劉悅，盛虎

(大連交通大學(xué) 電氣信息學(xué)院，遼寧 大連 116028)

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獨(dú)立分量分析在含有多種噪聲的圖像去噪中的應(yīng)用

劉悅，盛虎

(大連交通大學(xué) 電氣信息學(xué)院，遼寧 大連 116028)

提出一種基于負(fù)熵的分?jǐn)?shù)低階獨(dú)立分量分析(ICA)算法，為使算法更好的適用于實(shí)際環(huán)境，結(jié)合當(dāng)下較為新穎的Volterra濾波方法——VLMS算法，該算法對(duì)高斯噪聲有良好的去除效果.仿真結(jié)果表明，算法對(duì)于含有兩種噪聲的混合圖像具有良好的分離特性及實(shí)際意義.

脈沖噪聲；分?jǐn)?shù)低階；ICA；VLMS；圖像去噪

0 引言

在傳統(tǒng)圖像去噪的文獻(xiàn)中，一直以高斯模型為主導(dǎo)地位，在很多情況下，高斯模型不但是合理的而且符合中心極限定理，這使得圖像處理分析起來(lái)更加容易，并且容易得到圖像處理問(wèn)題的解析解.高斯分布函數(shù)值僅僅需要知道均值和方差兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，所以，高斯模型的各種圖像處理方法得到充分的發(fā)展.但是在實(shí)際生活中，并不是所有信號(hào)都是符合高斯分布的，有些信號(hào)具有某種沖擊特性和厚重的拖尾，如水下聲納采集信號(hào)、大氣的放電現(xiàn)象、音頻信號(hào)、海洋動(dòng)物、雷達(dá)和衛(wèi)星通信中的接受噪聲、遠(yuǎn)程電話的轉(zhuǎn)換以及一些金融時(shí)間序列等等，這些信號(hào)會(huì)表現(xiàn)出非常強(qiáng)的沖擊性和厚重的拖尾特性，它們的瞬間值會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出其均值.在傳統(tǒng)的圖像處理中，通常使用高斯模型，但在這種情況下，如果繼續(xù)使用高斯模型作為噪聲模型，那么傳統(tǒng)去噪方法的性能會(huì)嚴(yán)重退化，甚至停止工作.人們開始嘗試運(yùn)用不同的隨機(jī)過(guò)程模型來(lái)模擬這些來(lái)自真實(shí)的噪聲分布情況，最終發(fā)現(xiàn)α穩(wěn)定分布[1]是一種非常優(yōu)秀的真實(shí)噪聲的數(shù)學(xué)模型.

獨(dú)立分量分析(independentcomponentanalysis,ICA)是一種全新的信號(hào)處理和數(shù)據(jù)分析方法，它是在盲源分離的研究過(guò)程中出現(xiàn)的，這種方法是基于信號(hào)的高階統(tǒng)計(jì)量.它在沒有源信號(hào)和傳輸通道參數(shù)先驗(yàn)知識(shí)的情況下，以統(tǒng)計(jì)獨(dú)立為原則，通過(guò)選擇目標(biāo)函數(shù)和優(yōu)化算法將信號(hào)分解成若干個(gè)獨(dú)立源.當(dāng)圖像中同時(shí)含有高斯噪聲與alpha穩(wěn)定分布噪聲時(shí)，現(xiàn)存的許多基于二階統(tǒng)計(jì)量的去噪方法會(huì)發(fā)生性能退化，甚至不能有效的工作.本文基于目前應(yīng)用最多的FastICA算法，使用分?jǐn)?shù)低階相關(guān)矩陣對(duì)圖像進(jìn)行白化處理，從而使基于高階統(tǒng)計(jì)量的ICA算法適用于alpha穩(wěn)定分布噪聲的去除.在去除混合噪聲中的脈沖噪聲后，使用VLMS算法處理高斯噪聲.

1 定義

獨(dú)立分量分析[2-3]可以描述如下：設(shè)s(t)=[s1(t),s2(t),…,sN(t)]T是產(chǎn)生觀測(cè)信號(hào)的N個(gè)相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的源信號(hào)，x(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T是M個(gè)觀測(cè)信號(hào)，且觀測(cè)信號(hào)x(t)是源信號(hào)s(t)經(jīng)過(guò)線性混合而產(chǎn)生的，如式(1)：

(1)

可寫成：

(2)

混合分離模型如圖1所示.

