張滿慧, 胡逢源, 胡勝海, 張保平, 謝婷婷

(1. 哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2. 上海船舶設(shè)備研究所，上海 200031)

空間變胞機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)及誤差的全構(gòu)態(tài)四元數(shù)模型

張滿慧1, 胡逢源2, 胡勝海1, 張保平1, 謝婷婷1

(1. 哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2. 上海船舶設(shè)備研究所，上海 200031)

空間變胞機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可變特性使得建立全構(gòu)態(tài)模型是其運(yùn)動(dòng)及誤差研究的一個(gè)難題，而現(xiàn)有歐拉參數(shù)運(yùn)動(dòng)模型中存在數(shù)學(xué)奇異和非奇異退化等問(wèn)題，因此提出了采用羅德里格-哈密頓參數(shù)建立空間變胞機(jī)構(gòu)的全構(gòu)態(tài)模型?；谒脑獢?shù)理論建立了任意構(gòu)態(tài)的運(yùn)動(dòng)模型，推導(dǎo)了相鄰構(gòu)態(tài)廣義運(yùn)動(dòng)變量的遞推關(guān)系。研究了結(jié)構(gòu)誤差、運(yùn)動(dòng)變量誤差及運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)理想模型的擾動(dòng)，構(gòu)建了統(tǒng)一的范式表示機(jī)構(gòu)的全構(gòu)態(tài)四元數(shù)模型。通過(guò)典型實(shí)例的理論計(jì)算和仿真分析對(duì)比結(jié)果表明，所建模型的有效性，它既可分析空間變胞機(jī)構(gòu)的全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)特性，也可研究構(gòu)態(tài)變換前后的運(yùn)動(dòng)特性變化，為變胞機(jī)構(gòu)的工程應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

空間變胞機(jī)構(gòu)；四元數(shù)；全構(gòu)態(tài)；運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)誤差；間隙

變胞機(jī)構(gòu)是一類通過(guò)自身拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)重組和重構(gòu)滿足外界工況變化以及不同工作任務(wù)需求的新型機(jī)構(gòu)[1]。由于變胞機(jī)構(gòu)需要在不同拓?fù)錁?gòu)態(tài)間進(jìn)行切換，在其運(yùn)動(dòng)學(xué)研究中，結(jié)合變胞特性[2]建立統(tǒng)一的范式表示運(yùn)動(dòng)模型是一個(gè)難點(diǎn)。同時(shí)，結(jié)合變胞特性建立運(yùn)動(dòng)誤差模型也是亟待解決的問(wèn)題。李端玲等基于李群方法建立的運(yùn)動(dòng)模型能夠表達(dá)變胞機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)及有效構(gòu)件數(shù)目的變化[3-4]。金國(guó)光將矢量法和矩陣法相結(jié)合，建立了變胞機(jī)構(gòu)單一構(gòu)態(tài)的運(yùn)動(dòng)模型[5]。吳艷榮等采用變換矩陣推導(dǎo)單一構(gòu)態(tài)的運(yùn)動(dòng)遞推關(guān)系，將運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與構(gòu)態(tài)描述結(jié)合推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)模型[6]。楊毅等基于有限元方法對(duì)平面變胞機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和模塊化編程[7]。侯少毅等采用影響系數(shù)法建立相鄰構(gòu)態(tài)影響矩陣的遞推關(guān)系和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[8]。胡勝海等基于旋量方法建立了變胞機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)及位姿誤差模型[9]。然而現(xiàn)有運(yùn)動(dòng)模型都是采用歐拉參數(shù)獲得的，當(dāng)機(jī)構(gòu)存在大幅度姿態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)出現(xiàn)數(shù)學(xué)奇異問(wèn)題，不利于變胞機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和運(yùn)動(dòng)誤差分析。

因此，基于四元數(shù)法[10-11]對(duì)空間變胞機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。結(jié)合構(gòu)態(tài)變換特性推導(dǎo)相鄰構(gòu)態(tài)廣義運(yùn)動(dòng)變量的遞推關(guān)系，構(gòu)建統(tǒng)一的范式表示全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)模型。分析結(jié)構(gòu)誤差、運(yùn)動(dòng)變量誤差及運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)運(yùn)動(dòng)模型的綜合影響，推導(dǎo)了全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差模型。對(duì)一種空間變胞機(jī)構(gòu)進(jìn)行理論計(jì)算與運(yùn)動(dòng)仿真驗(yàn)證所建模型的有效性。

