謝文國，高俊強(qiáng)，徐東風(fēng)

（南京工業(yè)大學(xué) 測繪學(xué)院，江蘇 南京210000）

變形監(jiān)測的目的之一就是對變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行正確的處理，并建立合理的數(shù)學(xué)模型，從而對未來的變形量做出準(zhǔn)確預(yù)測，以減少工程事故的發(fā)生。時間序列分析法的特征是選擇合適的數(shù)學(xué)模型來近似模擬動態(tài)數(shù)據(jù)，以達(dá)到控制與預(yù)測的目的。本文從時間序列分析基本方法和原理出發(fā)，對南京地鐵某監(jiān)測點(diǎn)的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析研究，建立模型并進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測，結(jié)果證明該方法具有較好的擬合和預(yù)報精度，很好地預(yù)測了變形監(jiān)測點(diǎn)沉降的變化規(guī)律。

1 時間序列模型的建立

1.1 時間序列的基本模型

正態(tài)、平穩(wěn)、零均值的時間序列為 ｛xt｝，｛xt｝的取值與前p步的xt－1，xt－2…xt－p值有關(guān)，也與前q步各干擾值at－1，at－2，…，at－q有關(guān)，根據(jù)多元線性回歸思想可得｛xt｝的自回歸滑動平均模型，記為模型ARMA（p，q），其表達(dá)式為

式中:φi，θi為參數(shù)，｛ai｝為白噪聲序列。

式（1）中，當(dāng)θi＝0時，原式為

式（2）稱為p階自回歸模型，記為AR（p），當(dāng)φi＝0時，原式變?yōu)?/p>

式（3）稱為q階自回歸模型滑動平均模型，記為MA（q）。

1.2 數(shù)據(jù)檢驗(yàn)與預(yù)處理

數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性是時間序列模型建模的重要前提，建模前首先要檢驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)是否滿足正態(tài)、平穩(wěn)、零均值的要求，即是否為平穩(wěn)性數(shù)據(jù)。對于不滿足平穩(wěn)性的數(shù)據(jù)要進(jìn)行預(yù)處理，處理方法主要有差分法和提取趨勢項(xiàng)兩種。

1.3 時間序列模型的識別

平穩(wěn)性數(shù)據(jù)的主要特征是一階和二階統(tǒng)計性質(zhì)不隨時間改變而改變，即均值和方差為常數(shù)?？赏ㄟ^其自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù)的變化趨勢來判斷平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時間序列采用何種模型。

自相關(guān)函數(shù)估值計算

偏相關(guān)函數(shù)的估值計算

模型識別的依據(jù):根據(jù)樣本的自相關(guān)函數(shù)及樣本偏相關(guān)函數(shù)的變化趨勢識別模型類型。如果｛xt｝的樣本自相關(guān)函數(shù)ρk在k＞q后截尾，則判斷｛xt｝為MA（q）序列；如果偏相關(guān)函數(shù)φkk在k＞q后截尾，則判斷｛xt｝為AR（p）序列。如果ρk和φkk都不截尾，只是按負(fù)指數(shù)衰減趨于0（即拖尾），則判斷其為ARMA序列，但還不能判定階次。

ρk和φkk截尾性的判斷:理論的自相關(guān)ρk和偏相關(guān)φkk的截尾性是指從某個p或q值后全為0。但由于參數(shù)估計的隨機(jī)性，ρk和φkk都是隨機(jī)變量，即使｛xt｝為MA或者AR模型，在k＞p或k＞q之后，ρk或φkk也不全為0，只會在0附近上下浮動。因此，對于ρK或φKK的截尾性，只能憑借統(tǒng)計手段進(jìn)行檢驗(yàn)和判別。

1.4 常用AIC時間序列定階準(zhǔn)則

AIC準(zhǔn)則，即最佳準(zhǔn)則定階法，AIC準(zhǔn)則表示方法為

其中:k為參數(shù)數(shù)量，l為似然函數(shù)。

假設(shè)條件是模型的誤差，服從獨(dú)立正態(tài)分布。AIC準(zhǔn)則是對模型參數(shù)極大似然估計的計算，對模型的階數(shù)和相應(yīng)的參數(shù)給出的一組最佳估計，一般在給出不同模型的AIC計算公式基礎(chǔ)上，選取使AIC達(dá)到最小值時的階數(shù)為最佳理想階數(shù)。