圖1 混合分離模型

由圖1可見，獨(dú)立分量分析是在沒有先驗(yàn)知識(shí)的情況下，也就是在源信號(hào)s(t)和混合矩陣A未知時(shí)，只利用觀測(cè)信號(hào)x(t)和源信號(hào)s(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立這一假設(shè)，盡可能的分離出源信號(hào)s(t).獨(dú)立分量分析的實(shí)質(zhì)就是在分離結(jié)果相互獨(dú)立的前提下，找到一個(gè)線性變換分離矩陣W，使輸出信號(hào)u(t)盡可能的逼近源信號(hào)s(t).輸出信號(hào)u(t)是對(duì)源信號(hào)s(t)的一個(gè)估計(jì)：

u(t)=Wx(t)=WAs(t)

(3)

2 含噪圖像

設(shè)含噪圖像同時(shí)含有高斯噪聲和Alpha穩(wěn)定分布脈沖噪聲，模型如下所示：

x(t)=s(t)+n1(t)+n2(t)

(4)

其中:s(t)為源圖像;n1(t)為高斯噪聲;n2(t)為Alpha穩(wěn)定分布脈沖噪聲.

Alpha穩(wěn)定分布[4]是一種廣義的高斯分布，它是一類具有廣泛代表性的隨機(jī)分布模型.Alpha穩(wěn)定分布沒有統(tǒng)一的封閉的概率密度(ProbabilityDensityFunction，PDF)表達(dá)式，但是它有統(tǒng)一的特征函數(shù)表達(dá)式[5]，如下：

φ(t)=exp[iδt-|γt|αBt,α]

(5)

其中，

(6)

式中：0<α≤2,-1<β≤1，-∞<δ<∞,γ>0.Alpha穩(wěn)定分布分別由α、β、δ、γ四個(gè)參數(shù)決定[6].其中，α是特征指數(shù)，決定該分部的脈沖程度，α越小，脈沖特性越強(qiáng)且拖尾越長(zhǎng)，其偏離中心位置的隨機(jī)變量概率越大，當(dāng)α=2時(shí)，Alpha穩(wěn)定分布對(duì)應(yīng)于高斯分布.β是對(duì)稱參數(shù)，決定分布的傾斜程度，當(dāng)β=0時(shí)，穩(wěn)定分布為對(duì)稱分布，記SαS.當(dāng)β=0，α=1時(shí)，穩(wěn)定分布為柯西分布.δ是位置參數(shù)，對(duì)應(yīng)穩(wěn)定分布的中值和均值.γ是尺度參數(shù)，相當(dāng)于高斯分布的方差.

本文算法是在欠定條件下進(jìn)行的獨(dú)立分量分析，因此，混合矩陣A的維數(shù)為 2×3，這樣經(jīng)過(guò)混合得到的觀測(cè)圖像為2幅，這2幅圖像都含有源圖信息、高斯噪聲和Alpha穩(wěn)定分布脈沖噪聲.

3 本文算法

本文算法的基本流程為，源圖像、高斯噪聲圖像和Alpha穩(wěn)定分布脈沖噪聲圖像經(jīng)過(guò)混合矩陣A(2×3)后，得到兩幅分別同時(shí)含有高斯噪聲和Alpha穩(wěn)定分布噪聲的圖像.首先，對(duì)其進(jìn)行預(yù)處理——分?jǐn)?shù)低階預(yù)白化.其次，運(yùn)用經(jīng)典的FastICA算法，在欠定的條件下，對(duì)其進(jìn)行獨(dú)立分量分析，得到兩幅圖像，第一幅為Alpha穩(wěn)定分布脈沖噪聲圖像，第二幅為含有少量高斯噪聲的源圖像.最后，運(yùn)用當(dāng)下較為新穎的VLMS算法對(duì)含有高斯噪聲的源圖像進(jìn)一步去噪.

3.1 改進(jìn)FastICA算法

根據(jù)概率論中的中心極限定理[7]，多個(gè)獨(dú)立分布的和要比其中任何一個(gè)獨(dú)立分布更加趨向于高斯分布，該原理可以應(yīng)用到獨(dú)立分量分析問(wèn)題上，因?yàn)橛^測(cè)信號(hào)x是由源信號(hào)經(jīng)過(guò)線性加權(quán)得到，因此，觀測(cè)信號(hào)x更加接近高斯分布，由此可認(rèn)為非高斯性越強(qiáng)，獨(dú)立性越高.在分離過(guò)程中，可以通過(guò)對(duì)分離結(jié)果非高斯性的度量來(lái)判斷分離結(jié)果間的相互獨(dú)立性，當(dāng)分離結(jié)果的非高斯性達(dá)到最大，表明各個(gè)獨(dú)立分量的分離已經(jīng)完成.基于負(fù)熵[8]的FastICA算法便是根據(jù)這一原理實(shí)現(xiàn)的.