1 空間變胞機(jī)構(gòu)全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)的四元數(shù)模型

1.1 任意構(gòu)態(tài)的運(yùn)動(dòng)四元數(shù)模型

對(duì)于含c(c>1)個(gè)構(gòu)態(tài)的空間變胞機(jī)構(gòu)，任意構(gòu)態(tài)ζ(ζ=1,2,…,c)的運(yùn)動(dòng)副軸線空間幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 構(gòu)態(tài)ζ的軸線空間幾何關(guān)系Fig. 1 Axis geometrical relationships of configuration ζ

基于四元數(shù)法的運(yùn)動(dòng)關(guān)系描述[10]，可知慣性系Oxyz中Ki和Kj中點(diǎn)的位置矢量四元數(shù)映像為

(1)

(2)

為便于模塊化分析，將式(1)改寫(xiě)為

(3)

(4)

由式(3)可得，軸線Kj在慣性系下位置矢量四元數(shù)映像遞推公式為

(5)

式中：Pi,i+1表示慣性系中軸線Kj支鏈上的旋轉(zhuǎn)變換四元數(shù)矩陣式。

(6)

由圖1可知，軸線Kj相對(duì)于慣性系坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換四元數(shù)為

(7)

式中：Pt,t+1表示由坐標(biāo)軸Ox到軸線Kj單支鏈上的旋轉(zhuǎn)變換特征四元數(shù)。

(8)

若構(gòu)態(tài)ζ含有eζ個(gè)閉環(huán)約束，則約束方程為

Hζqζ=Pζ

(9)

式中：Hζ是構(gòu)態(tài)ζ的約束方程系數(shù)矩陣，階數(shù)為eζ×n；qζ是廣義運(yùn)動(dòng)變量列向量，階數(shù)為n×1；Pζ是約束方程已知列向量，階數(shù)為n×1。

基于上述分析，聯(lián)立式(5)～(9)即可得空間變胞機(jī)構(gòu)任意構(gòu)態(tài)ζ的軸線運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。當(dāng)ri表示構(gòu)件i上Bi點(diǎn)到軸線Ki中點(diǎn)的矢徑時(shí)，即可得構(gòu)態(tài)ζ中任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

1.2 相鄰構(gòu)態(tài)廣義運(yùn)動(dòng)變量的遞推模型

通過(guò)現(xiàn)有空間變胞機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)研究成果可知其構(gòu)態(tài)變換方式主要為構(gòu)件合并和分離[12-13]，這種變胞特性也最適合于工程應(yīng)用。此時(shí)，相鄰構(gòu)態(tài)ζ和ζ+1的變換矩陣為

(10)

式中：Uζ表示構(gòu)件變化矩陣；Eζ表示消除行列矩陣[12]，二者都是初等矩陣。

式(10)描述空間變胞機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)鄰接關(guān)系變化，對(duì)應(yīng)相鄰構(gòu)態(tài)的廣義運(yùn)動(dòng)變量改變。假設(shè)構(gòu)態(tài)ζ中構(gòu)件數(shù)為Nζ，運(yùn)動(dòng)鏈環(huán)數(shù)為L(zhǎng)ζ，則運(yùn)動(dòng)副軸線數(shù)目為

tζ=Nζ+Lζ-1

(11)

1)當(dāng)構(gòu)態(tài)ζ為開(kāi)鏈時(shí)，運(yùn)動(dòng)鏈環(huán)數(shù)Lζ=0且tζ

(12)

2)當(dāng)構(gòu)態(tài)ζ為單閉環(huán)時(shí)，運(yùn)動(dòng)鏈環(huán)數(shù)Lζ=1且tζ=Nζ。

(13)

(14)

(15)

因此，結(jié)合式(11)～(15)，即可確定相鄰構(gòu)態(tài)之間的廣義運(yùn)動(dòng)變量遞推模型。

1.3 全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)的四元數(shù)建模

首先根據(jù)1.1節(jié)建立空間變胞機(jī)構(gòu)初始構(gòu)態(tài)的運(yùn)動(dòng)模型。再由空間幾何關(guān)系確定當(dāng)構(gòu)件合并或分離后，新產(chǎn)生的幾何關(guān)系仍可用原來(lái)的幾何關(guān)系代替，僅構(gòu)件間對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)量發(fā)生變化(由常量變?yōu)樽兞炕蛴勺兞孔優(yōu)槌Ａ?，由相鄰構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)變量的遞推模型得到下一構(gòu)態(tài)的廣義運(yùn)動(dòng)變量。當(dāng)軸線幾何關(guān)系不變時(shí)，運(yùn)動(dòng)關(guān)系也不發(fā)生改變，添加或刪除相應(yīng)的約束方程θi(t)=C，即可直接遞推得到相鄰構(gòu)態(tài)的運(yùn)動(dòng)模型。

