王國(guó)燦,李莉

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)

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三階非線性三點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性和唯一性

王國(guó)燦,李莉

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)

用Volterra型積分算子和微分不等式技巧，研究了某一類三階微分方程非線性三點(diǎn)邊值問(wèn)題，得到了解的存在性與唯一性，此外，在適當(dāng)?shù)臈l件下，通過(guò)構(gòu)造具體的上下解，刻劃了方法的應(yīng)用性.

三階微分方程；非線性三點(diǎn)邊值問(wèn)題；存在性與唯一性；微分不等式

0 引言

三階非線性常微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題在工程物理中有著十分重要的應(yīng)用，文獻(xiàn)[1]～[4]及其參考論文已作過(guò)一系列研究，以往的工作主要局限于特殊的兩點(diǎn)與Robin邊值問(wèn)題，對(duì)于解的唯一性的研究相對(duì)較少.本文利用微分不等式理論，考慮以下三階非線性三點(diǎn)邊值問(wèn)題

得到了解的存在性和唯一性.

1 輔助引理

考慮一類二階Volterra型積分微分方程的非線性邊值問(wèn)題

定義1 如果存在函數(shù)β(t)和α(t)∈C2[-1,1]，使得α(t)≤β(t)，β″(t)≤f(t,[Tβ](t),β′(t))，α″(t)≥f(t,[Tα](t),α′(t))，則稱β(t)和α(t)為方程(3)的上下解.

引理1 假設(shè)

(1)f(t,v,u)∈C([-1,1]×R2)，且在[-1,0]上關(guān)于v單調(diào)不減，在[0,1]上關(guān)于v單調(diào)不增；

證明：利用文獻(xiàn)[3]定理4的方法可知結(jié)論成立.

引理2 假設(shè)

(1)引理1中的(1)條件成立；

(2)g(ξ,η)∈C(R2)，且g(ξ,η)對(duì)固定的ξ關(guān)于η單調(diào)不減.

(3)方程(3)有上解β(t)和下解α(t)滿足

g(α(-1),α′(-1))≥0,g(β(-1),

則邊值問(wèn)題(3)，(4)有解u(t)，使得，-1≤t≤1.

再考慮α(-1)<β(-1)時(shí)的情形.

由引理1知邊值問(wèn)題

如果上式等式成立，則α0(t)便是(3)，(4)的解.否則考慮邊值問(wèn)題

從引理1可得其解存在，又任取一個(gè)記為u(t)，則α0(t)≤u(t)≤β0(t),-1≤t≤1，如果g(u(-1),u′(-1))=0，則定理得證；如果g(u(-1),u′(-1))>0，則取α1(t)=u(t),β1(t)=β0(t)；如果g(u(-1),u′(-1))<0，則取α1(t)=α0(t),β(t)=u(t)，于是

顯然問(wèn)題有解，同理任取一個(gè)記為u(t)，與α1(t),β1(t)的類似選取可得α2(t),β2(t)滿足

α1(t)≤α2(t)≤β2(t)≤β1(t),-1≤t≤1

于是利用數(shù)學(xué)歸納法可得兩個(gè)序列{αn(t)}1∞，{βn(t)}1∞滿足

故存在一致收斂的子序列{βnj(t)},{αni(t)}使得

-1≤t≤1,j→∞

-1≤t≤1,i→∞

引理3 假設(shè)

則邊值問(wèn)題

只有零解.

顯然，M0?D，于是存在t1∈[-1,1]，使得

2 主要結(jié)果

下面我們來(lái)討論邊值問(wèn)題(1)，(2)解的存在性與唯一性.

定義2 如果存在函數(shù)β(t)和α(t)∈C3[-1,1]，使得當(dāng)-1≤t≤1時(shí)，α′(t)≤β′(t),β?(t)≤f(t,β(t),β′(t)),α?(t)≥f(t,α(t),α′(t))，且當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，β(t)≤α(t)，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，α(t)≤β(t)，則稱β(t)和α(t)為方程(1)的上下解.

