熊翠秀

(湖南城市學院通信與電子工程學院，益陽413000)

引 言

由于法布里－珀羅干涉儀(Fabry－Perot interferometer，F(xiàn)－PI)能產(chǎn)生很細銳的干涉條紋，是激光器的諧振腔，在微位移測量［1］、風速溫度測量［2－4］、壓力傳感器［5］、液體濃度微變監(jiān)測系統(tǒng)［6－7］、固體材料線膨脹系數(shù)測量［8］及光纖電流傳感器［9］等各領域受到廣泛的應用。故對F－PI的研究已有大量的報道，F(xiàn)－PI的光學傳輸特性受腔長、反射率、入射角及腔內(nèi)介質(zhì)折射率等參量的調(diào)控［10－13］，其穩(wěn)定性受到腔體振動變形的影響［14］。在以往的研究中，通常把腔內(nèi)介質(zhì)的折射率當作常量。事實上，介質(zhì)的折射率與在其中傳播的光場頻率(或波長)有關，即存在色散?？紤]到色散后F－PI的光學傳播特性可能會發(fā)生一定的變化，故考慮了腔內(nèi)介質(zhì)的色散，對色散介質(zhì)采用洛倫茲振子模型［15］，研究色散對F－PI縱模的影響，具體分析了洛倫茲振子的色散強度、衰減系數(shù)和諧振頻率對縱模間隔的調(diào)制規(guī)律，得到了相應的研究結(jié)果。

1 理論模型

F－PI由兩塊精密的相向面渡銀的平行平面玻璃構(gòu)成，強度反射率為R，板間距離為h。兩塊玻璃之間介質(zhì)的相對介電常數(shù)和相對磁導率分別為ε和μ，相應的介質(zhì)折射率為由于薄膜的等傾干涉，無窮多次反射和折射后透射光的光強為［16］:

式中，I0是入射光強，δ是相鄰兩束透射光的位相差。令光線在膜內(nèi)的傾角為i，則相位差 δ=4πnhλ－1cosi。

考慮兩個平板玻璃間的介質(zhì)是非鐵磁色散介質(zhì)，該色散介質(zhì)采用洛倫茲振子模型的相對介電常數(shù)為［15］:

式中，εb，ω，ω0，χ0和 γ 分別是背景材料的相對介電常數(shù)(即不考慮色散時介質(zhì)的介電常數(shù))、光場頻率、諧振頻率、色散強度和衰減系數(shù)。

2 數(shù)值計算結(jié)果與分析

令復色光垂直入射到F－PI上，不考慮介質(zhì)的增益效益，統(tǒng)一取R=0.9，h=2cm，εb=2.7889。由于只考慮色散，由(2)式計算折射率時，只取實部。

2.1 色散強度對縱模的影響

固定ω0=2.98×1014Hz和γ=2.98×1014Hz不變。由(1)式和(2)式，得到不同χ0下低頻段和ω0附近的透射光譜，如圖1所示。計算中，取兩組χ0和歸一化頻率范圍，第1 組:χ0取 0，0.03，0.1，0.2，0.3 和0.4，歸一化頻率 ω/ω0范圍取 0.5000 ～0.5002，對應于圖1a ～ 圖1f。第 2 組:χ0取 0，0.02，0.03，0.04，0.1和0.2，ω/ω0范圍取0.9999～1.0001，對應于圖1g～圖1l。

