電荷符號相反。

因此接地導(dǎo)體圓球外分布電荷產(chǎn)生的空間電位

接地導(dǎo)體球殼內(nèi)存在點電荷或分布電荷的鏡像是類似的，只要將圖3中s與si對稱點位置交換，計算公式(11)-(20)仍然適用，不再贅述。

4 圓球?qū)w不接地的鏡像問題

如果導(dǎo)體圓球不接地，那么需要補充條件，球面鏡像問題才能求解。

4.1 導(dǎo)體球面電位V0給定

1)求解圓球外部電位分布

求解導(dǎo)體外部電荷分布的鏡像問題，可在導(dǎo)體球心處設(shè)置點電荷Q0，即滿足球面電位等于給定值

利用疊加原理，球外電位分布等于球外電荷與接地導(dǎo)體球鏡像電荷電位分布，再加上球心點電荷產(chǎn)生的球外電位，由式(20)得到

2)求解圓球殼內(nèi)部電位分布

對于接地導(dǎo)體球殼內(nèi)電荷分布產(chǎn)生的電位，可以根據(jù)內(nèi)部電荷產(chǎn)生的電位φi(r)由式(7)計算，與導(dǎo)體球殼內(nèi)表面感應(yīng)電荷或等效鏡像電荷分布產(chǎn)生的電位，再加上球殼電位V0，類似式(20)得到

4.2 導(dǎo)體凈電荷量Q0給定

1)求解圓球外部電位分布

確定球外電荷產(chǎn)生的電位時，需要計算導(dǎo)體球接地時的感應(yīng)電荷或鏡像電荷總量Qit，由式(5)得到

將式(26)代入式(22)得到球外電位分布。

2)求解球殼內(nèi)部電位分布

球殼內(nèi)電位分布是由內(nèi)部電荷、內(nèi)表面感應(yīng)電荷或等效鏡像電荷以及外表面電荷產(chǎn)生的電位共同作用的結(jié)果。球殼電位由球殼外表面電荷產(chǎn)生，等于球殼內(nèi)電荷總量Qi與球殼凈電荷量Qo產(chǎn)生的電位之和

將式(27)代入式(23)便得到球內(nèi)電位分布。

5 結(jié)語

本文利用一般圓球面對稱變換建立了空間坐標(biāo)、電荷量變換關(guān)系和電位分布計算關(guān)系，獲得特殊條件下球面鏡像與平面鏡像的聯(lián)系，推導(dǎo)了點電荷球面鏡像的平面鏡像法計算公式，并將公式推廣而且簡化了分布電荷球面鏡像的計算公式，進一步討論了導(dǎo)體圓球或球殼不接地情況下內(nèi)、外空間電位分布的計算公式。理論研究揭示了導(dǎo)體平面和球面兩種鏡像法的內(nèi)在聯(lián)系和變換關(guān)系，這將有助于學(xué)生深入理解“電磁場”教材中靜電場鏡像法的內(nèi)容。

［1］周希朗.電磁場.北京:電子工業(yè)出版社，2008年

［2］謝處方，饒克謹(jǐn).電磁場與電磁波.北京:高等教育出版社，第4版，2006年

［3］王薔，李國定，龔克.電磁場理論基礎(chǔ).北京:清華大學(xué)出版社，2001年

［4］陳重，崔正勤，胡冰.電磁場理論基礎(chǔ).北京:北京理工大學(xué)出版社，第2版，2010年