宋 起，單東日

SONG Qi, SHAN Dong-ri

（齊魯工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，濟(jì)南 250353）

0 引言

一些文獻(xiàn)對(duì)同軸度誤差測(cè)量存在一定的認(rèn)識(shí)誤區(qū)，甚至提出了錯(cuò)誤的同軸度評(píng)定算法，加大了測(cè)量結(jié)果的誤差。原因在于對(duì)測(cè)量參考線、基準(zhǔn)軸線、被測(cè)實(shí)際軸線的概念不明確，同時(shí)曲解了同軸度、圓度、徑向圓跳動(dòng)度之間的關(guān)系。

1 同軸度測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)方法

根據(jù)《中國(guó)人民共和國(guó)機(jī)械行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)》中同軸度誤差檢測(cè)方法要求可知，檢測(cè)同軸度誤差，具體標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量步驟如下：1）根據(jù)工件基準(zhǔn)要素輪廓正截面的坐標(biāo)，以最小二乘法、最小區(qū)域法等方法，擬合出多個(gè)垂直于測(cè)量參考線的正截面圓心坐標(biāo)；2）根據(jù)擬合得到的多個(gè)圓心坐標(biāo)，利用最小二乘法、最小包容圓法等擬合出一條空間軸線，此軸線為測(cè)量同軸度的基準(zhǔn)軸線；3）測(cè)量被測(cè)實(shí)際要素各正截面輪廓坐標(biāo)，利用最小二乘法、最小區(qū)域法等方法，得到圓心坐標(biāo)；4）計(jì)算被測(cè)實(shí)際要素各輪廓正截面圓心與基準(zhǔn)軸線的距離，最大距離的2倍為此工件的同軸度誤差。

2 改進(jìn)后的快速同軸度評(píng)定算法

2.1 垂直于測(cè)量參考線的基準(zhǔn)要素輪廓正截面

同軸度測(cè)量過(guò)程中，測(cè)量參考線的選擇很重要，如圖1所示，Z軸為測(cè)量參考軸線，若此工件兩端用頂尖固定，Z軸即為兩頂尖之間的連線。測(cè)量過(guò)程中的基準(zhǔn)要素輪廓正截面與被測(cè)要素輪廓正截面都與測(cè)量參考線垂直，所以， 同軸度的準(zhǔn)確測(cè)量是建立在測(cè)量參考線正確選擇的基礎(chǔ)上。

圖1 測(cè)量坐標(biāo)系

2.2 數(shù)學(xué)模型的建立

2.2.1 最小二乘圓求截面圓心

假設(shè)（a,b）為某一垂直于測(cè)量參考線的輪廓正截面最小二乘圓心，R為最小二乘圓半徑，（xi,yi）為此正截面的輪廓上各點(diǎn)坐標(biāo)，其中n為被測(cè)點(diǎn)數(shù)，依據(jù)最小二乘法原理，應(yīng)使分別對(duì)式中a,b,R求偏導(dǎo)，可以得到近似評(píng)定公式

2.2.2 最小二乘法求得基準(zhǔn)要素輪廓正截面圓心坐標(biāo)

評(píng)定圖2中中間軸段C的同軸度誤差，需得到垂直于測(cè)量參考線的基準(zhǔn)要素輪廓正截面的坐標(biāo)，軸段A,B上每個(gè)正截面輪廓收集n個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)（A,B陰影部分為正截面），共測(cè)量j個(gè)正截面。利用最小二乘法計(jì)算最小二乘圓心坐標(biāo)，基準(zhǔn)軸段上的第j個(gè)垂直于測(cè)量參考線的基準(zhǔn)要素輪廓正截面圓心坐標(biāo)為（Xoj,Yoj），共獲得j個(gè)圓心坐標(biāo)。

圖2 垂直于測(cè)量參考線的正截面示意圖

2.2.3 空間最小二乘法轉(zhuǎn)化為二維平面求點(diǎn)法

在建立工件基準(zhǔn)軸線時(shí)，需要利用多個(gè)基準(zhǔn)要素上的正截面圓心，擬合一條空間直線作為基準(zhǔn)軸線，空間最小二乘算法計(jì)算繁瑣復(fù)雜，因此，此方法受到很大限制。

圖2中，基準(zhǔn)要素輪廓正截面與測(cè)量參考線OZ垂直，因此，用基準(zhǔn)要素正截面圓心擬合的空間最小二乘軸線與OZ軸平行,對(duì)于空間最小二乘法擬合基準(zhǔn)軸線,擬合規(guī)則是每一個(gè)提取點(diǎn)到理想直線的距離的平方和最小。圖3中，基準(zhǔn)要素輪廓8個(gè)正截面圓心投影到XOY面上，求取一個(gè)點(diǎn)Od(xd,yd)，使該點(diǎn)到各個(gè)圓心投影點(diǎn)的距離的平方和為最小，則點(diǎn)Od為空間最小二乘法擬合的基準(zhǔn)軸線與XOY面的交點(diǎn)，以O(shè)d點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，在XOY面上評(píng)價(jià)同軸度誤差。

在XOY面上的離散的投影點(diǎn)集中，尋取一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)至各投影點(diǎn)的平方和最小，可以利用MATLAB工具箱函數(shù)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化方法。這個(gè)求解的數(shù)學(xué)模型為無(wú)約束多元函數(shù)最小值，可以在MATLAB中調(diào)用fminsearch函數(shù)求取。

