劉鑄華，林桂道

(中國船舶重工集團(tuán)公司第723研究所，揚州 225001)

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基于Sigmoid函數(shù)的時域?qū)拵BF基帶實現(xiàn)

劉鑄華，林桂道

(中國船舶重工集團(tuán)公司第723研究所，揚州 225001)

推導(dǎo)了一種在基帶實現(xiàn)的時域?qū)拵?shù)字波束形成(DBF)方法，并利用sigmoid函數(shù)來實現(xiàn)分?jǐn)?shù)濾波，得到精確的時延量來減小或消除時域方法中的色散效應(yīng)。這種方法充分利用了sigmoid函數(shù)的寬誤差范圍和小誤差迭代繼續(xù)的特點，來適應(yīng)基帶時域?qū)拵BF的特點，從而改善了波束性能和算法效率。

時域數(shù)字波束形成；分?jǐn)?shù)濾波器；sigmoid函數(shù)；自適應(yīng)算法

0 引 言

寬帶數(shù)字波束形成(DBF)技術(shù)是一種通過調(diào)整各個陣元接收信號的幅相，從而使得天線陣能量往一個期望方向進(jìn)行聚集的技術(shù)。通過形成的波束可以實現(xiàn)空間目標(biāo)的探測、跟蹤和參數(shù)測量。由于寬帶信號的變頻特性，應(yīng)用傳統(tǒng)的窄帶DBF會帶來指向偏移。理論上，寬帶DBF有兩大類方法[1]：頻域形成方法和空時域形成方法。

頻域方法通過快速傅里葉變換(FFT)將寬帶信號轉(zhuǎn)變?yōu)榘搭l率子帶劃分的各個窄帶信號，然后進(jìn)行窄帶DBF[2]。明顯的，當(dāng)信號帶寬過大時，F(xiàn)FT階數(shù)將會變得很大，隨之也會帶來計算量級數(shù)般增長?？諘r域方法則通過時延代替移相的方式，實現(xiàn)陣元信號的幅相校正[3]。

可是，實際工程應(yīng)用中，時域方法往往會因為時延量的精確問題有一定波束指向的偏移。早期，為了解決工程實現(xiàn)的時延問題，一般采用模擬電路實時延遲單元(TTD)或者傳統(tǒng)濾波器來實現(xiàn)精確時延。這將導(dǎo)致硬件設(shè)備量的大幅增加。隨著技術(shù)的發(fā)展，過采樣、內(nèi)插值[4]和分?jǐn)?shù)濾波器[5]等數(shù)字實時延遲技術(shù)相繼被提出。

相比較而言，分?jǐn)?shù)濾波器因能實現(xiàn)任意時延量，且能在相對低的采樣速率下實現(xiàn)而被工程實現(xiàn)首選。但是一般的自適應(yīng)算法收斂域過小，并不適應(yīng)時域方法的噪聲干擾；小誤差下過早收斂為零則不適合分?jǐn)?shù)濾波器的樣本微小誤差迭代量。

基于sigmoid函數(shù)的LMS算法[6]是一種改進(jìn)的自適應(yīng)算法，通過步長的調(diào)整能加快收斂速度，且具有寬收斂域和微迭代量的特點。通過對sigmoid函數(shù)的調(diào)整，還能適當(dāng)改變收斂域和微迭代量，從而滿足時域?qū)拵BF的算法和硬件設(shè)計需要。其次，時域中頻采樣仍然會導(dǎo)致信號的采樣數(shù)據(jù)率過高，這樣數(shù)據(jù)量仍然很大。當(dāng)信號處于基帶時，信號的采樣速率會大大降低。

基于以上的分析，本文介紹了一種基帶實現(xiàn)的寬帶時域DBF方法，從而降低了信號的采樣率，易于工程實現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，提出應(yīng)用sigmoid函數(shù)來設(shè)計分?jǐn)?shù)濾波器，從而得到工程可實現(xiàn)的精確時延，并減小工程設(shè)備量。其次，sigmoid函數(shù)的選用滿足了時域DBF中噪聲干擾和樣本間微誤差量的特點。

1 遲延量對色散效應(yīng)的改善

假設(shè)一個具有N個陣元的天線陣呈均勻間距直線分布，間隔d為信號波長的一半。當(dāng)N個陣元同時接收來自與天線陣法線成θ角的信號時，選取最近陣元作為參考陣元，則第N個陣元與參考陣元的相位差為：

(1)

為了得到信號指向和信號頻率的關(guān)系，對式(1)變形得到：

(2)

把式(2)中θ對f求導(dǎo)，則得到：

(3)

公式(3)中因為頻率變化Δf而導(dǎo)致波形指向發(fā)生Δθ角度偏移的現(xiàn)象被稱為頻率色散效應(yīng)。這時如果對陣元N進(jìn)行τA的時間延遲，則此時的陣元N對參考陣元的相位差就能由式(1)改寫為：

(4)

從公式(4)導(dǎo)出角度與頻率的關(guān)系式為：

(5)

