摘 "要： 模糊C均值聚類（FCM）算法是一種基于非監(jiān)督聚類算法。樣本加權模糊C均值聚類（WFCM）算法是FCM算法的改進，該算法能夠明顯提高收斂速度和聚類的準確性。無論是FCM算法還是WFCM算法，對噪聲都相對敏感，而且聚類數(shù)目仍然需要人工確定。在此提出一種改進算法，首先通過偏微分方程（PDE）降噪算法對原始腦MRI醫(yī)學圖像進行處理;其次利用聚類有效性確定最佳聚類數(shù)目，對WFCM算法進行改進;最后利用本文改進算法對圖像進行聚類分割。實驗表明，該方法是一種具有自動分類能力、抗噪性較好的模糊聚類圖像分割算法。

關鍵詞： 圖像分割; PDE降噪; 聚類有效性; 樣本加權; 模糊聚類

中圖分類號： TN964?34 " " " " " " " " " 文獻標識碼： A " " " " " " " " " " " " " "文章編號： 1004?373X（2015）06?0090?04

Application of an improved WFCM?based algorithm in MRI image segmentation

HAN Hong?wei， MIAO Jia?qing

（Engineering amp; Technical College， Chengdu University of Technology， Leshan 614000， China）

Abstract： Fuzzy C?means clustering （FCM） algorithm is an unsupervised clustering algorithm. The sample weighted fuzzy C?means clustering （WFCM） algorithm is an improved FCM algorithm， which can significantly improve the speed of convergence and accuracy of clustering. Both FCM algorithm and WFCM algorithm are relatively sensitive to noise， but still need to determine the number of the clusters manually. In this paper， an improved algorithm is proposed， in which the noise reduction algorithm of partial differential equations （PDE） is used to process the original brain MRI image， and the cluster validity is adopted to determine the optimal number of clusters to improve WFCM algorithm and execute the image segmentation. Experiment results show that the improved algorithm has a capability of automatic classification and better noise immunity.

Keywords： image segmentation; PDE noise reduction; validity of clustering; sample weighting; fuzzy clustering

0 "引 "言

圖像分割是圖形處理的基本問題之一，是目標的特征提取、識別與跟蹤的基礎。由于腦MRI醫(yī)學圖像邊界數(shù)據(jù)的模糊和整體圖像數(shù)據(jù)的噪聲干擾，使得醫(yī)學圖像分割問題比較困難[1]。由于腦MRI醫(yī)學圖像在一定程度上存在著不確定性，而模糊理論則正好對圖像的這種不確定性有著較好的描述能力，因此模糊聚類被應用于圖像分割問題中，并取得了較好的效果。而模糊C均值（FCM）聚類算法[2]是目前流行的圖像分割方法之一。該算法適用于存在模糊性和不確定性圖像的分割。

但是模糊C均值聚類這種算法也存在著一些明顯的不足。比如沒有充分利用圖像的空間信息、聚類數(shù)目無法自動確定、計算量大等問題[3]。文獻[4]提出了樣本加權的模糊C均值聚類（WFCM）算法，作者認為樣本在聚類過程中所起的作用不一樣，對聚類結果產(chǎn)生的影響就不同，因此給每個樣本賦予一定的權值對FCM目標函數(shù)進行修改，同時修改迭代公式。該算法提高了收斂速度和聚類的準確性，但是仍然無法克服人工確定聚類數(shù)的缺點，而且抗噪表現(xiàn)不理想。本文在該算法的基礎上首先進行了偏微分方程圖像降噪處理， 其次利用聚類的有效性進行最佳聚類數(shù)目確定， 最后進行樣本加權改進。這樣能夠得到一種能自動給出最佳分類、抗噪性更好的改進算法。本文使用的腦MRI醫(yī)學圖像由西門子0.35T永磁核磁共振儀直接拍攝提供。

1 "偏微分方程降噪方法

1.1 "基于各向異性擴散PDE降噪模型

基于PDE的圖像處理方法在醫(yī)學圖像降噪領域得到了廣泛的應用，因為它在平滑噪聲的同時，可以使得醫(yī)學圖像的細節(jié)，如血管信息， 病灶區(qū)域邊緣和醫(yī)學紋理信息等得到保護[5]。利用偏微分方程進行圖像降噪的方法比較多，其中Catte降噪模型最具有代表性。Catte降噪模型是P?M降噪模型的改進. 下面介紹P?M圖像降噪方法。Perona和Malik于1990年首先提出了各向異性擴散PDE模型， 即P?M模型[6]， 如式（1）所示：