在空間變胞機(jī)構(gòu)全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在兩種運(yùn)動(dòng)學(xué)模型變換控制方式。

1)由時(shí)間歷程控制變換。

通過(guò)主動(dòng)控制stζ時(shí)刻的變量控制函數(shù)變化，實(shí)現(xiàn)由構(gòu)態(tài)ζ到構(gòu)態(tài)ζ+1的運(yùn)動(dòng)模型變換。變胞機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間歷程如圖2所示，且其可表示為

(16)

圖2 空間變胞機(jī)構(gòu)的時(shí)間歷程Fig. 2 Time history of spatial metamorphic mechanism

2)由約束方程控制變換

定義附加約束方程表示對(duì)當(dāng)前構(gòu)態(tài)不起約束作用，而對(duì)相鄰構(gòu)態(tài)起約束作用的控制方程。其意義是當(dāng)方程滿足時(shí)，實(shí)現(xiàn)構(gòu)態(tài)瞬時(shí)切換，進(jìn)入下一構(gòu)態(tài)且改變運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。艙門(mén)開(kāi)關(guān)變胞機(jī)構(gòu)[14]是此類方式的典型應(yīng)用。

附加約束方程的廣義表達(dá)式為

FHζqζ=FPζ

(17)

式中：FHζ是附加約束方程系數(shù)矩陣，其階數(shù)對(duì)應(yīng)構(gòu)態(tài)ζ+1的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；FPζ是已知約束列陣。

通過(guò)上述分析，可構(gòu)建統(tǒng)一的方式表示空間變胞機(jī)構(gòu)全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

(18)

(19)

綜上所述，聯(lián)立式(18)和(19)可得空間變胞機(jī)構(gòu)全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)的四元數(shù)模型。

2 空間變胞機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)誤差的全構(gòu)態(tài)四元數(shù)模型

由于結(jié)構(gòu)誤差、運(yùn)動(dòng)變量誤差[15]以及運(yùn)動(dòng)副間隙的影響，空間變胞機(jī)構(gòu)實(shí)際構(gòu)態(tài)與理想構(gòu)態(tài)之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型存在差異。運(yùn)動(dòng)誤差研究即分析誤差參數(shù)及運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)理想運(yùn)動(dòng)的影響，建立全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差模型。為簡(jiǎn)化模型做出如下假設(shè)：

1)構(gòu)態(tài)變換時(shí)刻在理想構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)和實(shí)際構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)中不發(fā)生變化；

2)忽略間隙處的柔性變形、摩擦及碰撞等因素的影響；

3)忽略各構(gòu)件在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的柔性變形。

2.1 運(yùn)動(dòng)副間隙的誤差四元數(shù)模型

(20)

(21)

上述運(yùn)動(dòng)副間隙矢量折算模型適用于所有類型的運(yùn)動(dòng)副間隙，僅是有些折算分量不存在。

圖3 運(yùn)動(dòng)副間隙矢量的折算模型Fig. 3 The conversion model of kinematic pair clearance

2.2 任意構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差的四元數(shù)模型

(22)

(23)

(24)

由以上分析可推導(dǎo)出軸線Kj在慣性系中運(yùn)動(dòng)誤差模型為

(25)

綜上所述，聯(lián)立式(22)～(25)即可得空間變胞機(jī)構(gòu)任意構(gòu)態(tài)ζ的運(yùn)動(dòng)誤差模型。

2.3 任意構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差的四元數(shù)模型

對(duì)于空間變胞機(jī)構(gòu)，結(jié)構(gòu)誤差參數(shù)是常量，不存在遞推關(guān)系。運(yùn)動(dòng)變量誤差是時(shí)間函數(shù)，其遞推關(guān)系可由廣義運(yùn)動(dòng)變量的遞推關(guān)系確定。且主動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)變量誤差由輸入函數(shù)控制，被動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)變量誤差由主動(dòng)關(guān)節(jié)和約束方程控制。間隙矢量折算的誤差參數(shù)是狀態(tài)變量，可視為位置函數(shù)或運(yùn)動(dòng)變量的函數(shù)，其遞推關(guān)系由約束方程和幾何關(guān)系確定。得出相鄰構(gòu)態(tài)間誤差參數(shù)的遞推關(guān)系為

