馬 錦 錦

(安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院， 合肥 230601)

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二階切觸有理插值算子的構(gòu)造方法

馬 錦 錦

(安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院， 合肥 230601)

通過引入二階插值算子，給出了一種較為簡(jiǎn)便的構(gòu)造切觸有理插值的新方法和一種新型的切觸有理插值公式。如果用該方法所得插值函數(shù)次數(shù)較高，還可以通過引入多個(gè)參數(shù)的方法，對(duì)所構(gòu)造的有理插值函數(shù)進(jìn)行降次。該方法比常用的連分式方法更為簡(jiǎn)便易行，具有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。

二階插值算子； 切觸有理插值； 降次； 參數(shù)； 連分式

已有的切觸有理插值研究方法大多是基于連分式的方法[1-3]，這些方法運(yùn)算量較大，并且運(yùn)算也會(huì)受到特定條件的限制，不便于實(shí)際操作。本次研究引入二階插值算子，給出一種較為簡(jiǎn)便的構(gòu)造切觸有理插值的新方法。

首先討論切觸有理插值問題。

(k=0,1,…,m)

切觸有理插值理論與應(yīng)用是有理逼近領(lǐng)域的核心構(gòu)成部分，是計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)科中最引人關(guān)注的課題。切觸有理插值是對(duì)一般有理插值的推廣[4]，類似的有多項(xiàng)式插值中的Hermite插值[5]。盡管切觸有理插值比一般有理插值形式復(fù)雜，但其應(yīng)用性更強(qiáng)，在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論、原子和分子物理、控制論和數(shù)值分析等科學(xué)領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用。

1 構(gòu)造切觸有理插值算子

傳統(tǒng)方法構(gòu)造的切觸有理插值比一般有理插值形式復(fù)雜，在應(yīng)用過程中帶來很多不便，比如結(jié)構(gòu)繁瑣、計(jì)算量大。為克服這些缺點(diǎn)，利用多項(xiàng)式插值構(gòu)造插值基函數(shù)，引入一種新型的二階插值算子，用于構(gòu)造切觸有理插值函數(shù)。如果構(gòu)造的切觸有理插值次數(shù)較高，可以通過引入?yún)?shù)的方法，將所構(gòu)造切觸有理插值函數(shù)的分子分母同時(shí)降低次數(shù)，給出形式較為簡(jiǎn)潔的低次切觸有理插值，因而在實(shí)際應(yīng)用中可以極大地減少計(jì)算量。

步驟一：給出用于構(gòu)造插值基函數(shù)的多項(xiàng)式插值。

構(gòu)造多項(xiàng)式插值如下：

對(duì)于給定的x0

wk(x)=(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1) …(x-xm)

(1)

以上構(gòu)造的多項(xiàng)式插值wk(x)滿足：

這種多項(xiàng)式插值的特性有助于插值基函數(shù)的構(gòu)造。

步驟二：構(gòu)造插值基函數(shù)。

(2)

其中，

(3)

以上構(gòu)造的插值基函數(shù)αk(x)滿足：

通過這種方法給出的插值基函數(shù)形式簡(jiǎn)潔，規(guī)律性強(qiáng)，便于構(gòu)造切觸有理插值。

步驟三：引入二階插值算子，構(gòu)造切觸有理插值函數(shù)。

給定x0

pk(x)=f(xk)+f′(xk)(x-xk)+f″(xk)(x-xk)2

(k=0,1,2,…,m)

(6)

則式(6)滿足：

(7)

用以上構(gòu)造的二階插值算子式(6)，給出插值公式：

(8)

即為利用二階插值算子所構(gòu)造的插值公式。經(jīng)過驗(yàn)證：

R(l)(xs)=f(l)(xs) (l=0,1,2)

(9)

式(8)中所構(gòu)造的切觸有理插值函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，且其應(yīng)用無(wú)條件制約。傳統(tǒng)的連分式方法計(jì)算必須先假定計(jì)算中每一步的可行性，即分母是零的情況不會(huì)出現(xiàn)，而實(shí)際計(jì)算前根本無(wú)法判定。新型切觸有理插值構(gòu)造法可以很好地避免連分式方法的這一缺點(diǎn)。

例1 給出節(jié)點(diǎn)以及相應(yīng)的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值如下：

x0=1f(x0)=0f′(x0)=1f″(x0)=2

x1=0f(x1)=1f′(x1)=2f″(x1)=3

x2=2f(x2)=2f′(x2)=0f″(x2)=1

解：由式 (6) 可求二階插值算子：

p0(x)=0+(x-1)+2(x-1)2

p1(x)=1+2(x-0)+3(x-0)2

p2(x)=2+0(x-2)+1(x-2)2

由式(1) — (3)知：

通過式(7)可求出：

(10)

經(jīng)過驗(yàn)證：

R(l)(xs)=f(l)(xs) (l=0,1,2;s=0,1,2)