把式(5)中的θ對f求導(dǎo)，得到：

(6)

從式(6)中可以看到，當(dāng)對陣元N的接收信號進(jìn)行τA的時延后，陣元的頻率變化導(dǎo)致的色散現(xiàn)象能被減小甚至消除。因此，精確的時延器可以實現(xiàn)寬帶信號時域DBF。

2 時域?qū)拵BF基帶實現(xiàn)公式推導(dǎo)

假設(shè)天線陣元是等間隔直線分布的N陣元均勻線陣，選取距目標(biāo)最遠(yuǎn)陣元作為參考陣元。為了降低數(shù)據(jù)采樣率，需要對信號進(jìn)行下變頻到基帶，然后經(jīng)過數(shù)字采樣，得到信號的數(shù)字采樣信號形式。處理流程如圖1所示。

圖1 陣元信號基帶下變頻結(jié)構(gòu)

定義參考陣元的信號為脈沖形式：

(7)

(8)

式中：u(t)為參考陣元接收信號x1(t)的復(fù)包絡(luò)；f0為信號的載頻。

由于陣元間距d的存在，陣元i接收到的信號相對參考陣元發(fā)生了一定的時延，信號形式為：

(9)

(10)

經(jīng)過圖1結(jié)構(gòu)顯示的處理后，xi(t)對應(yīng)的基帶形式為：

(11)

(12)

式中：Tb為信號的基帶采樣間隔。

(13)

(14)

因此，對時域基帶采樣信號作出移相、數(shù)字延遲線整數(shù)倍延時和分?jǐn)?shù)濾波器延時3步變換后，便可以得到同相的各個陣元信號，從而相加得到波束形成。3個部分分別有以下形式：

(15)

(16)

(17)

對式(15)～(17)進(jìn)行頻域變換，便得到理想時域?qū)拵BF信號時，各個陣元信號變換的脈沖響應(yīng)：

(18)

此時得到時域?qū)拵BF的結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 時域?qū)拵BF結(jié)構(gòu)圖

3 基于sigmoid函數(shù)的分?jǐn)?shù)濾波器設(shè)計

由于各個陣元輸入信號受到干擾噪聲等影響，因此各個陣元的分?jǐn)?shù)時延濾波輸出并不等于確定值，即式(17)得到的結(jié)果不一定是理想的輸出，因此需要采用自適應(yīng)算法來求得分?jǐn)?shù)濾波器系數(shù)。傳統(tǒng)的最小均方(LMS)算法可以實現(xiàn)分?jǐn)?shù)濾波器的時延輸出與理想值之間均方誤差和最小。分?jǐn)?shù)濾波器設(shè)計框圖如圖3所示。

圖3 分?jǐn)?shù)濾波器設(shè)計框圖

取陣元數(shù)為N，采樣樣本長度為M，則分?jǐn)?shù)濾波器權(quán)系數(shù)向量為：

W=[w(0)，w(1)，…，w(M-1)]

(19)

w(i)=[αi(0)，αi(1)，…，αi(N-1)]T,

i=0,1,… ,M-1

(20)

X=[x(0)，x(1)，…，x(M-1)]

(21)

x(i)=[xi(0)，xi(1)，…，xi(N-1)]T,

i=0,1,… ,N-1

(22)

式中：w(i)為每個樣本時刻N個陣元的權(quán)值，通過M-1次調(diào)整權(quán)值可得到w(M-1)，達(dá)到精確分?jǐn)?shù)時延的目的。

定義誤差信號為：

e(n)=d(n)-WT(n)X(n)

(23)

權(quán)值迭代公式為：

w(n+1)=w(n)+2μe(n)X(n)

(24)

為了使得w(n+1)快速收斂，往往μ取變化值，選用不同的函數(shù)構(gòu)造μ可以得到不同的收斂特性。為最快速取得收斂值，陳景繁等學(xué)者提出了SVSLMS(基于S型函數(shù)變步長最小均方)算法，其步長μ(n)基于sigmoid函數(shù)得出：

(25)

但是SVSLMS算法的收斂域過小，在時域?qū)拵BF中往往信號是摻雜著噪聲干擾的。過小的收斂域會導(dǎo)致極大的噪聲瞬間，信號誤差過大而跳出收斂域，從而使得權(quán)值發(fā)散。為改進(jìn)算法的收斂域性能，羅小東提出的改進(jìn)型SVSLMS (GJSVSLMS)算法對收斂域進(jìn)行了擴(kuò)大[9]。這一改進(jìn)正好滿足了寬帶時域DBF對噪聲干擾的適應(yīng)問題，其步長計算式為：

(26)

雖然GJSVSLMS算法具有寬收斂域，但是在小誤差量時，其步長值提早等于零，這就使得GJSVSLMS算法對微小誤差不再敏感。但是分?jǐn)?shù)濾波器的設(shè)計往往需要對連續(xù)采樣樣本之間微小誤差進(jìn)行修改權(quán)值，過早歸零的算法特性使得其無法達(dá)到分?jǐn)?shù)濾波器精確時延的要求，從而導(dǎo)致波束形狀改變。

