羅小鎖 ，陳學(xué)昌 ，曹保山

1.重慶電子工程職業(yè)學(xué)院，重慶 401331

2.重慶大學(xué) 自動化學(xué)院，重慶 400044

1 引言

傳統(tǒng)的工業(yè)控制模型都是采用輸入輸出模型，包括參數(shù)模型和非參數(shù)模型。但是為了進(jìn)一步提高控制性能和控制精度，學(xué)術(shù)界和工業(yè)界普遍認(rèn)為應(yīng)該采用狀態(tài)空間模型，這樣近些年所發(fā)展起來的現(xiàn)代濾波理論和控制器設(shè)計方法就可以發(fā)揮作用[1]。子空間辨識方法是一類狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)辨識方法，該方法徹底將控制工作者從繁瑣的機(jī)理建模中解脫出來，只要具有足夠多的過程輸入輸出數(shù)據(jù)就可以通過辨識方法得到過程的狀態(tài)空間模型[2-3]。子空間辨識方法綜合了系統(tǒng)理論、線性代數(shù)和統(tǒng)計學(xué)三方面的思想，相比于傳統(tǒng)的辨識方法，諸如預(yù)報誤差法和輔助變量法，它有如下優(yōu)點：（1）不需要參數(shù)化；（2）不需要迭代優(yōu)化；（3）算法實現(xiàn)僅依賴于一些簡單可靠的線性代數(shù)工具，如QR分解、SVD分解等；（4）直接估計狀態(tài)空間模型，適用于多變量系統(tǒng)辨識[4]。

工業(yè)生產(chǎn)過程中普遍存在著噪聲情況，且基本上都是有色噪聲[5]。傳統(tǒng)的子空間辨識方法解決的是白噪聲問題，導(dǎo)致辨識模型誤差較大，控制效果不佳[6]。文獻(xiàn)[7]提出一種利用加權(quán)頻域子空間辨識方法來解決噪聲問題，但僅考慮了白噪聲問題。文獻(xiàn)[8]提出一種閉環(huán)有色噪聲系統(tǒng)的子空間辨識方法，但有色噪聲僅局限于零均值、穩(wěn)態(tài)、高斯有色噪聲，本文所選有色噪聲更為廣義。文獻(xiàn)[9]提出一種基于輔助變量的子空間辨識方法來處理有色噪聲，將系統(tǒng)分解為確定性部分和隨機(jī)性部分，推導(dǎo)過程比較復(fù)雜，而且由于眾多參數(shù)的影響會導(dǎo)致辨識精度下降。

基于此，本文在文獻(xiàn)[10]基礎(chǔ)上提出一種有色噪聲條件下的子空間辨識改進(jìn)方法，通過變換系統(tǒng)模型形式將有色噪聲轉(zhuǎn)變成白噪聲，克服了有色噪聲對系統(tǒng)的影響。將此方法應(yīng)用于CSTR的過程辨識，獲得了良好的辨識效果。

2 狀態(tài)空間模型描述

系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型方程有多種形式，其中在工業(yè)過程中最常用的為隨機(jī)性形式：

其中u(k)∈m為系統(tǒng)的輸入測量值，y(k)∈l為系統(tǒng)的輸出測量值，x(k)∈n為系統(tǒng)的過程狀態(tài)。w(k)∈n為系統(tǒng)的過程噪聲，v(k)∈l為輸出的測量噪聲，兩者均為零均值白噪聲；(A，B，C，D)為相對應(yīng)維數(shù)的系統(tǒng)矩陣。

3 改進(jìn)前的子空間辨識方法

假設(shè)k為當(dāng)前時刻，f為未來時刻長度，對（1）通過適當(dāng)變換可得：

其中棧向量 yf、uf、wf、vf，廣義可觀測矩陣 Γf和Toeplitz矩陣 Hf、Gf為：

同樣定義過去時刻長度p的棧向量狀態(tài)空間方程：

其中棧向量 yp、up、wp、vp，廣義可觀測矩陣 Γp和Toeplitz矩陣Hp、Gp定義與前面相似。

將式（2）和（3）寫成Hankel矩陣形式：

為了能夠得到系統(tǒng)矩陣，子空間辨識方法一般由兩步組成：（1）確定廣義可觀測矩陣Γf或者估計出系統(tǒng)的狀態(tài)序列；（2）計算系統(tǒng)矩陣。

需要注意的是，從式（2）可知系統(tǒng)模型階次將和f成正比，f選擇過大，會導(dǎo)致高階系統(tǒng)，而高階系統(tǒng)會導(dǎo)致計算的復(fù)雜度增加，為此采用奇異值分解法來求解系統(tǒng)的最優(yōu)模型階次，根據(jù)系統(tǒng)奇異值信息的范圍來確定模型階次，具體方法可參考文獻(xiàn)[11-12]。

