張笑洋, 王曉冬, 董文秀, 王家航, 王 磊

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(北京) 能源學(xué)院，北京 100083；2.中國地質(zhì)大學(xué)(北京) 非常規(guī)天然氣地質(zhì)評價及開發(fā)工程重點實驗室，北京 100083 )

?

天然氣非線性復(fù)合滲流數(shù)學(xué)模型

張笑洋1,2, 王曉冬1, 董文秀1, 王家航1, 王 磊1

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(北京) 能源學(xué)院，北京 100083；2.中國地質(zhì)大學(xué)(北京) 非常規(guī)天然氣地質(zhì)評價及開發(fā)工程重點實驗室，北京 100083 )

在對油氣井進行水力壓裂后產(chǎn)生的有限導(dǎo)流垂直裂縫進行研究時，特別是對于泄流面積比較狹長的儲層，可采用復(fù)合流動模型求解得到接近于實際的近似結(jié)果.利用演繹一維流動數(shù)學(xué)模型，考察天然氣滲流的非線性影響，并定義擬時間因子化簡控制方程，利用Laplace變換求得無量綱解析解式，聯(lián)立物質(zhì)平衡方程后分析擬時間因子的變化規(guī)律及其對生產(chǎn)動態(tài)的影響.進而利用復(fù)合滲流模型分析垂直裂縫氣井在定流量和定流壓生產(chǎn)的2種典型制度下的動態(tài)表現(xiàn)特征，繪制相應(yīng)的不穩(wěn)態(tài)壓力及產(chǎn)量曲線，并采用商業(yè)模擬器(Eclipse)對該解析解進行模型的對比驗證.結(jié)果表明：天然氣非線性滲流特點對擬穩(wěn)態(tài)時期的產(chǎn)量及壓力特征有較大影響.該研究結(jié)果有利于提高對天然氣滲流規(guī)律的認(rèn)識，為壓裂氣井的生產(chǎn)動態(tài)分析提供一定的理論參考.

非線性； 天然氣； 復(fù)合流動模型； 滲流規(guī)律

0 引言

對油氣井進行水力壓裂產(chǎn)生有限導(dǎo)流垂直裂縫，已成為一種常態(tài)的增產(chǎn)措施.然而，有限導(dǎo)流垂直裂縫所引起的不穩(wěn)態(tài)滲流問題有些復(fù)雜，通常需要求解地層流動和裂縫流動耦合的積分方程.在某些情況下，采用分區(qū)簡化的復(fù)合流動模型能夠避免積分方程的出現(xiàn)，得到一種近似結(jié)果，特別對于泄流面積比較狹長的儲層，該模型更接近于實際.在復(fù)合流動模型方面，F(xiàn)raim M L和Wattenbavger R A等[1-2]認(rèn)為致密氣藏中的生產(chǎn)井經(jīng)過水力壓裂后，在很長一段時間內(nèi)儲層中以一維流動為主，并采用一維流動模型對氣井進行產(chǎn)量遞減分析.Cinco L H等[3-4]提出雙線性復(fù)合模型，用以分析垂直裂縫井的早期流動特征.Lee W J, Lee S T, Azari M等[5-8]提出三線性流模型.Brown M等[9]利用三線性流模型對致密氣及頁巖氣的多級壓裂水平井進行動態(tài)分析，但忽略系統(tǒng)壓力對氣體壓縮因子及黏度的影響.Meyer B R等[10]根據(jù)Lee W J等提出的三線性流模型解析解，結(jié)合擬穩(wěn)態(tài)電阻率模型,對頁巖氣進行多級壓裂水平井裂縫優(yōu)化.Brohi I等[11]針對致密氣藏和頁巖氣藏建立壓裂水平井雙孔復(fù)合三線性流數(shù)學(xué)模型.Stalgorova E等[12-13]建立多級壓裂水平井三線性滲流模型，并應(yīng)用于對非常規(guī)油氣藏的研究，該模型也未考慮系統(tǒng)壓力對氣藏參數(shù)的影響及其引起的求解結(jié)果的誤差.我國對線性復(fù)合模型的研究有一定發(fā)展，將線性復(fù)合模型應(yīng)用于對有限導(dǎo)流垂直裂縫直井或多級壓裂水平井的研究[14-24]，但均未充分考慮天然氣非線性滲流特征，其結(jié)果必然產(chǎn)生一定偏差.

首先，筆者演繹一維流動數(shù)學(xué)模型，在考察天然氣滲流的非線性影響，通過定義擬時間因子化簡控制方程，并利用Laplace變換求得無量綱解析解式，聯(lián)立物質(zhì)平衡方程分析擬時間因子的變化規(guī)律及其對生產(chǎn)動態(tài)的影響.其次，根據(jù)一維流動模型的研究結(jié)果，利用復(fù)合滲流模型分析垂直裂縫氣井在定流量和定流壓生產(chǎn)的2種典型制度下的動態(tài)表現(xiàn)特征，繪制相應(yīng)的不穩(wěn)態(tài)壓力及產(chǎn)量曲線.最后,利用商業(yè)模擬器(Eclipse)對該解析解進行模型的對比驗證.