在進(jìn)行ICA處理之前，首先進(jìn)行預(yù)處理，預(yù)處理包含去均值及白化處理，白化處理運(yùn)用PCA方法.主分量分析(PrincipalComponentAnalysis,PCA)是基于信號(hào)的二階統(tǒng)計(jì)量(如協(xié)方差)的經(jīng)典方法，它只考慮信號(hào)的二階統(tǒng)計(jì)特性，分解出來(lái)的各個(gè)分量之間是相互正交的.在獨(dú)立分量分析的預(yù)處理階段，PCA的目的是求出觀測(cè)信號(hào)x的分?jǐn)?shù)相關(guān)矩陣，但對(duì)于Alpha穩(wěn)定分布隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，它并不存在協(xié)方差和協(xié)方差矩陣等二階統(tǒng)計(jì)量，許多傳統(tǒng)的算法在Alpha穩(wěn)定分布上失效.為此，本文針對(duì)Alpha穩(wěn)定分布在原有算法的基礎(chǔ)上予以改進(jìn)，提出一種基于分?jǐn)?shù)低階理論[9]的獨(dú)立分量分析算法.在預(yù)處理階段，對(duì)觀測(cè)信號(hào)x進(jìn)行分?jǐn)?shù)低階預(yù)白化處理，即求出x的分?jǐn)?shù)低階相關(guān)矩陣[10].

分?jǐn)?shù)低階相關(guān)矩陣的定義式：

0

(7)

(8)

3.2 VLMS算法

VLMS[11]算法是基于LMS的Volterra圖像濾波算法，它是針對(duì)高斯噪聲提出的.對(duì)混合后得到的兩個(gè)混合圖像進(jìn)行分?jǐn)?shù)低階ICA分離，分離出兩幅圖像[12].

對(duì)于Alpha穩(wěn)定分布來(lái)說(shuō)，α的值越小，其非高斯性越強(qiáng)，與高斯噪聲相比，Alpha穩(wěn)定分布噪聲的非高斯性最強(qiáng)，這樣在分離過(guò)程中，會(huì)首先將Alpha穩(wěn)定分布噪聲提取出來(lái)，因此，第一幅圖像為Alpha穩(wěn)定分布噪聲圖像，第二幅圖像為帶有高斯噪聲的源圖像.這樣，對(duì)第二幅圖像直接進(jìn)行VMLS處理，即可得到去噪后的圖像.

3.3 步驟

(1)對(duì)于觀測(cè)數(shù)據(jù)x進(jìn)行中心化,使它的均值為0;

(2)然后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)低階預(yù)白化處理;

(3)選擇要估計(jì)的獨(dú)立分量的個(gè)數(shù)m,置迭代次數(shù)p=1;

(4)選擇具有單位范數(shù)的初始權(quán)矢量(可隨機(jī)的)wp;

(7)標(biāo)準(zhǔn)化Wp=Wp/‖Wp‖;

(8)如果Wp不收斂的話，返回第五步;

(9)令p=p+1，如果p≤m，返回第四步;

(10)得到分離矩陣Wp;

(11)對(duì)含噪圖像進(jìn)行分離S=Wpx，得到Alpha穩(wěn)定分布噪聲圖像s1和含有高斯噪聲的源圖像s2;

(12)運(yùn)用VLMS算法對(duì)s2進(jìn)行圖像去噪，得到去噪后的圖像s.

4 仿真結(jié)果

實(shí)驗(yàn)取3幅256×256大小的圖像.如圖2所示，圖2(a)為原圖像，圖2(b)為由高斯噪聲生成的圖像，圖2(c)為由alpha脈沖噪聲生成的圖像，α=1.6.將它們按逐行的方式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的3 個(gè)一維信號(hào)，產(chǎn)生隨機(jī)混合矩陣rand(2,3).一維信號(hào)與隨機(jī)混合矩陣混合后得到混合圖像圖2(d)及圖2(e).再對(duì)混合信號(hào)利用本文改進(jìn)的FastICA算法在欠定的條件下進(jìn)行獨(dú)立分量分析.用改進(jìn)的FastICA對(duì)混合圖像進(jìn)行盲分離，即假定在未知源圖像和混合矩陣下對(duì)混合圖像進(jìn)行分離，圖2(f)為分離出的脈沖噪聲圖像，圖2(g)為分離出的原圖像與高斯噪聲的混合.

