袁愛紅,孟衛(wèi)鋒

(航天時(shí)代電子公司第16研究所,西安 710100)

一種新的十六位置慣性平臺(tái)自標(biāo)定方法*

袁愛紅,孟衛(wèi)鋒

(航天時(shí)代電子公司第16研究所,西安 710100)

針對(duì)目前慣性平臺(tái)標(biāo)定誤差系數(shù)較少的現(xiàn)狀,文中探索出一種新的十六位置自標(biāo)定方法。首先通過分析平臺(tái)結(jié)構(gòu)和相關(guān)安裝誤差,推導(dǎo)出包含54項(xiàng)誤差系數(shù)的誤差模型;在此的基礎(chǔ)上,首次分析了框架軸旋轉(zhuǎn)順序?qū)ο到y(tǒng)可觀測(cè)性的影響;結(jié)合平臺(tái)實(shí)際和誤差模型,給出了一種新的十六位置自標(biāo)定方案,并分析了該十六位置相比工程中常用的十六位置的優(yōu)越性。仿真結(jié)果顯示該方案可較高精度標(biāo)定出全部的誤差系數(shù)。文中提出的標(biāo)定方案具有易于工程應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)。

慣性平臺(tái);自標(biāo)定;誤差模型;最小二乘

0 引言

制導(dǎo)工具誤差和方法誤差是影響導(dǎo)彈命中精度的主要因素,前者占主要成分。而慣性儀表的精度在很大程度上決定了慣性平臺(tái)系統(tǒng)的使用精度,因此在使用時(shí)必須進(jìn)行補(bǔ)償,對(duì)于高精度慣性平臺(tái),對(duì)誤差進(jìn)行標(biāo)定并進(jìn)行補(bǔ)償就顯得更為重要[1]。目前,對(duì)慣性平臺(tái)系統(tǒng)誤差模型的研究,多數(shù)停留在對(duì)陀螺儀和加速度計(jì)誤差系數(shù)的模型上,而對(duì)加速度計(jì)和陀螺儀的安裝誤差考慮的較少。而這些安裝誤差如果得不到補(bǔ)償,將會(huì)對(duì)高精度慣性平臺(tái)系統(tǒng)的精度產(chǎn)生較大影響[2]。文獻(xiàn)[3]討論了一種可以標(biāo)定較多誤差系數(shù)的多位置自標(biāo)定方法,但未涉及加速度計(jì)和陀螺儀的安裝誤差,標(biāo)定精度不夠;文獻(xiàn)[2]、文獻(xiàn)[4-8]雖然給出了陀螺儀和加速度計(jì)安裝誤差的標(biāo)定方案,但未能標(biāo)定陀螺儀全部的二次項(xiàng)誤差系數(shù)和加速度計(jì)的二次、三次誤差系數(shù),也就是標(biāo)定的誤差系數(shù)不夠多,影響標(biāo)定精度。

同時(shí),位置的選擇是慣性平臺(tái)多位置自標(biāo)定的決定性因素,因?yàn)槲恢媒M合的選擇影響誤差系數(shù)標(biāo)定的個(gè)數(shù)和精度[9]。文獻(xiàn)[2-8]所給出的位置組合所能估計(jì)的誤差系數(shù)個(gè)數(shù)非常有限,其本質(zhì)原因就是這些文章中的位置組合不能使所有的誤差系數(shù)得到較充分的激勵(lì),因此,更好位置組合顯得尤為迫切。

文中首先從慣性平臺(tái)的結(jié)構(gòu)出發(fā),推導(dǎo)出完整的慣性平臺(tái)系統(tǒng)誤差模型;首次分析了框架軸翻轉(zhuǎn)順序的選擇對(duì)系統(tǒng)可觀測(cè)性的影響;在此基礎(chǔ)上給出十六位置自標(biāo)定方案;根據(jù)此方案進(jìn)行仿真驗(yàn)證,并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行必要的分析。

1 慣性平臺(tái)誤差模型

在推導(dǎo)慣性平臺(tái)誤差模型之前,先對(duì)慣性平臺(tái)結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡要的說明。文中研究的慣性平臺(tái)由3個(gè)單自由度液浮陀螺儀、3個(gè)撓性擺式加速度計(jì)組成,3個(gè)陀螺和3個(gè)加速度計(jì)的敏感軸正交安裝,分別沿X、Y、Z方向;陀螺儀、加速度計(jì)在平臺(tái)上的安裝示意圖如圖1所示。

