陳 杰,方 勃,張業(yè)偉

(沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽 110136)

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基于中心流形理論的液體火箭POGO振動系統(tǒng)Hopf分岔點特性

陳 杰,方 勃,張業(yè)偉

(沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽 110136)

火箭飛行過程中不安定因素主要是液體火箭POGO振動所引起的低頻振動，其由火箭縱向結(jié)構(gòu)殼體與液體燃料發(fā)生共振所產(chǎn)生的。液體火箭POGO振動其實質(zhì)就是流固耦合問題,為了解決這一難題同時降低成本，大多數(shù)學(xué)者采用理論計算與實驗?zāi)M相結(jié)合的方法。然而，其計算過程的簡化過于復(fù)雜。通過質(zhì)量守恒，動量定理以及牛頓第二定律建立了液體火箭POGO振動的非線性動力學(xué)模型，利用中心流形理論進行系統(tǒng)降維，并通過附屬正規(guī)形法獲得分岔方程，研究系統(tǒng)Hopf分岔點，得出在泵氣蝕剛度系數(shù)的某一范圍內(nèi)，分岔參數(shù)的冪運算對分岔類型的判斷有重要影響，從而為抑制液體火箭POGO振動的發(fā)生提供相關(guān)理論依據(jù)。

中心流形法；液體火箭POGO振動；Hopf分岔；復(fù)數(shù)正規(guī)形；降維

最近幾年，我國的航空航天事業(yè)有了長足的發(fā)展，特別是載人航天技術(shù)領(lǐng)域取得了重大成果。然而，液體火箭POGO振動始終是阻礙火箭安全發(fā)射的主要因素之一[1]。它不但影響著箭體、運載器以及箭載設(shè)備的性能，而且會對宇航員的身體機能產(chǎn)生破壞，甚至影響其生命安全。因此，對火箭POGO振動的研究具有重大的歷史意義。為了滿足大型火箭的不同發(fā)射任務(wù)，未來火箭結(jié)構(gòu)將越來越復(fù)雜，尺寸越來越大，而且結(jié)構(gòu)的柔性變形也會增大，這無疑增大抑制火箭POGO振動的難度，同時也說明了研究液體火箭POGO振動的必要性。

液體火箭POGO振動在20世紀(jì)50年代得到了學(xué)者的廣泛研究。他們分別從液體火箭POGO振動的數(shù)學(xué)模型、振動系統(tǒng)穩(wěn)定性、POGO振動試驗及抑制等方面做了詳細(xì)研究。Holster[2]研究了液體管路系統(tǒng)的頻響反應(yīng)。Li和Xing[3-4]把火箭燃料做為研究對象，分析了火箭發(fā)動機脈沖對POGO振動的影響。Archer[5]和Pan[6]對火箭的縱向結(jié)構(gòu)進行了分析。Wang[7-8]和Ma[9]通過相關(guān)矩陣特征值求解情況，分析了液體火箭POGO振動的穩(wěn)定性。根據(jù)動力學(xué)相關(guān)知識，Zhao[10]分析研究了POGO振動的穩(wěn)定性問題。Nagai[11]和Shupert[12]分別對火箭貯箱和燃燒室進行了相關(guān)模擬實驗，并得出重要實驗數(shù)據(jù)。Swanson和Giel[13]成功抑制了戰(zhàn)神Ⅰ運載火箭POGO問題。Ujino[14]解決了H-Ⅱ火箭熱車實驗的振動問題。

本文針對火箭燃料液路系統(tǒng)的特性，根據(jù)質(zhì)量守恒，動量定理以及牛頓第二定律建立了液體火箭POGO振動的非線性動力學(xué)模型，不同于以往文獻中采用離散型傅立葉變化對其進行簡化分析[1]，而是首次將中心流形法應(yīng)用于液體火箭POGO振動的計算中。通過中心流行理論進行系統(tǒng)降維，并通過附屬正規(guī)形法獲得分岔方程，進而通過分岔參數(shù)的變化研究系統(tǒng)Hopf分岔點的特性，為更好地解決大型液體火箭POGO振動問題提供理論依據(jù)。

1 液體火箭動力學(xué)方程及中心流形降維

液體火箭POGO振動也叫做火箭的蹺振，是管路推進系統(tǒng)與火箭縱向結(jié)構(gòu)發(fā)生的流固耦合問題?；鸺囊郝凡糠忠话阌伤牟糠纸M成的：貯箱、管路、泵以及燃燒室。如圖1所示。通過建立相關(guān)各部件的動力學(xué)非線性模型，最后組成液體火箭的液路系統(tǒng)，最終與火箭縱向結(jié)構(gòu)耦合，組成最終的動力學(xué)非線性模型。

液體火箭非線性動力學(xué)模型方程[1,10]

圖1 液體火箭液路系統(tǒng)

根據(jù)質(zhì)量守恒、動量定理、牛頓第二定律建立液體火箭液路各個部件的模型。

貯存箱模型

(1)

管路模型

Pg=Pb

(2)

泵模型

燃燒室模型

(4)

(5)

將方程(1)-(5)改寫為一階微分方程形式

(6)

(7)

且

H=P-1BP=

(8)

方程(8)中，μy看作是非線性項。設(shè)中心流形為二階展開式[15，18]，可得

y3=0.6872y1μ+0.9534y2μ+o(2)

y4=0.5483y1μ-0.4139y2μ+o(2)

y5=0.3642y1μ+0.7060y2μ+o(2)

(9)

將方程(9)代入方程(7)中,得到約化方程

(10)

且

(11)

3 Hopf分岔方程

設(shè)轉(zhuǎn)化方程(y1,y2)T=Q(μ)(η1,η2)T，其中Q(μ)是C的特征向量組成的矩陣，即：

Q(μ)=I2×2+ο(1)