(26)

因此，聯(lián)立式(22)～(26)建立空間變胞機(jī)構(gòu)的全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差模型為

(27)

3 應(yīng)用實(shí)例分析

3.1 全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)及其運(yùn)動(dòng)誤差的四元數(shù)模型

一種典型的空間變胞機(jī)構(gòu)[13]如圖4所示，kj(j=1,2,…9)為各軸線Kj中點(diǎn)，θj為軸線Kj處的二面角。各個(gè)三角形構(gòu)件短邊為l，頂角α，四邊形構(gòu)件邊長(zhǎng)為s和h。為便于分析，令α為90°，并以軸線K1、K6及K8交點(diǎn)為原點(diǎn)O，建立慣性坐標(biāo)系Oxyz。此時(shí)Ox與軸線K1重合，軸線K1和K6位于平面Oxy。圖4所示的空間變胞機(jī)構(gòu)由初始構(gòu)態(tài)至末態(tài)經(jīng)歷4次變換過(guò)程，其變胞方式為構(gòu)件合并。以四邊形構(gòu)件9的角點(diǎn)p9為對(duì)象，直接建立全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)模型為

(28)

式中：各矩陣元素由于篇幅限制，省略具體地顯式表達(dá)式；B(t)由附加約束方程條件時(shí)間點(diǎn)確定。

圖4 一種典型的空間變胞機(jī)構(gòu)Fig. 4 A typical spatial metamorphic mechanism

初始構(gòu)態(tài)為開(kāi)式鏈展開(kāi)構(gòu)態(tài)，不存在機(jī)構(gòu)約束方程。但其附加約束方程為

(29)

式中：T是慣性系內(nèi)矢徑坐標(biāo)。

當(dāng)附加約束方程式(29)成立時(shí)，機(jī)構(gòu)瞬時(shí)變換為構(gòu)態(tài)2—含三支鏈的空間機(jī)構(gòu)。其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程與初始構(gòu)態(tài)相同。其約束及附加約束方程為

(30)

同理，構(gòu)態(tài)3—帶二支鏈的空間機(jī)構(gòu)、構(gòu)態(tài)4—單自由度六面體機(jī)構(gòu)及構(gòu)態(tài)5—閉合空間機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程也可用初始構(gòu)態(tài)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程表示，但約束方程及附加約束方程表達(dá)式為

(31)

(32)

(33)

考慮誤差參數(shù)及間隙矢量的影響，基于式(27)建立該機(jī)構(gòu)的全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差模型為

(34)

3.2 理論計(jì)算與仿真分析

將式(28)和(34)所建模型在MATLAB中數(shù)值計(jì)算，并在ADAMS中建立圖4所示空間變胞機(jī)構(gòu)的理想模型及實(shí)際模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真。設(shè)定變胞機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)及誤差參數(shù)為：l=10 mm、α=90°、s=8 mm、h=7.55 mm；△l=0.05 mm、△α=0.01°、△s=0.05 mm、△h=0.05 mm。

圖4所示空間變胞機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副間隙矢量是由折痕偏差造成的，在全構(gòu)態(tài)運(yùn)行中不發(fā)生變化，將其折算為：△uj=△vj=0.02 mm,△wj=0.01 mm；△αj=△βj=△γj=0.01°。

設(shè)置運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5 s，理論計(jì)算及仿真結(jié)果如圖5～8所示。圖5為角點(diǎn)p9在慣性系中全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)位移曲線。圖6(a)、圖7表示角點(diǎn)p9在慣性系下z向的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算結(jié)果及ADAMS仿真結(jié)果曲線，圖6(b)、圖8表示運(yùn)動(dòng)誤差模型的計(jì)算及仿真曲線。圖中曲線對(duì)比表明，各相同參數(shù)隨時(shí)間變化趨勢(shì)一致，最大相對(duì)誤差如表1所示。

由獲得的結(jié)果可知，各個(gè)運(yùn)動(dòng)參數(shù)和運(yùn)動(dòng)誤差參數(shù)的理論-仿真最大相對(duì)誤差在0.005內(nèi)，驗(yàn)證了全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)及誤差模型的有效性，展示了其消除數(shù)學(xué)奇異的能力。同時(shí)，以上結(jié)果也表明了所建模型不僅可以展示出角點(diǎn)p9的全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)特性，也描述了其在相鄰構(gòu)態(tài)的運(yùn)動(dòng)特性變化。