Fig.1 Transmission spectrum of F－PI with different dispersive intensity

其中圖1a和圖1g表示不考慮色散(χ0=0)的情況，呈現(xiàn)一組等間距的縱模。由圖可知，當考慮色散時，對于低頻段的縱模，隨著χ0的增大，縱模間隔依次減小，且縱模間隔始終小于不考慮色散的情況，具體為:不考慮色散時，在0.5000～0.5002的歸一化頻率范圍內(nèi)只有21個縱模(見圖1a)，而當χ0增大到0.4時，在相同的歸一化頻率范圍內(nèi)的縱模增到25個(見圖1f);高頻段的縱模間隔隨χ0的變化趨勢與低頻段類似，故不再給出相應的圖;比較ω0附近的圖1g～圖1l發(fā)現(xiàn):在ω0和γ不變的情況下，縱模間隔可大于或小于不考慮色散的情況，且隨χ0的增大，縱模間隔逐漸增大，在所取的參量中，χ0=0.03對應的圖1i中的縱模間隔達到最大(縱模間隔遠大于不考慮色散的情況)，然后又逐漸減小。事實上，盡管都在ω0附近，只要頻段發(fā)生微小變化，縱模間隔就會發(fā)生明顯的變化，但縱模間隔隨χ0的變化趨勢保持一致。此外，考慮色散后，把圖1b與圖1i、圖1c與圖1k和圖1d與圖1l兩兩比較可以發(fā)現(xiàn)，即使χ0相等，不同頻段縱模間隔也明顯不相等。

2.2 衰減系數(shù)對縱模的影響

固定ω0=6.2×1014Hz不變。分別取γ=2.98×1014Hz和γ=6.98×1014Hz，得到χ0=0.4時低頻和高頻段的透射光譜，如圖2所示。由圖2可見，無論是高頻段還是低頻段，γ增大時，縱模間隔都增大。

Fig.2 Transmission spectrum of a F－PI with different attenuation coefficients at low and high frequency band(solid line—γ=2.98×1014Hz，dot line—γ =6.98 ×1014Hz)

接下來考慮γ對ω0附近縱模間隔的影響。取χ0=0.02和 χ0=0.2，不同 γ 對應的 ω0附近的透射光譜如圖3所示。圖3a～圖3g對應于χ0=0.02，其縱模間隔隨著γ的增大一直在減小;而圖3h～圖3n對應于χ0=0.2，隨著γ的增大，相鄰縱模間隔先增大后減小。即 ω0附近的縱模，在 χ0較小(如 χ0=0.02)時，縱模間隔隨著γ的增大而減小;當χ0較大(如χ0=0.2)時，縱模間隔隨γ的增大先增大后減小。

Fig.3 Transmission spectrum of a F－PI with different attenuation coefficients near resonant frequency(ω0=2.98×1015Hz)

2.3 諧振頻率對縱模的影響

固定γ=2.98×1014Hz不變。圖4為χ0=0.02和χ0=0.2兩種情況下，不同χ0值對應的ω0附近的透射光譜。由于考慮ω0對縱模的影響，ω0不再是常量，橫坐標的ω對ω0歸一化后，不同的圖之間沒有可比性，故橫坐標直接用ω表示。為了比較，每個分圖的橫坐標都取了各自ω0附近間隔為0.0003×1015Hz的一小個頻段。圖4中對應于χ0=0.02時，隨著ω0的增大，縱模間隔先增大后減小;圖4中對應于χ0=0.2時，隨著ω0的增大，縱模間隔始終單調(diào)減小。即ω0附近，χ0較小(如χ0=0.02)時，縱模間隔隨著ω0的增大先增大后減小，而 χ0較大(χ0=0.2)時，縱模間隔隨 ω0的增大始終減小。ω0對高、低頻段的縱模間隔影響不大，所以沒給出相應的圖。

Fig.4 Transmission spectrum of a F－PI with different resonant frequencies near resonant frequency(γ=2.98×1014Hz)

由上述的計算結(jié)果可知，不考慮色散時，復色光照射到F－PI時，得到等間隔的縱模?？紤]介質(zhì)的色散后，縱模受到洛倫茲振子的χ0，γ和ω0等參量的調(diào)控，其縱模間隔不再相等，且各個頻段受到參量的調(diào)控規(guī)律又有所不同，具體為:高、低頻段，各個參量對縱模間隔按單調(diào)規(guī)律調(diào)控，但間隔都比不考慮色散的情況小;而在ω0附近，各個參量對縱模間隔不再按單調(diào)規(guī)律調(diào)控。為什么會出現(xiàn)這些現(xiàn)象?后面將用波動理論進行定性分析。