1 一維非線性不穩(wěn)態(tài)滲流控制方程及其化簡

在常規(guī)砂巖儲層中，一般情形下天然氣的等溫壓縮因子比孔隙介質(zhì)的等溫壓縮因子大一個數(shù)量級以上.因此，在等溫條件下，忽略孔隙介質(zhì)彈性，聯(lián)立質(zhì)量守恒方程和運動方程，得到天然氣的一維不穩(wěn)態(tài)滲流方程為

(1)

式中：Kg為介質(zhì)滲透率；p為壓力；μg為天然氣黏度；Z為偏差因子；t為延續(xù)時間；x為橫坐標(biāo)；φ為孔隙度；Swi為束縛水飽和度；αt為單位換算因數(shù)(αt=3.6×24×10-3).

顯然，由于天然氣的黏度μg(p)和偏差因子Z(p)是系統(tǒng)壓力p的非線性函數(shù)，因此式(1)是非線性的.若定義擬壓力函數(shù)：

(2)

式中：μgi與Zi分別為初始條件下的天然氣黏度和偏差因子；pP與pi分別為擬壓力和原始地層壓力.其中μgi=μg(pi)，Zi=Z(pi)，則式(1)化簡為

(3)

式中：cg為天然氣壓縮因子.

在式(3)中，由于右端μg(p)cg(p)是系統(tǒng)壓力p的非線性函數(shù)，因此式(3)還是非線性方程.若將μg(p)cg(p)強行近似為某一常數(shù)，則式(3)與對應(yīng)的微可壓縮液體流動具有相同的形式——“液體滲流模式”，是一種比較勉強的近似.若定義β(t)為擬時間因子[25]，即

(4)

式中：cgi為初始條件下的天然氣壓縮因子，cgi=cg(pi)，則式(1)簡化為

(5)

式(5)與“液體滲流模式”形式相同，雖然右端微分中多了擬時間因子β(t)，但已能進行解析求解.這里式(5)是式(1)的近似簡化結(jié)果[5].

2 一維流動產(chǎn)量遞減分析

為考察擬時間因子β(t)的變化規(guī)律及其對產(chǎn)量遞減規(guī)律的影響，采用Wattenbarger R A一維流動產(chǎn)量遞減解析模型進行計算和分析.Wattenbarger R A等[2]認(rèn)為，許多致密氣藏中的生產(chǎn)井，經(jīng)過水力壓裂后，在很長一段時間內(nèi)儲層中以一維流動為主，可以采用一維流動模型進行生產(chǎn)數(shù)據(jù)分析.

一維滲流物理模型見圖1.其中，在厚度為h、長度為ye、寬為xe的封閉地層中，其中心存在貫穿的、半長為xf的均勻流量垂直裂縫，即裂縫長度等于地層寬度(2xf=xe).當(dāng)垂直裂縫以常流壓pwf生產(chǎn)時，引發(fā)儲層產(chǎn)生等溫不穩(wěn)定滲流過程.定義無量綱量，即

圖1 一維滲流物理模型Fig.1 The physical model of one-dimensional flow

式中：qg為標(biāo)準(zhǔn)狀況下井的產(chǎn)量；Bgi=(pscZiTi)/(piZscTsc)(其中，psc為標(biāo)準(zhǔn)狀況壓力(0.101 325 MPa)；Tsc為標(biāo)準(zhǔn)狀況溫度(293.15 K)；Zsc為標(biāo)準(zhǔn)狀況偏差因子；Ti為儲層溫度)；y為縱坐標(biāo)；ye為縱向泄流邊界；xf為垂直裂縫半長；αp、αt為單位換算因數(shù)(αp=2π×3.6×24×10-7,αt=3.6×24×10-7).

一維不穩(wěn)態(tài)滲流控制方程為

(6)

定解條件為

(7)

利用Laplace變換求解得

(8)

分析式(8)表明，在晚期階段，有

(9)

在早期階段，有

(10)

雖然得到無量綱解式(8-10)，但進行實際產(chǎn)量計算時，需要確定擬時間因子β(t)的變化規(guī)律.參考Fraim M L等[1]的方法，對于β(t)取近似式為

(11)

式中：pavg為儲層平均壓力.