圖5 角點(diǎn)p9的位移曲線Fig. 5 The displacement curves of corner p9

(a) 角點(diǎn)的z向位移

(b) 角點(diǎn)的z向位置誤差圖6 角點(diǎn)p9的z向位移運(yùn)動(dòng)曲線Fig. 6 The displacement curves of corner p9 in direction z

(a) 角點(diǎn)的z向線運(yùn)動(dòng)參數(shù)

(b) 角點(diǎn)的z向角運(yùn)動(dòng)參數(shù)圖7 角點(diǎn)p9的運(yùn)動(dòng)參數(shù)曲線Fig. 7 Kinematic parameters curves of corner p9

(a) 角點(diǎn)的z向線速度誤差

(b) 角點(diǎn)的z向線加速度誤差

(c) 角點(diǎn)的z向角速度誤差

(d) 角點(diǎn)的z向角加速度誤差圖8 角點(diǎn)p9的運(yùn)動(dòng)誤差參數(shù)曲線Fig. 8 Kinematic error parameters curves of corner p9

表1 3種模型的計(jì)算數(shù)據(jù)

4 結(jié)論

1)基于羅德里格-哈密頓參數(shù)建立了空間變胞機(jī)構(gòu)全構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)的四元數(shù)模型，包含任意構(gòu)態(tài)的運(yùn)動(dòng)模型和相鄰構(gòu)態(tài)廣義運(yùn)動(dòng)變量的遞推關(guān)系。與歐拉參數(shù)模型相比，其能保持方程線性且消除數(shù)學(xué)奇異。

2)建立了空間變胞機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)誤差的全構(gòu)態(tài)四元數(shù)模型，結(jié)合構(gòu)建的誤差四元數(shù)及誤差參數(shù)的遞推模型，定性地分析了結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)變量誤差和運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)理想構(gòu)態(tài)運(yùn)動(dòng)模型的影響。

3)以一種典型的空間變胞機(jī)構(gòu)為例，通過(guò)對(duì)其理論計(jì)算與仿真分析，驗(yàn)證了全構(gòu)態(tài)四元數(shù)模型消除數(shù)學(xué)奇異的能力，同時(shí)表明建立的模型能展示變胞機(jī)構(gòu)全構(gòu)態(tài)的運(yùn)動(dòng)特性，也可以描述相鄰構(gòu)態(tài)的運(yùn)動(dòng)特性變化。

[1]DAI Jiansheng, ZHANG Qixian. Metamorphic mechanisms and their configuration models[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2000, 13(3): 212-218.

[2]李端玲, 張忠海, 戴建生, 等. 變胞機(jī)構(gòu)的研究綜述與展望[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2010, 46(13): 14-21. LI Duanling, ZHANG Zhonghai, DAI Jiansheng, et al. Overview and prospects of metamorphic mechanism[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2010, 46(13): 14-21.

[3]LI Duanling, SUN Hanxu, JIA Qingxuan, et al. Kinematic analysis and simulation of metamorphic mechanisms[C]// Proceedings of the 11th World Congress in Mechanism and Machine Science. Beijing, China, 2004: 1289-1294.

[4]DAI Jiansheng, REES J J. Kinematics and mobility analysis of carton folds in packing manipulation based on the mechanism equivalent[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 2002, 216(10): 959-970.

[5]金國(guó)光. 變胞機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)研究[R]. 北京: 北京航天航空大學(xué), 2003:50-52. JIN Guoguang. Research on structure theory, kinematics and dynamics of metamorphic mechanisms[R]. Beijing: Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2003:50-52.

[6]吳艷榮, 金國(guó)光, 李東福. 變胞機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)分析及其運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真研究[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù), 2006, 25(9): 1092-1095. WU Yanrong, JIN Guoguang, LI Dongfu. Research on configuration analysis and kinematic simulation of metamorphic mechanisms[J]. Mechanical Science and Technology, 2006, 25(9): 1092-1095.

[7]楊毅, 丁希侖, 呂勝男, 等. 基于有限元的平面變胞機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)研究[J]. 航空學(xué)報(bào), 2010, 31(12): 2425-2434. YANG Yi, DING Xilun, LYU Shengnan, et al. Kinematic study of planar metamorphic mechanism based on finite elements[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2010, 31(12): 2425-2434.