[?u（x，y，t）?t=div（g（?u）?u）u（x，y，0）=u0（x，y）] "（1）

式中：[g（?u）]被稱為各項異性擴散函數(shù)， Perona和Malik給出[g（?u）]函數(shù)的經(jīng)典選擇， 如式（2）所示：

[g（?u）=exp?uK2] （2）

或選擇：

[g（?u）=11+（?uK）2] （3）

式中：參數(shù)[K]是邊緣閾值，故而對于函數(shù)[g（?u）]中[K]的取值十分重要， 假若[K]取值過大， 腦MRI醫(yī)學圖像平滑過渡會直接導致醫(yī)學圖像的邊緣模糊，醫(yī)學信息細節(jié)丟失; 假若[K]取值太小， 腦MRI圖像較早的停止了平滑擴散進而導致圖像降噪效果不理想[7]。

現(xiàn)在來了解各向異性擴散的PM方程中的常量[K]對擴散的影響， 如式（4）所示可知：

[Φ（?u）=g（?u）?u] （4）

首先對于梯度[?u]增大， 則[Φ（?u）]在零點附近的值趨于零， 當[?u≈K]時函數(shù)[Φ（?u）]取得最大值， 然后函數(shù)[Φ（?u）]的值又下降到零， 故而函數(shù)[Φ（?u）]的擴散特征可進而表示為： 當[?ugt;K]時， 各向異性擴散退化為各項同性擴散; 當[?ult;K]時， 函數(shù)[Φ（?u）]的值趨于零， 各向異性擴散是很微弱的， 這樣就便于腦MRI醫(yī)學圖像的邊緣，血管等醫(yī)學細節(jié)信息的保留。

PM方程的各向異性擴散的主要原理是： 沿著腦MRI圖像的法向進行相應的濾波增強腦MRI圖像的邊緣的敏感性， 而沿著腦MRI醫(yī)學圖像的切向進行濾波則降低噪聲。P?M方程可重寫成如下形式：

[?u?t=11+λ2?u2uξξ+1-λ2?u2（1+λ2?u2）2uηη] （5）

式中：[λgt;0（λ=1k）]是參數(shù);[η=?u?u]; [ξ=?u⊥?u⊥][（?u⊥=（-uy，ux））]; [ξ]，[η]分別是腦MRI圖像的切向和法向兩個方向。同理，式（5）可重寫成如式（6）的形式：

[?u?t=?u=uξξ+uηη] （6）

對比式（5）和式（6）可見， 上述的降噪方法雖然可以實現(xiàn)腦MRI圖像的醫(yī)學細節(jié)信息的保留和圖像降噪兩個方面。由于該偏微分方程的所求得的解并不是惟一的， 就是說該偏微分方程是一個病態(tài)的PDE問題[8]。

各向異性擴散的P?M模型在一定程度上改進了各項同性擴散所存在的缺陷，但是P?M模型是一個病態(tài)問題， 為了解決這個問題使用正則化方法。利用[Gσ??u]替換掉式（4）中的[?u]來改進這個各向異性擴散的P?M模型， 其中[Gσ]是高斯核函數(shù). 則P?M模型可以改進為如式（7）的形式：

[?u（x，y，t）?t=div[g（Gσ??u）?u]] （7）

式中[Gσ??u=?（Gσ?u）=?Gσ?u]， 同時式（7）也被稱為正則化的各向異性擴散P?M方程， 也被稱為Catte降噪模型. 對于上述的P?M模型， 改進了的Catte降噪模型主要有兩個優(yōu)點：

（1） 利用 Catte降噪模型降低腦MRI圖像中的噪聲點， 效果非常明顯， 與未改進的P?M模型相比， Catte降噪模型首先平滑了圖像， 即首先進行了腦MRI圖像的降噪。

（2） Catte降噪模型最為主要的思想是在各項異性的擴散中加入了各項同性的擴散。

1.2 "基于Catte降噪模型降噪效果分析

圖1是Catte模型對高噪聲原始腦MRI醫(yī)學圖像[u0（x，y）]降噪結果。

lt;E：＼王芳＼現(xiàn)代電子技術201506＼現(xiàn)代電子技術15年38卷第6期＼Image＼38t1.tifgt;