圖1 平臺(tái)組成圖

設(shè)陀螺儀I軸繞其O、S軸的安裝誤差為ΔOI、ΔSI,加速度計(jì)I軸繞其P、O軸的安裝誤差為θPI、θOI,I=x,y,z。假定這六個(gè)安裝誤差均為小角度。陀螺儀和加速度計(jì)的安裝誤差分別如圖2和圖3所示。

圖2 陀螺儀安裝誤差

圖3 加速度計(jì)安裝誤差

結(jié)合圖1和圖2可得平臺(tái)坐標(biāo)系到陀螺儀坐標(biāo)系的變換矩陣為:

(1)

(2)

(3)

同理,平臺(tái)坐標(biāo)系到加速度計(jì)坐標(biāo)系的變換矩陣為:

(4)

(5)

(6)

在翻滾實(shí)驗(yàn)中,假定先繞臺(tái)體軸旋轉(zhuǎn)α,再繞外環(huán)軸旋轉(zhuǎn)γ,則地理坐標(biāo)系n到平臺(tái)坐標(biāo)系p的轉(zhuǎn)換矩陣為(假設(shè)地理坐標(biāo)系n為東北天坐標(biāo)系):

(7)

地球自轉(zhuǎn)角速度在地理坐標(biāo)系的投影為:

(8)

地球重力加速度在地理坐標(biāo)系的投影為:

(9)

其中:L0和g0分別表示當(dāng)?shù)鼐暥群椭亓铀俣鹊拇笮?ωie為地球自轉(zhuǎn)角速度的大小。文中L0取值為34°10′36″,g0取值為9.794 m/s2,ωie取值為7.292×10-5rad/s。

陀螺靜態(tài)誤差模型[10]:

(10)

在靜基座條件下,陀螺漂移誤差模型為[11]:

(11)

加速度計(jì)輸出誤差模型[10]:

(12)

將式(1)～式(3)以及式(7)～式(9)代入式(10)和式(11)得陀螺儀輸出誤差模型為:

(13)

(14)

(15)

同理,將式(4)～式(6)和式(9)代入式(12)得加速度計(jì)輸出誤差模型為:

(16)

(17)

(18)

上述誤差模型中一共有54個(gè)待估計(jì)參數(shù),其中,kg0i(i=x,y,z)是陀螺儀對(duì)比力不敏感的靜態(tài)漂移誤差系數(shù),kg1ij(i=1,2,3,j=x,y,z)是陀螺儀對(duì)比力一次方敏感的靜態(tài)漂移誤差系數(shù),kg2ij(i=1,2,3,4,j=x,y,z)是陀螺儀對(duì)比力二次方敏感的靜態(tài)漂移誤差系數(shù);ka0i(i=x,y,z)為加速度計(jì)零偏,ka11i(i=x,y,z)為加速度計(jì)標(biāo)度因數(shù)誤差系數(shù),ka2ij(i=1,2,3,j=x,y,z)為加速度計(jì)二階非線性誤差系數(shù),ka3i(i=x,y,z)為加速度計(jì)三階非線性誤差系數(shù)。由于待估計(jì)參數(shù)較多,需要更多的位置才有可能得到較高的估計(jì)精度,而同時(shí)希望標(biāo)定時(shí)間越短越好,綜合考慮這兩方面因素,選用十六位置自標(biāo)定方案。在下一節(jié)將探討慣性平臺(tái)十六位置自標(biāo)定方案。

2 十六位置自標(biāo)定方案設(shè)計(jì)

在上一節(jié)中詳細(xì)推導(dǎo)了慣性平臺(tái)系統(tǒng)誤差模型,為本節(jié)提出標(biāo)定方案打下基礎(chǔ)。在推導(dǎo)誤差方程過程中,發(fā)現(xiàn)框架軸翻滾順序?qū)φ`差模型有一定的影響,而這種影響還沒有學(xué)者進(jìn)行深入分析,因此,在本節(jié)將首先分析框架軸翻滾順序?qū)ψ詷?biāo)定的影響,然后給出十六位置自標(biāo)定方案。

2.1 翻滾順序選擇

在第一節(jié)中給出的陀螺儀和加速度計(jì)的誤差模型,是假設(shè)在多位置翻滾實(shí)驗(yàn)中先繞臺(tái)體軸翻轉(zhuǎn),再繞框架外環(huán)軸旋轉(zhuǎn)。其實(shí)框架軸翻轉(zhuǎn)順序也會(huì)對(duì)自標(biāo)定產(chǎn)生一定的影響,因?yàn)樾D(zhuǎn)不同,轉(zhuǎn)換矩陣就會(huì)有差異,推導(dǎo)的誤差模型也會(huì)隨之不同,因此分析框架軸的旋轉(zhuǎn)順序?qū)?biāo)定的影響也是很有必要的。假定先繞框架外環(huán)軸翻轉(zhuǎn),再繞臺(tái)體軸旋轉(zhuǎn),以x軸陀螺儀為例,由于篇幅限制,不加推導(dǎo)的給出其誤差模型為:

(19)

從式(19)可以看出,kg13x和ΔOx的系數(shù)成比例,使得這兩個(gè)參數(shù)必有一個(gè)不可觀或者說在估計(jì)時(shí)最多能估計(jì)出這二者的線性組合。同樣對(duì)于y、z陀螺儀,均有類似情況出現(xiàn),這就必然導(dǎo)致可估計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù)迅速減少;而從式(13)～式(18)可以看出在翻滾實(shí)驗(yàn)中先繞臺(tái)體軸旋轉(zhuǎn)再繞外環(huán)軸就可避免參數(shù)系數(shù)相同或者成比例的情況,也就是說這種翻滾順序可以提高系統(tǒng)的觀測(cè)性。

綜上分析,可以得出:在多位置翻滾試驗(yàn)中先繞臺(tái)體軸旋轉(zhuǎn)再繞外環(huán)軸旋轉(zhuǎn)可以提高系統(tǒng)的可觀測(cè)度。

2.2 十六位置方案

分析了旋轉(zhuǎn)順序是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,更重要的是位置選擇,經(jīng)驗(yàn)位置無法標(biāo)定這么多誤差系數(shù)。研究位置選擇實(shí)際上是研究系統(tǒng)的可觀測(cè)性和可觀測(cè)度。而文中參數(shù)估計(jì)問題實(shí)際上是一個(gè)最小二乘估計(jì)問題,其數(shù)學(xué)模型為[12]:

(20)

其中M為系統(tǒng)的信息矩陣,其定義式為[12]:

M=HTH

(21)

由最小二乘估計(jì)的形式可以看出,當(dāng)M滿秩,也就是可逆時(shí),此時(shí)狀態(tài)變量X的所有分量才能得到估計(jì),也就是系統(tǒng)完全可觀測(cè);同時(shí)根據(jù)最小二乘估計(jì)理論知道,對(duì)于最小二乘問題(如式(20)),當(dāng)信息矩陣M某一特征值較小時(shí),信息矩陣的條件數(shù)很大,此時(shí)最小二乘估計(jì)精度很差。矩陣的條件數(shù)定義為[13]:

(22)

上式中λ1、λn分別表示量測(cè)矩陣H的最大和最小奇異值。也就是說式(22)的值越小,系統(tǒng)的可觀測(cè)性越好,標(biāo)定精度越高,標(biāo)定時(shí)間越短,這就為位置選擇提供了理論基礎(chǔ),也為實(shí)驗(yàn)方案優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。

以x軸陀螺儀為例,若采用十六位置,H的具體形式為:

(23)

將式(23)代入式(21)得M的具體形式為:

(24)

其中:

(25)

綜合分析誤差模型和實(shí)際中某些條件的限制,設(shè)計(jì)了一種十六位置組合如表1。

表1 16位置方案

為顯示文中選取的十六位置優(yōu)越性,下面將和工程中其他常用的十六位置進(jìn)行比較,見表2。

表2 不同位置組合對(duì)估計(jì)的影響

標(biāo)定位置的選取對(duì)于誤差系數(shù)的觀測(cè)性影響很大,只有信息矩陣M為滿秩矩陣時(shí),所有系數(shù)才可觀測(cè);在M為滿秩矩陣時(shí),H的條件數(shù)越小,誤差系數(shù)的估計(jì)精度越高。從上表可以看出,在上述6組位置中,第三、五、六組的信息矩陣M為滿秩方陣,但第六組的觀測(cè)矩陣H的條件數(shù)最小,因此,第六組位置的估計(jì)精度最高。實(shí)際上,由最小二乘估計(jì)理論可知:當(dāng)條件數(shù)的數(shù)量級(jí)大于105時(shí),即使可以得到估計(jì),但估計(jì)誤差已非常大,甚至大到無法接受的程度,同時(shí)標(biāo)定時(shí)間也會(huì)更長,這是慣性平臺(tái)自標(biāo)定所不愿看到的。在三、五、六組中,僅第六組條件數(shù)在105數(shù)量級(jí)以內(nèi),因此僅第六組位置組合得到的參數(shù)估計(jì)才是可靠的。第一、二、四的信息矩陣M為奇異矩陣,因此有不可觀測(cè)狀態(tài),也就是說這幾組位置組合無法估計(jì)出所有的參數(shù),同時(shí)由于待估參數(shù)有不可觀測(cè)狀態(tài),因此會(huì)導(dǎo)致可估計(jì)的狀態(tài)估計(jì)精度也很低。