受sigmoid函數(shù)特點決定，多個sigmoid函數(shù)乘積可以改善函數(shù)性能[10]。因此分別選擇2個sigmoid函數(shù)和3個sigmoid函數(shù)乘積項和單個sigmoid函數(shù)進(jìn)行性能對比，表達(dá)式如下：

(27)

(28)

各算法步長隨誤差收斂對比關(guān)系如圖4所示。

圖4 各算法步長μ(n)隨誤差e(n)收斂對比圖

通過圖4可知，SVSLMS算法雖然收斂最快，但是其收斂域過小，不適合寬帶時域DBF噪聲干擾的情況。GJSVSLMS算法在保證了收斂速度的前提下，收斂域明顯加大了。雙sigmoid乘積項和三sigmoid乘積項的改進(jìn)算法則在保證收斂域大小的前提下，通過額外的sigmoid乘積項改善微誤差下的收斂特性。三sigmoid乘積項的算法又通過更多的約束使得曲線的底部收斂加快，從而保證了收斂效率和收斂域，如圖3的三sigmoid乘積項線在底部明顯比二乘積項曲線收斂加快。

因此選用多sigmoid乘積項的改進(jìn)GJSVSLMS算法，可以保證寬收斂域和微小誤差快速收斂而不過快停止的效果，適用于時域DBF分?jǐn)?shù)濾波器的噪聲干擾和樣本間微小誤差特征。乘積項的多少取決于需要分段設(shè)計收斂速度的段數(shù)多少，乘積項越多，則收斂域按照收斂速度劃分段數(shù)越多。每個乘積項α的大小取決于對應(yīng)段曲線的收斂速度，一般底部需要快速收斂，因此最后一項乘積項的α可以取前一個乘積項對應(yīng)α的10倍。

4 仿真結(jié)果

取一80陣元均勻陣，信號期望角度為45°，信號為線性調(diào)頻(LFM)信號，x(t)=cos[2π(f0+at)t]，其中f0=3.6 GHz，帶寬B=400 MHz，脈沖寬度T=40 μs，調(diào)頻系數(shù)為α=1013，基帶采樣頻率為fs=500 MHz。對比只移相形成的波束和理想時間延遲的形成波束，來觀察寬帶時域DBF中時間延遲對波形色散效應(yīng)的的影響。對比理想延遲和實際中數(shù)字延遲線僅能達(dá)到的整數(shù)倍采樣間隔延遲，來了解時延量對精確度的影響。其中理想延遲形成的波形由整數(shù)倍時延加上第2節(jié)設(shè)計的分?jǐn)?shù)濾波器濾波得到，波形圖如圖5所示。

圖5 寬帶時域DBF延時效果圖

從圖5理想延時處理波形可見，設(shè)計的分?jǐn)?shù)濾波器明顯能達(dá)到精確時延并形成波束的效果。而時域?qū)拵BF中，只進(jìn)行移相得到的波形圖主瓣明顯比精確時延得到的波形圖寬,因而波束的角度分辨率低。而移相后加上整數(shù)倍時延的波形圖雖然和精確時延得到的波形圖一樣能得到正確的波束指向，但是明顯其副瓣加高，不能達(dá)到信號能量在指定方向集中照射的目的。

5 結(jié)束語

本文推導(dǎo)的時域?qū)拵BF在基帶的實現(xiàn)方法，經(jīng)仿真驗證了其正確性。結(jié)果顯示，本文提出的基于sigmoid函數(shù)來設(shè)計分?jǐn)?shù)濾波器的方法能達(dá)到精確的時延量，從而改善了波束主瓣寬度及指向和副瓣電平等波束性能。

圖4仿真結(jié)果顯示，這種分?jǐn)?shù)濾波器設(shè)計方法的寬收斂域和微誤差迭代特點，適合時域?qū)拵BF分?jǐn)?shù)濾波器對噪聲干擾敏感和樣本間微誤差的特點，因此基于sigmoid函數(shù)的分?jǐn)?shù)濾波器對時域?qū)拵BF適應(yīng)度高。通過sigmoid函數(shù)系數(shù)和乘積項數(shù)量的變化，還可以使自適應(yīng)迭代步長收斂速率隨誤差分段改變。

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Baseband Realization of Time-domain Broadband DBF Based on Sigmoid function

LIU Zhu-hua,LIN Gui-dao

(The 723 Institute of CSIC,Yangzhou 225001,China)

This article deduces a time-domain broadband digital beam forming (DBF) method based on baseband,and uses sigmoid function to implement fractional filtering,obtains accurate time delay to reduce or eliminate the dispersion effect in time-domain method.This method makes full use of the characteristics of sigmoid function such as wide error range and continuative iteration of small error to adapt the characteristics of time-domain broadband DBF algorithm based on baseband,thereby improves the beam performance and algorithm efficiency.

time-domain digital beam forming;fractional filter;sigmoid function;adaptive algorithm

2014-12-09

TN713

A

CN32-1413(2015)01-0027-05

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2015.01.006