圖1 各項異性擴散的Catte模型降噪結果

由圖1可以看出， 當?shù)螖?shù)增大時圖像的模糊程度也隨之增大，信息細節(jié)的丟失增多， 同時迭代次數(shù)增加將加大計算時間，故而對于相應的迭代次數(shù)的選取人為參與因素較大。所以合理地選擇控制迭代次數(shù)使得去除噪聲的同時保留腦MRI醫(yī)學圖像的醫(yī)學細節(jié)是十分重要的。在進行降噪效果分析時發(fā)現(xiàn)， 對于各項同性的降噪模型所存在的缺點大幅度的進行了改進，同時發(fā)現(xiàn)Catte降噪模型迭代速度較慢， 并且在進行相同的迭代次數(shù)時式（3）的平滑程度較式（2）弱，故而對于擴散函數(shù)的選擇十分重要。

2 "樣本加權模糊C均值聚類算法

2.1 "FCM算法

FCM算法[2]是目前比較流行的一種模糊聚類算法，它適合于圖像中存在不確定性和模糊性的特點，同時FCM算法是屬于無監(jiān)督的分類方法，聚類過程中不需要任何人工的干預，很適合于自動分割的應用領域。式（8）給出了基于目標函數(shù)的一般描述：

[min JmU，P=k=1ni=1cμikmdik2， " m∈1，∞s.t. U∈Mfc] "（8）

式中[U=μik]為模糊隸屬度矩陣，[P=[pi]i=1，2，…，c]表示第[i]類的聚類原型矢量，[dik]表示第[i]類中的樣本[xk]與第[i]類的典型樣本[pi]之間的失真度，這里采用的是兩個矢量間的歐式距離。[JmU，P]表示各類中樣本與其典型樣本的誤差平方和，[m]為加權指數(shù)，又稱作平滑參數(shù)。盡管從數(shù)學角度看，[m]的出現(xiàn)不自然，但是如果不對隸屬度加權，從硬聚類目標函數(shù)到模糊聚類目標函數(shù)的推廣將是無效的。根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法可得兩個優(yōu)化迭代公式如下：

[μik=1j=1cdikdjk2m-1] （9）

[pi=1k=1nμikmk=1nμikmxk] （10）

由以上算法不難看出，整個計算過程就是反復修改聚類中心和分類矩陣的過程，因此常稱這種方法為動態(tài)聚類或者逐步聚類法。幾經(jīng)修補，該算法的收斂性已經(jīng)得以證明：FCM算法能從任意給定初始點開始沿一個迭代子序列收斂到其目標函數(shù)[JmU，P]的局部極小點或鞍點[1]。

2.2 "加權的模糊聚類算法（WFCM）

FCM算法是目前比較流行的一種模糊聚類算法，然而經(jīng)典算法本身并不完善。下面介紹這個改進的WFCM算法：正如前文所述，在聚類過程中，F(xiàn)CM算法是基于傳統(tǒng)的歐式距離，每個樣本對聚類的貢獻是沒有差別的，實際上，每個樣本所起的作用是不一樣，對聚類結果產(chǎn)生的影響不同。經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，那些包含樣本點比較多，分散的或孤立的樣本點會對聚類結果產(chǎn)生不良影響，而樣本數(shù)比較均勻的類別則有助于算法得到良好的聚類結果。因此，對原來的算法進行優(yōu)化是很有必要，從而體現(xiàn)出不同樣本的作用差異[9]。

模糊聚類是按照事物之間的相似性來分類的，相似性一般用距離來度量，如果樣本之間的距離越小，說明這兩個樣本之間越相似或越接近，與其他樣本之間的平均相似度越高，則它對聚類產(chǎn)生的正面影響就越大[10]。所以，對于某個樣本而言，它周圍的樣本點越多，獲得的平均相似度就高，就有利于聚類，應該被賦予較大的權值。首先，定義樣本間的平均相似度如下：

[zk=1nj=1ndxk，xj] （11）

式中[dxk，xj]表示樣本[xk]和[xj]之間的歐式距離。那么樣本的權值可表示為：

[ωk=k=1nzkzk] "（12）

可以看出，[d]越小，即樣本[xk]與其他樣本越相似，則[zk]的值越小，權值[ωk]就越大。這樣根據(jù)各自權值的大小，每個樣本的重要性就能很好地區(qū)分出來。