定理1 假設(shè)

(1)f(t,x,x′)∈C([-1,1]×R2)，且當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，關(guān)于x單調(diào)不減；當(dāng)0≤t≤1時(shí)，關(guān)于x單調(diào)不增；

(2)引理2中的條件(2)成立；

(3)方程(1)存在上下解β(t)和α(t)，且

β(0)=A=α(0),α′(1)≤B≤β′(1),g(α′(-1),

α″(-1))≥0,g(β′(-1),β″(-1))≤0

則邊值問(wèn)題(1)，(2)有一解x(t)∈C3[-1,1]，使得β(t)≤x(t)≤α(t),-1≤t≤0,α(t)≤x(t)≤β(t),0≤t≤1.

又注意到表達(dá)式

定理2 假設(shè)

(1)定理1中的條件(1)，(2)成立;

(2)存在函數(shù)β(t)∈C3[-1,1]，使當(dāng)-1≤t≤1時(shí)0<β′(t),0<β″(t),β?(t)≤fx′(t,x,x′,x″)β′(t)+fx(t,x,x′,x″)β(t)，且當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，β(t)≤0，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，0≤β(t);

(3)對(duì)任意ξ,η∈(-∞,+∞)，滿足gξ(ξ,η)β′(-1)+gη(ξ,η)β″(-1)<0,則邊值問(wèn)題(1)，(2)至多存在一解.

證明 如果邊值問(wèn)題(1)、(2)有兩個(gè)不同解x1(t),x2(t)，記y(t)=x2(t)-x1(t)，則y(t)應(yīng)滿足下述邊值

y?=a(t)y′+b(t)y

y(0)=0,ay′(-1)+by″(-1)=0,y′(1)=0

定理3 假設(shè)

(1)函數(shù)f(t,x,x′)及其關(guān)于t,x,x′的一階偏微商在閉區(qū)域Ω={((t,x,x′)|-1≤t≤1,-∞

(2)當(dāng)(t,x,x′)∈Ω時(shí)，fx′(t,x,x′)≥m>0，當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，fx(t,x,x′)≥0，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，fx(t,x,x′)≤0，且|fx(t,x,x′)|≤l;

(3)函數(shù)g(ξ,η)在R2上連續(xù)可微，，且g(0,0)=0.

則邊值問(wèn)題(1)，(2)有且僅有唯一解.

證明 構(gòu)造上下解分別為

|β(t)|).

余下的工作只需逐步驗(yàn)證β(t),α(t)滿足定理1的條件即得存在性.

[1]王國(guó)燦.某一類三階非線性兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的解的存在性與唯一性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 1997，20(4):631-634.

[2]沈建和，余贊平，周哲彥.非線性三階常微分方程的非線性三點(diǎn)階的存在性[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2007，23(3):355-360.

[3]周欽德，苗樹梅.Volterra型積分微分方程的奇攝動(dòng)[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1998,3(3):392-400.

[4]葛渭高.三階常微分方程的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1997，12(3):265-271.

[5]BERNFELDSR,LASHMIKANTHANV.Anintroductiontononlinearvalueproblems[M].NewYork:AcademicPress,1974.

Existence and Uniqueness of Nonlinear Three-Point Boundary Value Problem for Third Order Equation

WANG Guocan,LI Li

(School of Mathematics and Physics,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

Nonlinear three-point boundary value problems for a class of third order differential equations is studied by Volterra type operator and differential inequality,and the existence and uniqueness of solution are obtained.The result shows the feasibity that by constructing upper and lower solutions based on suit condition.

third order nonlinear equation;three-point boundary value problem;existence;differential inequality

1673-9590(2015)03-0109-04

2014-08-05

王國(guó)燦(1963-),男，教授,碩士，主要從事常微分方程邊值問(wèn)題的研究E-mail:wanggc@dl.cn.

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