[8]侯少毅, 秦偉, 郭興輝. 基于影響系數(shù)法的變胞機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析[J]. 機(jī)床與液壓, 2008, 36(4): 296-298, 374. HOU Shaoyi, QIN Wei, GUO Xinghui. Kinematic analysis of metamorphic mechanisms based on influence coefficient method[J]. Machine Tool and Hydraulics, 2008, 36(4): 296-298, 374.

[9]胡勝海, 張校東, 李林, 等. 復(fù)雜曲面切割機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)及誤差分析的旋量方法[J]. 北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 39(3): 346-352. HU Shenghai, ZHANG Xiaodong, LI Lin, et al. Kinematics and errors analysis of cutting machine for complex-surface using screw theory[J]. Journal of Beijing University of Technology, 2013, 39(3): 346-352.

[10]肖尚彬. 四元數(shù)方法及其應(yīng)用[J]. 力學(xué)進(jìn)展, 1993, 23(2): 249-260. XIAO Shangbin. The method of quaternion and its application[J]. Advances in Mechanics, 1993, 23(2): 249-260.

[11] 甘東明. 空間機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及新型并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)[D]. 北京: 北京郵電大學(xué), 2009:18-24. GAN Dongming. Kinematics of spatial mechanisms and innovative design of metamorphic parallel mechanisms [D]. Beijing: Beijing University of Posts and Telecommunications, 2009:18-24.

[12]戴建生, 丁希侖, 鄒慧君. 變胞原理和變胞機(jī)構(gòu)類型[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2005, 41(6): 7-12. DAI Jiansheng, DING Xilun, ZOU Huijun. Fundamentals and categorization of metamorphic mechanisms[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2005, 41(6): 7-12.

[13]DAI Jiansheng, REES J J. Matrix representation of topological changes in metamorphic mechanisms[J]. Transactions of ASME, Journal of Mechanical Design, 2005, 127(4): 837-840.

[14] ZHANG Wuxiang, DING Xilun, DAI Jiansheng. Design and stability of operating mechanism for a spacecraft hatch[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2009, 22(4): 453-458.

[15]丁希侖, 周樂(lè)來(lái), 周軍. 機(jī)器人的空間位姿誤差分析方法[J]. 北京航天航空大學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 35(2): 241-245. DING Xilun, ZHOU Lelai, ZHOU Jun. Pose error analysis of robot in three dimension[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2009, 35(2): 241-245.

[16]徐衛(wèi)良. 機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差建模的攝動(dòng)法[J]. 機(jī)器人, 1989, 3(6): 39-44. XU Weiliang. A perturbation approach to error modeling of robot likage[J]. Robots, 1989, 3(6): 39-44.

Kinematics and error modeling based on configuration-complete quaternion for spatial metamorphic mechanisms

ZHANG Manhui1，HU Fengyuan2，HU Shenghai1，ZHANG Baoping1，XIE Tingting1

(1. College of Mechanical and Electrical Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China; 2. Shanghai institute of ship equipments, Shanghai 200031, China)

The variable topology characteristics of spatial metamorphic mechanisms make the establishment of a configuration-complete model a thorny problem for studying the kinematics and kinematic error of spatial metamorphic mechanisms. Current models with Euler parameters appear to bring in mathematical singularity with degeneration in non-singular situations. Therefore, configuration-complete models with Rodriguez-Hamilton parameters were proposed. The kinematic model of sample configurations was constructed using quaternion theory, and recurrence relations were derived for the generalized state variables of adjacent structures. The perturbations caused by structure errors, joint variable errors, and joint clearances, using the kinematic model in an ideal state were researched, then configuration-complete models were established with unified paradigms. Theoretical calculations and physical simulations were carried out for a typical example, comparing the results shows that the established configuration-complete models are effective. The models can be used not only to analyze the configuration-complete kinematic characteristics, but also to study the change of kinematic characteristics during configuration transformation of spatial metamorphic mechanisms. This provides a theoretical basis for engineering applications of metamorphic mechanisms.

spatial metamorphic mechanisms; quaternion; configuration-complete; kinematics; kinematic error; clearance

2014-06-23.

時(shí)間：2015-07-15.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175099).

張滿慧(1991-), 男, 博士研究生； 胡勝海(1954-), 男, 教授, 博士生導(dǎo)師.

張滿慧, E-mail: zhangmanhui@hrbeu.edu.cn.

10.3969/jheu.201406068

TH112

A

1006-7043(2015)09-1252-07

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.U.20150715.1726.002.html