確定樣本點的權值后，原來的聚類目標函數(shù)就變?yōu)椋?/p>

[JmU，P=k=1ni=1cωkμikmdik2] （13）

根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法可得到相應的迭代公式：

[μik=h=1cdikdhk2m-1-1] （14）

[pi=k=1nωkμikmxkk=1nωkμikm] （15）

該算法能明顯提高收斂速度和聚類的準確性，具有一定的優(yōu)越性。

3 "改進的WFCM算法

WFCM算法是改進的FCM算法，該算法能明顯提高收斂速度和聚類的準確性，但是該算法仍然無法克服人工確定類數(shù)的缺點，而且抗噪性不理想，本文在改算法的基礎上進行改進，得到一種能自動給出最佳分類、抗噪性更好的改進算法。為了降低算法對噪聲的敏感性，本文利用PDE降噪算法對原圖像進行前期處理;為了確定最佳的聚類類數(shù)[11]，本文引入聚類有效性方法對WFCM進行初始化，然后利用WFCM算法對降噪后的圖像進行分割。

3.1 "聚類有效性

FCM算法本身并不能確定聚類的數(shù)目，為了能得到最優(yōu)聚類數(shù)目，本文采用Xie?Beni指標[10]作為模糊聚類有效性函數(shù)。下面定義模糊劃分的平均緊致度和類間分離度：

[Com=1ni=1cj=1numijVi-Xj2] （16）

[Sep=mini≠j?1，…，cVi-Xj2] （17）

式中：[Xj]為數(shù)據(jù)點;[Vi]為聚類中心;[c]表示聚類的數(shù)量;[n]表示數(shù)據(jù)對象的數(shù)量。則Xie?Beni指數(shù)[S]定義為緊致度和分離度的比值：

[S=i=1cj=1numijVi-Xj2nmini≠j?1，…，cVi-Xj2] （18）

從上式可以看出，同一聚類中數(shù)據(jù)點的緊致度越高且不同聚類間的分離度越高，[S]的值就越小，聚類的劃分也就越合理。因此，要得到最佳聚類個數(shù)[c]，可以選定不同的[c2≤c≤n-1]，并選取具有最小[S]值的作為最佳聚類數(shù)。

3.2 "本文改進算法

結合PDE降噪算法和聚類有效性測度對WFCM改進的本文算法步驟如下：

（1） 利用PDE降噪算法對原圖像進行降噪;

（2） 輸入降噪后的數(shù)據(jù)，首先令[c=2]，初始化[xi]相對于聚類[i]的隸屬度[uij]，并根據(jù)式（12）計算權值[ωj];

（3） 根據(jù)式（14）計算或更新模糊隸屬度[uij];

（4） 根據(jù)式（15）計算或更新模糊聚類中心[pi];

（5） 判斷[pb-pb+1lt;ε]是否成立，若否，轉步驟（3）;

（6） 根據(jù)式（18）計算[S]的值;

（7） 令[c=c+1]，判斷[clt;n]是否成立，若否，轉步驟（3），找出[S]最小時的[c]值就是最優(yōu)聚類個數(shù)[c*]。

4 "仿真實驗和結果分析

為了驗證本文改進算法的分割效果，本文選取由西門子0.35T永磁核磁共振儀拍攝的腦MRI醫(yī)學圖像（如圖2（a）），在相同的Matlab環(huán)境下，分別利用FCM、WFCM和本文算法對原圖進行分割。

在利用本文改進算法進行分割時，經(jīng)過反復實驗確定模糊加權指數(shù)[m]取2時，聚類效果最好。同時分別計算了[c]取2～15時的[S]值，當[c=5]時，[S]值最小，此時聚類效果最好，為了能夠比較算法效果，對于FCM和WFCM算法本文也選取聚類數(shù)為5。分割結果如圖2所示。從分割結果來看，本文算法聚類效果比前兩種算法好的多，這是因為本文采用的PDE降噪算法在降低噪聲的同時，能夠保留細節(jié)，而且能夠自動確定最佳聚類數(shù)目，達到準確分割的目的。

5 "結 "論

本文根據(jù)MRI醫(yī)學圖像的特點，提出一種基于WFCM的改進算法，該算法首先利用PDE降噪算法進行降噪，然后根據(jù)Xie?Beni指數(shù)，在沒有先驗知識的條件下，確定了最佳聚類數(shù)目，以此對WFCM算法進行初始化，得到本文改進的 WFCM算法。利用該算法對MRI醫(yī)學圖像進行分割，結果表明該算法比WFCM算法有更高的聚類準確性，效果更好。

lt;E：＼王芳＼現(xiàn)代電子技術201506＼現(xiàn)代電子技術15年38卷第6期＼Image＼38t2.tifgt;

圖2 仿真實驗結果

參考文獻

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