(a)原圖

(b)高斯噪聲

(c)alpha噪聲

(d)混合圖像1

(e)混合圖像2

(f)分離圖像1

(g)分離圖像2

圖2 改進(jìn)FastICA分離出的圖像

圖3是本文算法與直接運(yùn)用VLMS算法的比較仿真圖.圖3(a)為本文算法，即應(yīng)用改進(jìn)的Fast ICA算法去除脈沖噪聲后，再運(yùn)用VLMS算法去噪后的圖像.圖3(b)是直接VLMS算法對(duì)混合后的2個(gè)圖像中的其中一幅圖像進(jìn)行去噪后的圖像.可以看出，傳統(tǒng)基于二階統(tǒng)計(jì)量的去噪方法會(huì)發(fā)生性能退化，甚至失效，其不能將兩種噪聲同時(shí)去除.良好的噪聲去除算法應(yīng)保證在去除噪聲時(shí)不對(duì)原圖像產(chǎn)生較大的影響，本文算法不但去除了尖銳的脈沖噪聲和高斯噪聲，而且還很好地保護(hù)圖像的細(xì)節(jié)，因此，更加適用于實(shí)際環(huán)境.

(a)本文算法去噪圖像

(b)VLMS算法

圖3 本文算法與直接運(yùn)用VLMS算法比較

為了更好的說(shuō)明本算法的去噪效果,采用峰值信噪比及平均絕對(duì)誤差作為其檢驗(yàn)指標(biāo).其中混合圖像的峰值信噪比和平均絕對(duì)誤差，只用兩幅圖像中的一幅圖像做實(shí)例.如表1所示.

表1 本文算法去噪后的峰值信噪比和平均絕對(duì)誤差

由表可得出，本文去噪方法與傳統(tǒng)的去噪方法相比，能夠更好的去除高斯噪聲和脈沖噪聲.傳統(tǒng)去噪方法大多是基于高斯模型下提出的，因此，在含有脈沖噪聲時(shí)明顯失效.本文首先運(yùn)用改進(jìn)的Fast ICA算法分離出脈沖噪聲，再運(yùn)用VLMS算法去除高斯噪聲.與傳統(tǒng)去噪算法相比，去噪效果明顯得到提高.

5 結(jié)論

Fast ICA是一種高效的計(jì)算方法，在未知源圖像和混合矩陣下對(duì)混合圖像進(jìn)行分離，它使分離出來(lái)的噪聲具有最大獨(dú)立性，但該方法只考慮信號(hào)二階統(tǒng)計(jì)特性，對(duì)含有alpha穩(wěn)定分布脈沖噪聲的情況失效.本文提出的改進(jìn)算法是在傳統(tǒng)的Fast ICA算法的基礎(chǔ)上將其分?jǐn)?shù)低階化，使其能夠去除脈沖噪聲.本文首次將獨(dú)立分量分析方法與Volterra濾波算法結(jié)合使用，從實(shí)驗(yàn)中可以看到本文算法對(duì)于人為加入兩種模擬噪聲的處理，得到了較好的效果，而且不需要知道原圖像的先驗(yàn)信息.

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Independent Component Analysis of Image Denoising For Mixed Noise Removal

LIU Yue,SHENG Hu

(School of Electrical and Information Engineering,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

A fractional lower order is proposed based on negative entropy of ICA method. In order to make the algorithm better suited to the actual conditions, the filtering method of VLMS is combined with good removal effect on gaussian noise. Theoretical analysis and computer simulation results show that the new method performs superior to traditional image denoising methods in removing mixed noice and practical significance.

random-valued impulse noise; fractional lower order; ICA; VLMS; image denoising

1673-9590(2015)03-0077-05

2014-11-03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61201419)

劉悅(1990-)，女，碩士研究生；盛虎(1978-)，男，副教授，博士，主要從事非平穩(wěn)信號(hào)處理E-mail:liuyue0303@126.com.

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