從表2中的數(shù)據(jù)以及仿真得出最優(yōu)位置的過程中可以得出如下選擇位置的原則:1)外框架軸和臺(tái)體軸應(yīng)該避免選擇π/2整數(shù)倍的位置,因?yàn)樵谶@些位置,正弦和余弦以及正余弦的積為零,而觀測(cè)矩陣H是由正余弦組成的,所以會(huì)導(dǎo)致觀測(cè)矩陣H的很多元素為零,進(jìn)而信息矩陣M為稀疏矩陣,當(dāng)要估計(jì)的誤差系數(shù)很多時(shí),信息矩陣M的維數(shù)就很高,奇異的概率就更大,主要嚴(yán)重影響二階誤差系數(shù)kg2ij(i=1,2,3,4,j=x,y,z)、ka2ij(i=1,2,3,j=x,y,z)的可觀測(cè)性,這也解釋了為什么工程常用的十六位置估計(jì)的誤差系數(shù)少于35個(gè);2)應(yīng)避免外框架軸和臺(tái)體軸選擇相同的角度,因?yàn)橄嗤慕嵌葧?huì)使sinαcosγ=cosαsinγ,而這種交叉積在H的同一行中多有出現(xiàn),這樣導(dǎo)致H的列線性相關(guān),進(jìn)而導(dǎo)致M奇異(因?yàn)镸=HTH,M的秩等于H的列秩),因此就會(huì)導(dǎo)致部分二階誤差系數(shù)kg2ij(i=2,3,4,j=x,y,z)、ka2ij(i=2,3,j=x,y,z)不可觀測(cè)。

3 仿真算例

選用第二節(jié)給出的自標(biāo)定方案,本節(jié)將根據(jù)第一節(jié)給出的誤差模型和第二節(jié)給出的標(biāo)定方案(位置組合見表2)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。由于篇幅限制,僅以x軸陀螺儀和x軸加速度計(jì)為例進(jìn)行仿真驗(yàn)證,其他軸與此類似。

在表1所列位置組合下,各陀螺儀及加速度計(jì)的各項(xiàng)誤差系數(shù)將相繼受到重力加速度和地球自轉(zhuǎn)角速度的激勵(lì)。定義相對(duì)誤差[14]:

為驗(yàn)證所給定的標(biāo)定方案優(yōu)于工程中常見的十六位置標(biāo)定方案,選擇表2中的第三、五、六組位置組合進(jìn)行比較(其中,第六組位置組合是文中所給出的位置組合),以慣性平臺(tái)x軸為例,x軸18項(xiàng)誤差系數(shù)的標(biāo)定結(jié)果見表3。

表3 x軸誤差系數(shù)標(biāo)定結(jié)果

從上表可以看出,文中給出的方案標(biāo)定精度從整體上看遠(yuǎn)優(yōu)于工程中常用的位置組合,這和2.2節(jié)分析的結(jié)果完全吻合,其原因就是第三、五組的位置組合下的量測(cè)矩陣的條件數(shù)數(shù)量級(jí)遠(yuǎn)超過105,這就導(dǎo)致估計(jì)精度很差甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤。文中給出的位置組合(第六組),在保證所有系數(shù)能夠被估計(jì)出的前提下,還能保證估計(jì)精度很高:陀螺儀誤差系數(shù)估計(jì)相對(duì)誤差最大為0.7%,估計(jì)精度高,而安裝誤差估計(jì)相對(duì)誤差最大達(dá)到12.4%,估計(jì)精度相對(duì)較差;加速度計(jì)誤差系數(shù)估計(jì)相對(duì)誤差最大為0.43%,估計(jì)精度較高。陀螺儀安裝誤差估計(jì)精度相對(duì)較低的主要原因在于其激勵(lì)是地球自轉(zhuǎn)角速度,而地球自轉(zhuǎn)角速度相對(duì)于重力加速度而言非常小,這使得陀螺儀安裝誤差的可觀測(cè)性較差,導(dǎo)致其估計(jì)效果不佳。

4 結(jié)論

文中首先從慣性平臺(tái)結(jié)構(gòu)出發(fā)并分析了陀螺儀和加速度計(jì)的安裝誤差,詳細(xì)推導(dǎo)出慣性平臺(tái)完整的誤差模型。在此基礎(chǔ)上給出了慣性平臺(tái)十六位置自標(biāo)定方案,分析過程及仿真結(jié)果中得到以下結(jié)論:

1)翻滾實(shí)驗(yàn)中,先旋轉(zhuǎn)臺(tái)體軸,再旋轉(zhuǎn)外框架軸可以在一定程度上提高系統(tǒng)的可觀測(cè)性;

2)應(yīng)避開90°整倍數(shù)角度位置;

3)盡量避開α=γ的位置。得出標(biāo)定方案后,對(duì)比工程中常用的十六位置組合,比較結(jié)果顯示文中所選用的位置組合不僅可以估計(jì)出全部的誤差系數(shù)和安裝誤差(共54項(xiàng)),而且精度最高。仿真結(jié)果顯示文中提出的標(biāo)定方案合理,易于工程應(yīng)用。

[1] 鐘萬登. 液浮慣性器件 [M]. 北京: 中國宇航出版社, 1994.

[2] 包為民, 申功勛, 李華濱. 慣性平臺(tái)在系統(tǒng)中多位置翻滾自標(biāo)定方法 [J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 37(4): 462-465.

[3] 劉西河, 宋有山. 任意初始位置平臺(tái)誤差模型自標(biāo)定 [J]. 中國慣性技術(shù)學(xué)報(bào), 1994, 2(1): 30-34.

[4] 楊華波, 蔡洪, 張士峰. 高精度慣性平臺(tái)誤差自標(biāo)定方法 [J]. 上海航天, 2006(2): 33-36.

[5] 楊華波, 蔡洪, 張士峰, 等. 高精度慣性平臺(tái)連續(xù)自標(biāo)定自對(duì)準(zhǔn)技術(shù) [J]. 宇航學(xué)報(bào), 2006, 27(4): 600-604.

[6] Yuan Cao, Hong Cai, Shifeng Zhang, et al. A new continuous self-calibration scheme for a gimbaled inertial measurement unit [J]. Measurement Science and Technology, 2012, 23(1): 15103-15114.

[7] Zhang H L, Wu Y X, Wu W Q, et al. Improved multi-position calibration for inertial measurement units[J]. Measurement Science and Technology, 2010, 21(1): 1-11.

[8] 曹淵, 張士峰, 楊華波, 等. 慣導(dǎo)平臺(tái)誤差快速自標(biāo)定方法研究 [J]. 宇航學(xué)報(bào), 2011, 32(6): 1281-1287.

[9] 馬靖. 高精度慣導(dǎo)平臺(tái)自標(biāo)定自對(duì)準(zhǔn)技術(shù)研究 [D]. 長沙: 國防科技大學(xué), 2005.

[10] 秦永元. 慣性導(dǎo)航 [M]. 2版. 北京: 科學(xué)出版社, 2014: 9-76.

[11] DENG Zheng-Iong, XU Song-yan, FU Zhen-xian. Identification of coefficients in platform drift error model [J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2002, 9(3): 225-228.

[12] Dan Simon. Optimal state estimation-Kalman, H∞and nonlinear approaches [M]. John Wiley & Sons, 2006: 79-102.

[13] 徐仲, 張凱院, 陸全, 等. 矩陣輪簡明教程 [M]. 2版. 北京: 科學(xué)出版社, 2005: 52-54.

[14] 歐陽潔, 聶玉鋒, 車剛明, 等. 數(shù)值分析 [M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2009: 2-8.

[15] 楊立溪. 慣性平臺(tái)誤差快速自標(biāo)定技術(shù) [J]. 中國慣性技術(shù)學(xué)報(bào), 2000, 8(4): 1-4.

A New 16-Position Self-calibration Method for the Inertial Platform

YUAN Aihong,MENG Weifeng

(No.16 Research Institute of China Aerospace Times Electronics Corporation, Xi’an 710100, China)

A new 16-position self-calibration method for inertial platform was proposed in view of lack of method which could estimate a lot of error coefficients. Firstly, through analysis of platform structure and installation error, the error model contains 54 error coefficients was derived. Then, impact of frame shaft rotation sequence for observability of system was analyzed. Combined with actual situation of the platform and the error model, a new 16-position scheme for self-calibration was presented. The simulation results show that the calibrating method proposed in this paper can estimate all error coefficients with high accuracy.

inertial platform; self-calibration; error model; least-square

2014-07-28

總裝預(yù)研基金;第二炮兵武器裝備預(yù)研項(xiàng)目資助

袁愛紅(1988-),男,湖北十堰人,碩士研究生,研究方向:導(dǎo)航與控制。

V441

A