式(10)中的切觸有理插值函數(shù)R(x)是通過引入二階插值算子得到的有理插值函數(shù)。從上述實(shí)例中可以看出，新型切觸有理插值構(gòu)造方法思路簡(jiǎn)單清晰，構(gòu)造的切觸有理插值函數(shù)形式較為簡(jiǎn)潔，且其應(yīng)用并無(wú)連分式方法的約束條件，因此其應(yīng)用范圍廣，具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。

也可以對(duì)所構(gòu)造的切觸有理插值函數(shù)進(jìn)行降階，給出普遍適用的降階方法，用這種降階方法可以靈活地引入?yún)?shù)，降低所構(gòu)造的切觸有理插值函數(shù)分子分母的次數(shù)，也可以通過該降階方法，連續(xù)多次地對(duì)插值函數(shù)進(jìn)行降階，得到次數(shù)符合應(yīng)用需求的切觸有理插值函數(shù)。

步驟四：引入?yún)?shù)，給出降低切觸有理插值函數(shù)分子分母次數(shù)的一般方法。

給定節(jié)點(diǎn)x0

(11)

滿足插值條件：

R(l)(xs)=f(l)(xs) (l=0,1,2)

例2 對(duì)例1中用二階插值算子構(gòu)造的有理分式函數(shù)R(x)進(jìn)行降次。

由式(11)知：

令2β0+3β1+β2=0，將有理分式進(jìn)行降次，則β0=-2,β1=1,β2=1，故：

(12)

式(12)中分子次數(shù)為5次、分母次數(shù)為2次，而式(10)中所構(gòu)造原始插值函數(shù)的分子次數(shù)為6次、分母次數(shù)為4次，通過該方法實(shí)現(xiàn)了降次。由于該方法可以靈活地降低切觸有理插值函數(shù)的次數(shù)，可用于模糊控制和估計(jì)復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性中，建立新型插值控制，具有廣泛的應(yīng)用范圍。這種算法下的控制器具有設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，不需要選擇具體的隸屬函數(shù)，不需要過多的專家經(jīng)驗(yàn)等好處，其控制效果較好，在實(shí)際生產(chǎn)中具有更大的靈活性和應(yīng)用價(jià)值。

2 結(jié) 語(yǔ)

實(shí)例證明通過引入?yún)?shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)有理函數(shù)分子、分母進(jìn)行降次的方法是十分有效、實(shí)用的，而且操作方便，計(jì)算量不大。

通過引入二階插值算子，給出的構(gòu)造切觸有理插值函數(shù)方法比常用的連分式方法更為簡(jiǎn)便易行，給出的插值公式也較為實(shí)用。可以將這種思想方法繼續(xù)推廣，給出高階的插值算子，用于解決更為復(fù)雜的切觸有理插值問題。本次研究所給出的切觸有理插值構(gòu)造的新方法由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔，降階規(guī)律性強(qiáng)，需要的計(jì)算量較小，因此在模糊控制論、圖像壓縮與重建、有理曲線和曲面生成、以及復(fù)雜系統(tǒng)性能評(píng)估等領(lǐng)域都有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。

[1] 王仁宏，朱功勤.有理函數(shù)逼近及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2004:13-25.

[2] Mainar E，Pena P M. A Basis of C-Bezier Splines with Optimal Properties[J]. Computer Aided Geometric Design，2012，19(4):291-295.

[3] Wang G Z，Chen Q Y，Zhou M H. NUATB-spline Curves[J].Computer Aided Geometric Design，2004，21(2):193-205.

[4] 朱功勤,馬錦錦.構(gòu)造切觸有理插值的一種方法[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，29(10):1320-1326.

[5] 陳之兵.Salzer定理的二元向量形式[J].數(shù)學(xué)研究評(píng)論，2003，23(2):233-236.

A Method of Constructing Bivariate Osculatory Rational Interpolating Operator

MAJinjin

(College of Mathematics & Physics, Anhui University of Architecture, Hefei 230601, China)

In this paper, osculatory rational interpolating function was constructed by a new method of introducing bivariate interpolating operator. For osculatory rational interpolating function that we had constructed, we could reduce its number of times by choosing parameters. This new method in this paper was fairly simple and had immense application foreground.

bivariate interpolating operator; osculatory rational interpolation; deflation; parameter; continued fractions

2015-07-17

安徽省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)研究項(xiàng)目“幾何計(jì)算中的曲線曲面的融合技術(shù)研究及其應(yīng)用”(KJ2015A328)；安徽省教育廳自然科學(xué)一般研究項(xiàng)目“曲線曲面構(gòu)造的新方法及其在工程設(shè)計(jì)中的應(yīng)用”(KJ2015JD16)；安徽省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目“流密碼密鑰流序列的復(fù)雜性分析與研究”(KJ2015JD18)

馬錦錦(1981 — )，女，安徽臨泉縣人，碩士，講師，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)值逼近。

O241.3

A

1673-1980(2015)05-0101-03