(12)

在不影響分岔點附近性質(zhì)的前提下，忽略小量，則約化方程(10)可轉(zhuǎn)換為[15]：

(13)

其中，α(μ)+β(μ)i是矩陣C的兩個特征值，且

α(0)=0.4763

β(μ)=0.4825μ-0.336μ2+ο(2)

(14)

令δ=η1+η2i，結(jié)合方程(13)可以得到方程[15]

其中,ξij(i+j=3)是μ的復(fù)值函數(shù)。

利用恒等方程

(16)

將方程(15)轉(zhuǎn)化為

(17)

將λ=reθi代入方程(17)

r′=β(μ)r+α1(μ)r3+ο(3)

(18)

令方程(18)等于零，則得到分岔方程

β(μ)r+α1(μ)r3=0

(19)

且α1(μ)=2.8560-3.5473μ+ο(1)

(20)

4 計算結(jié)果分析

當(dāng)μ=0時，r足夠小，r′>0，此時分岔點不是穩(wěn)定點，同時分岔方程有非零解，且α1(μ)、β(μ)存在異號，因此當(dāng)火箭的泵氣蝕剛度Kb=0.58時，其所對應(yīng)的分岔點為亞臨界。同時增大Kb的值時，同理可以得到相應(yīng)的分叉方程，得出不同α1(μ)，經(jīng)分析得出，當(dāng)α1(μ)含有μ的一次項時，且在相對應(yīng)的Kb的右側(cè)滿足α1(μ)、β(μ)異號，此時的分岔點則為超臨界現(xiàn)象，反之，則為亞臨界。當(dāng)α1(μ)不含有μ的一次項時，則此時的分岔點既是超臨界又是亞臨界。此理論可以由等效線性化法和增量諧波平衡法得以驗證[15]。

當(dāng)減少適當(dāng)范圍內(nèi)減少泵氣蝕剛度系數(shù)Kb的值，做出約化方程(10)的隨著分叉參數(shù)μ的相圖，如圖2所示。有圖2 (a)、(b)和(c)可知，隨著分叉參數(shù)μ的變化，相軌跡圖始終收斂，即趨于穩(wěn)定。由此可知，火箭液體燃料系統(tǒng)中泵的氣蝕剛度控制在這個范圍內(nèi)，可以抑制液體火箭發(fā)生POGO振動。

5 結(jié)論

本文針對火箭POGO振動對火箭安全發(fā)射的不利影響，根據(jù)質(zhì)量守恒、動量守恒以及牛頓第二定律等原理，建立了液體火箭POGO振動的非線性動力學(xué)模型。通過中心流形法與復(fù)數(shù)正規(guī)形法的應(yīng)用，對液體火箭POGO振動的非線性系統(tǒng)進行化簡，進一步得到液體火箭POGO振動非線性動力學(xué)模型的分岔方程。通過相應(yīng)的計算分析以及相關(guān)相圖可得出以下結(jié)論：

(1)當(dāng)泵氣蝕剛度系數(shù)Kb大于0.58時，液體火箭POGO振動Hopf分岔點跟分岔參數(shù)μ的一次項有關(guān)。如果得到相對應(yīng)的分岔方程的參數(shù)β(μ)含有一次項，則分岔點為超臨界亦或是亞臨界。當(dāng)β(μ)不含有一次項時，則分岔點既是超臨界又是亞臨界。

(2)在泵氣蝕剛度系數(shù)Kb在適當(dāng)小于0.58范圍時，則通過火箭縱向殼體與火箭燃料液路系統(tǒng)將不會反生耦合現(xiàn)象。即在此范圍內(nèi)，可以有效抑制火箭POGO振動的發(fā)生。

圖2 箭體結(jié)構(gòu)與燃料液路系統(tǒng)耦合相軌跡隨著分叉參數(shù)變化關(guān)系圖

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(責(zé)任編輯：宋麗萍 英文審校：劉飛)

Hopf bifurcation point in pogo vibration system for liquid rocket based on center manifold theory

CHEN Jie,FANG Bo,ZHANG Ye-wei

(Faculty of Aerospace Engineering,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

In the process of rocket flying,the low-frequency POGO vibration constitutes a major influencing factor on rocket stability,which is triggered by resonance of longitudinal shell and liquid fuel.Solid-liquid interaction is the essence of POGO vibration of liquid rocket.To address the problem and reduce cost,most scholars generally adopt the method that combines theoretical calculation with experimental simulation.However,the computational method is too complicated to be practical.In the paper,a nonlinear dynamical model for POGO vibration of liquid rocket is built based on law of conservation of mass,theorem of momentum and Newton second law;dimensionality is reduced by employment of centre manifold theory;bifurcation equation is obtained by plural normal form.It is found that in certain range of the stiffness coefficient of pump cavitation,power method for the bifurcation parameters is of great importance in determining bifurcation style.Thus the paper attempts to construct theoretical framework for the rocket POGO vibration control.

center manifold theory;the POGO vibration of liquid rocket;Hopf bifurcation;plural normal form;reduce dimensions

2095-1248(2015)06-0034-05

2015-07-08

國家自然科學(xué)基金(項目編號：11402151)，遼寧省自然科學(xué)基金(項目編號：2013024005)

陳杰(1989-)，男，山西長治人，碩士研究生，主要研究方向：空間飛行器動力學(xué)與控制，E-mail：ZIDANE0901034211@163.com;方勃(1964-)男，遼寧沈陽人，教授，主要研究方向：非線性動力學(xué)與結(jié)構(gòu)振動，E-mail：bfang0825@163.com。

V434

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2015.06.003