3 理論分析

令復色光束以θ0的入射角入射到F－PI上，光線在膜內(nèi)的傾角為θ，光束在膜內(nèi)多次反射和透射，平行透射光束的多光束干涉得到明暗相間的干涉條紋，明條紋即為F－PI的縱模。在不考慮半波損失的情況下，相鄰兩束平行光的光程差ΔL為:

對于縱模，上述光程差等于波長λ的整數(shù)倍［16］:

式中，k為縱模的級數(shù)。把真空中的光速c、光場頻率ω和波長λ的關系(λ=2πc/ω)代入上式，得到介質(zhì)的折射率n與第k級縱模的ω之間的關系如下式所示:

下面以垂直入射為例。首先分析χ0對縱模間隔的調(diào)制。固定ω0=2.98×1015Hz和γ=2.98×1014Hz不變，由(2)式計算不同χ0、不同ω處的折射率的實部n，繪制如圖5a所示的ω/ω0-n曲線，稱為色散曲線;然后k取定值，根據(jù)(5)式進一步繪制出第k級縱模的n與ω所滿足的關系，如圖5a所示，稱為縱模曲線(曲線上標注了相應的k值)。第k級縱模曲線與色散強度為χ0的色散曲線之間有交點(1個或3個交點)，交點坐標記為((ω/ω0)k，nk)，該坐標的橫、縱坐標分別表示χ0對應的第k級縱模的歸一化頻率和折射率。同一條色散曲線上相鄰兩個交點的橫坐標之差為歸一化縱模間隔 Δω/ω0，即:

圖中水平橫線為不考慮色散的情況?？紤]色散后，低頻段的折射率的實部大于不考慮色散時的折射率，且在相同頻率下χ0越大，折射率實部越大;高頻段正好相反;ω0附近處于反常色散，χ0越大，ω0附近色散曲線越陡、幅度越大。從圖5a可以清楚地看到，由于色散曲線的以上特征，導致:(1)對于低頻段，χ0越大，第k級縱模曲線與色散曲線的交點對應的頻率越小，且相鄰兩條縱模曲線與同一條色散曲線的兩個交點對應的頻率差也越小，即考慮色散后，低頻段的縱模紅移，χ0越大，紅移量越大，縱模間隔也越小，在相同頻率范圍內(nèi)能容納更多的縱模;(2)對于高頻段，χ0越大，第k級縱模曲線與色散曲線的交點對應的頻率越大，且相鄰兩條縱模曲線與同一條色散曲線的兩個交點對應的頻率差也越小，即考慮色散后，高頻段的縱模藍移，χ0越大，藍移量越大，縱模間隔也越小，在相同頻率范圍內(nèi)能容納更多的縱模;(3)對于ω0附近，有些縱模曲線與色散曲線有3個交點，即不考慮色散時的1個縱模分裂成了3個縱模，這3個縱模中有的1個縱模發(fā)生紅移，2個縱模發(fā)生藍移;有的則1個縱模發(fā)生藍移，2個縱模發(fā)生紅移，相當于縱模被稀釋了，且χ0越大，縱模被稀釋的程度就越大。但是當χ0較大時，由于色散曲線在反常色散區(qū)很陡，上下幅度很大，因此1個縱模分裂為3個后，其中2個縱?？康煤芙Ｋ赃@個區(qū)表現(xiàn)為隨著χ0的增大，縱模間隔增大。但當χ0增大到比較大時，縱模間隔又隨χ0的增大而減小。這與圖1中所示的計算結(jié)果一致。