圖3 基準(zhǔn)要素輪廓正截面圓心投影

2.2.4 同軸度誤差計(jì)算

已知被測(cè)實(shí)際要素輪廓正截面坐標(biāo)，測(cè)量j個(gè)正截面，每個(gè)截面測(cè)量n個(gè)點(diǎn)，第j個(gè)截面最小二乘圓心被測(cè)實(shí)際要素輪廓截面中心點(diǎn)Opj與基準(zhǔn)軸線與XOY面的交點(diǎn),即與基準(zhǔn)點(diǎn)Od之間的最大距離的2倍為此工件的同軸度誤差，此工件同軸度誤差

3 實(shí)例分析

表1為某階梯軸已經(jīng)求得的輪廓正截面最小二乘圓心，1～4、13～16為階梯軸基準(zhǔn)要素上的垂直于測(cè)量參考線的正截面最小二乘圓心坐標(biāo)，5～12為階梯軸被測(cè)實(shí)際要素上的垂直于測(cè)量參考線的正截面最小二乘圓心坐標(biāo)。

表1 某階梯軸16段截面最小二乘圓心坐標(biāo)

表2為某階梯軸上垂直于測(cè)量參考線的多個(gè)正截面的最小二乘圓心，將基準(zhǔn)要素正截面最小二乘圓心投影到XOY面上，利用MATLAB中的fminsearch函數(shù)求解得到Od(xd,yd)，這個(gè)點(diǎn)即為平行于測(cè)量參考線的基準(zhǔn)軸線與XOY面的交點(diǎn)。

按照本文算法的思想，其數(shù)學(xué)模型為求解無(wú)約束多元函數(shù)最小值的問(wèn)題，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真計(jì)算，調(diào)用MATLAB工具箱函數(shù)中的fminsearch函數(shù)，設(shè)x(1)=xd，x(2)=yd。X=fminsearch('(x(1)-1 6 7.0 3 3 6)^2+(x(1)-1 6 7.0 3 7 6)^2+(x(1)-1 6 7.0 3 8 2)^2+(x(1)-1 6 7.0 4 3 9)^2+(x(1)-1 6 7.0 3 9 4)^2+(x(1)-1 6 7.0 4 0 4)^2+(x(1)-1 6 7.0 3 9 9)^2+(x(1)-1 6 7.0 3 9 9)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 0)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 7)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 2)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 3)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 2)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 3)^2+(x(2)-236.9974)^2+(x(2)-236.9971)^2',[0,0])。計(jì)算得到基準(zhǔn)點(diǎn)Od（xd=167.0391，yd=236.9973），如圖4中星號(hào)所示。

將被測(cè)實(shí)際要素上垂直于測(cè)量參考線的正截面最小二乘圓心（5～12）投影到XOY面上，圖5中的圓圈為5～12的投影點(diǎn)，計(jì)算這些點(diǎn)與基準(zhǔn)點(diǎn)的距離，找出最大距離，以基準(zhǔn)點(diǎn)為圓心，最大距離為半徑做圓，此圓的直徑即為工件的同軸度誤差，經(jīng)計(jì)算，此工件的同軸度誤差為0.0128mm。經(jīng)對(duì)比，此算法滿足求解同軸度的精度要求，算法快速簡(jiǎn)便且不失準(zhǔn)確性。

圖4 求解基準(zhǔn)點(diǎn)

圖5 同軸度誤差評(píng)定

4 結(jié)束語(yǔ)

在同軸度測(cè)量中，運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行空間基準(zhǔn)軸線擬合時(shí)，其直線方程不能像在平面內(nèi)的直線擬合一樣表示為簡(jiǎn)單的線性比例形式，所以不能直接采用最小二乘算法。而運(yùn)用進(jìn)化算法在空間內(nèi)擬合直線，計(jì)算繁瑣，實(shí)用性不佳。文章中算法的基礎(chǔ)為已經(jīng)獲得垂直于測(cè)量參考線的正截面坐標(biāo)，然后經(jīng)過(guò)兩次投影，第一次投影求取由空間最小二乘法擬合的基準(zhǔn)軸線與XOY面的交點(diǎn)，第二次投影計(jì)算出被測(cè)實(shí)際要素輪廓圓心投影點(diǎn)與基準(zhǔn)點(diǎn)的距離，以此得到同軸度誤差。從理論與實(shí)際證明了本算法的正確性與可靠性，文中提出的算法數(shù)學(xué)模型概念清楚、計(jì)算簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)了快速又不失準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)同軸度誤差，并為求解此類工程問(wèn)題提供了新途徑。

[1] 李佰茹.跳動(dòng)公差與其他形位公差的關(guān)系研究[J].機(jī)床與液壓,2005,8∶180-181.

[2] 沈先釗.圓度、圓柱度和同軸度計(jì)算機(jī)測(cè)量數(shù)據(jù)最小區(qū)域法處理算法研究[J].中國(guó)機(jī)械工程,2003,14(17)∶1471-1473.

[3] 胡仲勛,王伏林,周海萍.空間直線度誤差評(píng)定的新算法[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù).2008,27(7)∶879-882.

[4] 葛磊,鄒鯤.基于Matlab的圓度誤差精確評(píng)定[J].機(jī)床與液壓2011,39(22)∶99-101.

[5] 靳德福.活塞式壓縮機(jī)汽缸與十字頭滑道同軸度的測(cè)量[J].設(shè)備管理與維修,2004,5∶16-17.

[6] 鄭翔,阮志強(qiáng),夏衛(wèi)明,何小元.同軸度誤差最小包容圓有限元后處理算法[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào).2009,39(6)∶1156-1160.

[7] 葉宗茂.用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)正確測(cè)量同軸度誤差[J].工具技術(shù),2007,41(3)∶77-80.

[8] 王伯平,孫大剛.基于遺傳算法的直線度誤差的測(cè)量[J].計(jì)量學(xué)報(bào),2004,25(1)∶16218.