1.5 時間序列模型參數(shù)估計

模 型 的 未 知 參 數(shù) 包 括φ1，φ2，…，φp和θ1，θ2，…，θq。模型的參數(shù)估計分為粗估計和精估計，這里主要采用的是精確估計中的最小二乘參數(shù)估計法。對于時間序列Y＝ ｛y1，y2，…，yn｝和未知參數(shù)β＝ ｛β1，β2，…，βn｝，他們之間有線性關(guān)系:Y＝Aβ＋ε，其中ε＝ ｛ε1，ε2，…，εm｝為觀測噪聲，其中A為可由Y計算得到的n×m維矩陣，此時，可求得β的線性最小二乘估計β＝ （ATA）－1ATY。

1.6 模型適用性檢驗(yàn)

通常對殘差平方和進(jìn)行F檢驗(yàn)，檢驗(yàn)公式為

其中N為樣本長度，r＝p＋q參數(shù)總個數(shù)，S為被檢驗(yàn)參數(shù)個數(shù)，A0為ARMA（p，q）的殘差平方和。A1為 ARMA（p－1，q－1）的殘差平方和。若F＞Fa，則表示所選模式的不合適，應(yīng)繼續(xù)提高階次建模，否則 ARMA（p－1，q－1）為合適模型AR（p）和 MA（q），模型的F檢驗(yàn)過程類似，只需改變S和r即可。

2 實(shí)例分析

2.1 概況

以南京市地鐵某個變形監(jiān)測點(diǎn)為實(shí)例，取等時間間隔一段時間內(nèi)的30期沉降數(shù)據(jù)，用前25期沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行時間序列模擬與建模，后5期的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證模型預(yù)測的可靠性，觀測數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 南京市地鐵某監(jiān)測點(diǎn)變形監(jiān)測數(shù)據(jù)

2.2 建模

時間序列建立模型的基本條件是:正態(tài)、平穩(wěn)、零均值。經(jīng)檢驗(yàn)原數(shù)據(jù)不是平穩(wěn)性數(shù)據(jù)，因此要先對數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)和零均值處理，然后計算出其自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù)（見表2）。

從自相關(guān)和偏相關(guān)的數(shù)據(jù)變化趨勢，可以看到他們是拖尾的，因此可設(shè)為ARMA模型，由表2可知自相關(guān)1～5階較顯著，并且從第6階開始大幅下降，數(shù)值也不顯著，因此先設(shè)定q＝5。偏相關(guān)1～3階都顯著從第4階下降很大并變?yōu)椴伙@著，因此先定p＝3，計算p＝1～3，q＝2～5取值時AIC的值（見表3）。

表2 自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù)

表3 ARMA模型AIC參數(shù)估計的階數(shù)值

依據(jù)AIC準(zhǔn)則，選取最小值所對應(yīng)的階數(shù)，表3中 ARMA（2，3）取最值為0.653 984，所以 ARMA（2，3）為最佳模型。使用最小二乘估計法對模型參數(shù)進(jìn)行估計，得到該時間序列模型為:xt＝－0.032－0.827xt－1－0.248xt－2＋at－0.491at－1－1.088at－2－0.804at－3。

2.3 模型適用性檢驗(yàn)

對模型的殘差進(jìn)行F檢驗(yàn)，取s＝1，p＝2，q＝3，取樣本長度N＝15。可求得ARMA（2，3）模擬的殘差平方和A＝0.071 16，求得 ARMA（3，4）的殘差平方和A0＝0.104 289，根據(jù)公式可求得F＝3.731 705 9，取a＝0.05，查表可得F0.05（2，8）＝19.37，比較得到F＜Fa，所以認(rèn)為 ARMA（2，3）為適合的模型。

2.4 數(shù)據(jù)預(yù)測

預(yù)測模型曲線與實(shí)際曲線對比，如圖1所示。

圖1 ARMA（2，3）模型預(yù)測曲線

使用該模型對后5期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果如表4所示。

表4 真實(shí)值與預(yù)測值的對比

表4中看到利用ARMA模型預(yù)測的5期數(shù)據(jù)，預(yù)測誤差均小于0.06mm，預(yù)測數(shù)據(jù)準(zhǔn)確合理。

3 結(jié)束語

通過分析地鐵變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，建立時間序列模型，從得到的預(yù)測結(jié)果看出此方法能夠以較高的精度對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合和預(yù)測，適用于地鐵沉降數(shù)據(jù)處理分析。但從預(yù)測數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)對比中看到預(yù)測誤差整體上是逐漸變大的，并且預(yù)報的效果逐漸降低。所以在實(shí)際應(yīng)用中為保持較高的預(yù)報精度，要不斷地根據(jù)新觀測的數(shù)據(jù)進(jìn)行新的計算，建立新模型，以求達(dá)到精確的預(yù)報結(jié)果。

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