Fig.5 Longitudinal modes curve and dispersion curve

接下來分析γ對縱模間隔的調(diào)制。固定ω0=2.98×1015Hz不變，γ從 2.98×1014Hz依次增大到8.98 ×1014Hz，圖5b 中給出了取 χ0=0.02 和 χ0=0.2兩種情況的色散曲線以及縱模曲線。由圖5b可知，在ω0和χ0不變時，相同頻率下:(1)低頻段折射率的實部隨著γ的增大而略微減小，而縱模曲線由左上方到右下方與色散曲線斜交，因此縱模間隔略微增大(但縱模間隔始終小于不考慮色散時的縱模間隔)，縱模紅移量也逐漸減小;(2)高頻段折射率的實部隨著γ的增大而略微增大，因此縱模間隔略微增大(縱模間隔也始終小于不考慮色散時的縱模間隔)，縱模藍移量也逐漸減小;(3)對于ω0附近的頻段，雖然都處于反常色散，但 χ0較小(如 χ0=0.02)時，反常色散區(qū)的色散曲線比縱模曲線平坦，1條縱模曲線與1條色散曲線僅有1個交點，即縱模不分裂，兩側(cè)的縱模紅、藍移后僅表現(xiàn)出縱模被稀釋的現(xiàn)象，因此縱模間隔較大，但隨著γ的增大，色散曲線上下幅度減小，所以縱模間隔隨γ的增大而減小。當χ0較大(如χ0=0.2)且γ小時，反常色散區(qū)的色散曲線比縱模曲線陡峭，1條縱模曲線與1條色散曲線有3個交點，即不考慮色散時的1個縱模分裂為3個縱模，其中2個縱?？康煤芙?，故縱模間隔較小，隨著γ的增大，色散曲線的幅度慢慢降下來，縱模間隔增大，但γ進一步增大時，色散曲線又趨于平坦，即趨于不考慮色散的情況，故縱模間隔又慢慢地減小。綜上所述，隨著γ的增大，高、低頻段的縱模間隔增大;ω0附近表現(xiàn)出比較復雜的特性，χ0很小時，隨著γ的增大縱模間隔一直減小，最后趨于不考慮色散的情況，而χ0較大時，隨著γ的增大，縱模間隔先增大后減小，最后也趨于不考慮色散的情況。這些分析結(jié)果與圖2和圖3中的計算結(jié)果一致。對于ω0也可以進行類似的分析，但限于篇幅的原因，不再重復。

4 結(jié)論

研究結(jié)果表明，考慮F－PI腔內(nèi)介質(zhì)的色散后高、低頻段的縱模分別發(fā)生藍移和紅移;縱模間隔對洛倫茲振子的色散強度、衰減系數(shù)和諧振頻率敏感，特別是諧振頻率附近的縱模尤為突出:(1)在衰減系數(shù)和諧振頻率不變的情況下，高、低頻段的縱模間隔隨色散強度的增大而減小，諧振頻率附近的縱模間隔隨色散強度的增大，呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢;(2)在色散強度和諧振頻率不變的情況下，高、低頻段的縱模間隔隨衰減系數(shù)的增大而增大，最后趨于不考慮色散的情況，對于諧振頻率附近的縱模，色散強度較小時，縱模間隔隨衰減系數(shù)的增大而減小，而色散強度較大時，縱模間隔先增大后減小;(3)在色散強度和衰減系數(shù)不變時，諧振頻率附近的縱模，在色散強度較小時，縱模間隔隨諧振頻率的增大先增大后減小，而色散強度較大時，縱模間隔隨諧振頻率的增大而減小。

本文中在分析問題時把法布里－珀羅干涉儀的強度反射率R當作常量，但事實上分界面上的強度反射率與分界面兩側(cè)介質(zhì)的折射率有關，考慮色散后F－PI內(nèi)介質(zhì)的折射率不再是常量，而是與光場頻率有關的量，因此鍍膜面的強度反射率R與光場頻率有一定的關系，縱模的強度半峰寬度也要發(fā)生相應的變化。但由于鍍膜面的折射率不好確定，如果考慮R受光場頻率調(diào)制，問題將復雜化，故把R當作常量，對強度半峰寬度也沒有進行分析。

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