3.1 確定 Γf或者

考慮矩陣等式（4），采用正交投影方法，利用線性代數(shù)工具QR分解、SVD分解等，獲取等式的ΓfXf部分。

將Yf行子空間投影到Uf行子空間的正交補(bǔ)子空間：

根據(jù)噪聲與輸入不相關(guān)且由投影定理可得到：

在投影左右兩邊分別加入加權(quán)矩陣W1和W2并引入中間矩陣οf，通過合適變換可得：

對上式進(jìn)行SVD分解得：

對于合適的加權(quán)矩陣W1，廣義可觀測矩陣滿足：

對于合適的加權(quán)矩陣W2，矩陣滿足：

可以作為狀態(tài)序列Xf的估計值，而且對于特定的加權(quán)矩陣W2，矩陣為 Xf的Kalman估計。

3.2 計算系統(tǒng)矩陣

根據(jù)式（1），可得到如下關(guān)系式：

其中 ρw和 ρv為殘差矩陣，使用最小二乘法，得到：

其中‖‖·F指矩陣的Frobenius范數(shù)。這樣系統(tǒng)的狀態(tài)空間矩陣(A，B，C，D)就被估計出來。

4 有色噪聲的處理方法

在實際的工業(yè)過程中，噪聲往往是有色噪聲，所謂有色噪聲是指噪聲序列中每一時刻的噪聲和另一時刻的噪聲相關(guān)。給定一個高斯白噪聲信號e(k)，則有色噪聲ξ(k)可表示為：

給定如下的帶有色噪聲系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：

其中wns(k)和vns(k)為有色噪聲序列。

將式（15）中狀態(tài)空間模型變換得到：

由式（14）可知：

所以可將式（16）寫成：

其中w(k)和v(k)均為零均值白噪聲序列。定義新的狀態(tài)空間方程狀態(tài)變量xˉ、輸入變量uˉ、輸出變量yˉ：

變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：

這樣就達(dá)到了通過變換系統(tǒng)模型形式來處理有色噪聲的目的，主要是讓系統(tǒng)噪聲變?yōu)橐粋€零均值白噪聲，雖然不能徹底消除噪聲，卻大大降低了噪聲對系統(tǒng)的影響。然后，在辨識時直接利用變換系統(tǒng)模型后的數(shù)據(jù)得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。

5 系統(tǒng)仿真

CSTR即連續(xù)攪拌反應(yīng)釜，是過程控制中經(jīng)常用到的系統(tǒng)模型，其原理為：兩種不同的化學(xué)物質(zhì)在反應(yīng)釜中攪拌形成一種濃度為Ca的化合物A，其反應(yīng)釜溫度為T[13-14]。因為釜內(nèi)是放熱反應(yīng)，反應(yīng)速度會受到影響，因此必須通過引入流量為Qc的冷卻劑，用來冷卻釜內(nèi)溫度，保證產(chǎn)品的濃度得以控制。CSTR系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 CSTR系統(tǒng)圖

CSTR為一個單輸入兩輸出系統(tǒng)，輸入為冷卻劑流量Qc，輸出為產(chǎn)品的濃度Ca和混合溫度T。系統(tǒng)用非線性微分方程組可表示為：

其中q為進(jìn)料流量，Caf為進(jìn)料濃度，Tf和Tcf分別為進(jìn)料溫度和冷卻劑溫度，k0、E R、V、k0、ρ、ρc、Cp、Cpc和hA為化學(xué)反應(yīng)系數(shù)，具體參數(shù)見表1。

表1 CSTR參數(shù)表

為了驗證算法，直接采用CSTR工業(yè)對象辨識得到的數(shù)據(jù)[15]，取前1 000個數(shù)據(jù)用于模型辨識及驗證。其中輸入Qc的數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2 辨識數(shù)據(jù)圖

通過子空間辨識獲得系統(tǒng)模型，改進(jìn)前的系統(tǒng)與模型輸出如圖3所示，其中p和f均為10，采樣時間為10－1min，采樣數(shù)N為1 000。從圖2和圖3可以看出，CSTR辨識數(shù)據(jù)中包含著較強(qiáng)的有色噪聲序列。

圖3 改進(jìn)前CSTR系統(tǒng)數(shù)據(jù)（實）和預(yù)測輸出（虛）匹配驗證

為了克服有色噪聲數(shù)據(jù)對系統(tǒng)辨識的影響，引入第4章節(jié)中處理有色噪聲的方法，通過變換系統(tǒng)模型形式將有色噪聲轉(zhuǎn)變?yōu)榘自肼暎?0.2，使用 和 的數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識，改進(jìn)后的系統(tǒng)與模型輸出如圖4所示。

圖4 改進(jìn)后CSTR系統(tǒng)數(shù)據(jù)（實）和預(yù)測輸出（虛）匹配驗證

為了進(jìn)一步驗證改進(jìn)前和改進(jìn)后子空間辨識方法的辨識精度，引入預(yù)測誤差ε：

其中N為采樣數(shù)，j代表第j個系統(tǒng)輸出，yij和分別表示系統(tǒng)和模型的第j個系統(tǒng)輸出在第i時刻的值。改進(jìn)前、改進(jìn)后及利用文獻(xiàn)[9]方法得到的預(yù)測誤差見表2。

表2 改進(jìn)前、改進(jìn)后及文獻(xiàn)[9]方法的預(yù)測誤差比較

從表2中可以看出，相比改進(jìn)前和文[9]方法得到的預(yù)測誤差，改進(jìn)后的模型匹配誤差較小，辨識模型對系統(tǒng)輸出有著良好的預(yù)測能力。

6 結(jié)論

以CSTR系統(tǒng)為研究對象，以變換系統(tǒng)模型形式為基礎(chǔ)，提出了一種有色噪聲條件下的子空間辨識改進(jìn)方法。該方法有效地克服了有色噪聲對系統(tǒng)的影響，減小了預(yù)測誤差。仿真結(jié)果表明，本文方法顯著提高了CSTR的辨識精度。

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