式(11)能夠獲得較高的準(zhǔn)確性，但在不穩(wěn)定滲流過程中，儲層平均壓力pavg是隨時間變化的，可通過聯(lián)立物質(zhì)平衡方程得到.常規(guī)氣藏的物質(zhì)平衡方程為

(12)

式中：Gp為天然氣累計產(chǎn)量，可通過數(shù)值積分得到；Gsc為天然氣地質(zhì)儲量.

對于生產(chǎn)過程有0<β(t)≤1，若記β(t)中的被積函數(shù)為λ(t)，即

(13)

則λ(t)與β(t)之間的關(guān)系為

t.

(14)

根據(jù)兩者的定義，聯(lián)立式(11)和式(12)，計算得到λ(t)和β(t)的變化曲線(見圖2).

圖2表明，在初始階段可以忽略儲層平均壓力遞減，λ(t)≈1.0，β(t)≈1.0，氣體滲流行為近似于微可壓縮液體的滲流行為；當(dāng)滲流進入晚期擬穩(wěn)態(tài)階段時，pavg快速遞減，氣體滲流行為將逐漸偏離微可壓縮液體的滲流行為.

計算式(8)得到一維流動模型產(chǎn)量遞減曲線(見圖3).圖3表明，在后期滲流狀態(tài)達到擬穩(wěn)態(tài)階段時，氣體與微可壓縮液體的產(chǎn)量q遞減趨勢將出現(xiàn)較大差別.當(dāng)泄流邊界大小相同時，隨著儲層平均壓力pavg的遞減，同一時間點所對應(yīng)的氣體產(chǎn)量高于相同條件下微可壓縮液體產(chǎn)量.

3 垂直裂縫氣井產(chǎn)量遞減分析

對于中高滲砂巖儲層，如果儲層有效泄流區(qū)域比較狹長，采用線性復(fù)合滲流模型描述不穩(wěn)定滲流過程較為合適，可避免數(shù)值求解地層與裂縫耦合所形成的積分方程.

圖2 參數(shù)λ(t)與β(t)的變化曲線Fig.2 Curves of λ(t) and β(t) values

圖3 一維流動模型產(chǎn)量遞減曲線Fig.3 Production decline curve of one-dimensional flow model

3.1 非線性復(fù)合流動數(shù)學(xué)模型

圖4 垂直裂縫井線性復(fù)合流動模型Fig.4 The linear compound flow model for vertical fractured wells

在均質(zhì)矩形封閉氣藏中心存在一口帶有對稱雙翼的有限導(dǎo)流垂直裂縫井，裂縫垂向完全穿透儲層，即裂縫高度等于儲層厚度；常規(guī)天然氣由儲層流入裂縫，再經(jīng)裂縫流入井筒；井以常流壓生產(chǎn)，誘發(fā)儲層產(chǎn)生等溫滲流過程.坐標(biāo)原點位于儲層左下角(見圖4).

根據(jù)關(guān)于擬時間因子β(t)的定義，地層滲流過程的無量綱控制方程為

(15)

定解條件為

pD(xD,yD,0)=0;

(16)

(17)

(18)

按照圖4的分區(qū)方法，在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中，分別記pD=pⅠD和pD=pⅡD，式(15)可以按分區(qū)簡化為一維方程.

(1)在區(qū)域Ⅰ中，地層只發(fā)生平行于裂縫壁面(y方向)的線性流動，式(15)簡化為

(19)

初始條件為

pⅠD(xD,yD,0)=0.

(20)

邊界條件為

(21)

分區(qū)界面條件為

(22)

(23)

(2)在區(qū)域Ⅱ中，由于地層主要發(fā)生垂直于裂縫壁面的線性流動，即x方向流動占優(yōu)，對式(15)實施積分平均，將其簡化為垂直于裂縫壁面的線性滲流，即

利用式(22)和式(23)得到

(24)

初始條件為

pⅡD(xD,yD,0)=0.

(25)

邊界條件為

(26)

分區(qū)界面條件為

(27)

(28)

(3)在裂縫中，流體發(fā)生穩(wěn)態(tài)滲流且具有對稱性，其無量綱控制方程為

(29)

邊界條件為

(30)

(31)

(32)

(33)

式(32)中:cfD為無量綱裂縫導(dǎo)流能力.

考慮到與井的整個有效泄流面積相比，裂縫寬度比較小，可以在裂縫內(nèi)沿x方向?qū)Ψ匠倘》e分平均(積分后壓力函數(shù)仍記為pfD)，即

再利用式(31)和式(28)，式(29)簡化為

(34)

外邊界條件為

(35)

內(nèi)邊界條件分別為定流量或定流壓，為

(36)

(37)

3.2 模型求解及計算分析

在對式(19-37)進行求解時，利用Laplace變換，求解井底定流量條件下裂縫中壓力分布及定流壓條件下的井底流量，分別為

(38)

(39)

(40)

定流壓條件下的井底流量為

(41)

根據(jù)式(11)及定容氣藏物質(zhì)平衡方程式(12)，分別在定產(chǎn)量和定流壓條件下確定每個時間步驟的pavg和β，進行Stehfest數(shù)值反演后，繪制利用三線性流模型求解的該氣藏壓力及產(chǎn)量隨時間變化的曲線.若不考慮天然氣非線性滲流特點，即忽略擴散系數(shù)隨時間變化時，β=1，可以得到液體模式的控制方程，對它進行Laplace變換后得到相應(yīng)的液體模式解.

為了說明天然氣非線性擴散的影響，分別在定流量及定流壓條件下繪制流壓及產(chǎn)量特征曲線(見圖5和圖6)，并將液體模式解與氣體解析解進行對比，參數(shù)見表1.

表1 氣藏基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of the gas reservoir

由圖5和圖6可知，在氣藏生產(chǎn)中早期氣體解析解與液體模式解的特征曲線重合，氣體滲流行為近似于微可壓縮液體的滲流行為.這是由于對于液體λ=β=1，而在早期不穩(wěn)態(tài)滲流條件下，對于氣體也存在λ≈β≈1.在早期儲層壓力遞減未波及至邊界前，液體模式解與氣體解析解曲線擬合較好，儲層壓力遞減較少，不對天然氣壓縮因子及黏度產(chǎn)生太大影響.在后期壓力降觸及邊界后，即當(dāng)滲流進入晚期擬穩(wěn)態(tài)階段時，兩者產(chǎn)生較大的差別，氣體滲流行為將逐漸偏離微可壓縮液體的滲流行為.此時，隨著氣藏壓力遞減幅度的上升，天然氣性質(zhì)發(fā)生較大變化(λ<β<1),而微可壓縮液體在擬穩(wěn)態(tài)階段仍保持固有性質(zhì)(λ=β=1).對于考慮天然氣非線性特征的氣體解析解(見圖7)，在擬穩(wěn)態(tài)時期的壓力下降及產(chǎn)量遞減出現(xiàn)滯后于液體模式解的現(xiàn)象，即當(dāng)泄流邊界大小相同時，同一時間點所對應(yīng)的氣體解的壓降要低于液體模式解的，其產(chǎn)量相反.

為了驗證對天然氣非線性控制方程線性化處理的正確性，將文中所得氣體解析解與數(shù)值模擬(Eclipse)所得結(jié)果進行對比(見圖8).圖8表明，解析解與數(shù)值解擬合良好，可見文中所求考慮天然氣非線性擴散的解析解可以較為嚴(yán)格地應(yīng)用于氣藏動態(tài)分析.

圖5 壓力降落曲線Fig.5 Comparison of pressure drawdown curves

圖6 產(chǎn)量遞減曲線Fig.6 Comparison of production decline curves

圖7 壓力降落解析結(jié)果與數(shù)值解Fig.7 Comparison of analytical and numerical solutions to pressure drawdown

圖8 產(chǎn)量遞減解析結(jié)果與數(shù)值解Fig.8 Comparison of analytical and numerical solutions to production decline

4 結(jié)論

(1)通過演繹一維流動數(shù)學(xué)模型，考察天然氣滲流的非線性影響，并聯(lián)立物質(zhì)平衡方程，計算及分析擬時間因子的變化規(guī)律及其對生產(chǎn)動態(tài)的影響.

(2)在考慮氣體滲流過程中，由于天然氣的等溫壓縮因子及黏度等參數(shù)為壓力的函數(shù)，在對氣藏進行開采過程中，系統(tǒng)壓力不斷遞減，天然氣物性參數(shù)不斷發(fā)生變化.通過定義擬壓力及擬時間因子，化簡天然氣滲流控制方程，從而得到可將其進行線性解析求解所需形式.

(3)將一維流動模型的研究結(jié)果擴展至對有限導(dǎo)流垂直裂縫井的研究方面，利用復(fù)合滲流模型，分析垂直裂縫氣井在定流量和定流壓生產(chǎn)的動態(tài)表現(xiàn)特征，繪制不穩(wěn)態(tài)壓力及產(chǎn)量曲線，并利用數(shù)值模擬結(jié)果對該解析結(jié)果進行對比驗證.在考慮天然氣非線性滲流特點時，尤其對具有封閉邊界的氣藏，在系統(tǒng)達到擬穩(wěn)態(tài)階段后，不可忽略天然氣滲流的非線性特征對計算結(jié)果產(chǎn)生的影響.

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2015-06-05；編輯：關(guān)開澄

國家科技重大專項(2011ZX05009-004)

張笑洋(1991-)，女，博士研究生，主要從事油氣田開發(fā)方面的研究.

TE348

A

2095-4107(2015)04-0079-09

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2015.04.010