摘 要： 壓縮感知是信號(hào)處理領(lǐng)域的新興理論，首先闡述壓縮感知的基本原則和理論框架，然后對(duì)基于正交小波變換下壓縮感知的圖像重構(gòu)的效果進(jìn)行比較分析。實(shí)驗(yàn)表明，壓縮感知可以很好地運(yùn)用于圖像重構(gòu)。將壓縮感知理論與數(shù)字水印技術(shù)相結(jié)合提出一種基于壓縮感知理論的RGB空間彩色圖像水印算法。該算法充分利用壓縮感知的稀疏性及壓縮比的可調(diào)節(jié)性，控制水印信息的嵌入容量的同時(shí)很好地提高了水印嵌入的安全性。實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于一些常見的攻擊，該算法具備很好的魯棒性。

關(guān)鍵詞： 壓縮感知； 正交小波變換； 彩色圖像水??； 信號(hào)處理

中圖分類號(hào)： TN911.73?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2015）03?0062?04

Application of compressive sensing in digital image watermark

QIN Zhen?zhen， HU An?guo， WU Ning?xia

（School of Information and Engineering， Yangzhou University， Yangzhou 225000， China）

Abstract： Compressive sensing is a new theory in the field of signal processing. the basic principles and theoretical framework of compressive sensing are briefly expounded in this paper. The results of the image reconstruction of compressed sensing based on the orthogonal wavelet transform are compared and analyzed. Experiment results show that the compressive sensing can be well applied to image reconstruction. A watermark algorithm for RGB space color images based on compressive sensing theory is proposed in combination with the compressive sensing theory and digital watermark technology. The algorithm makes full use of the sparsity of the compressive sensing and regularity of compression ratio to control the watermark information embedding capacity and improve the security of watermark embedding. The experiment results show that the algorithm has good robustness for some common attacks.

Keywords： compressive sensing； orthogonal wavelet transform； color image watermark； signal processing

0 引 言

壓縮感知（Compressed Sensing）由D.Donoho、E.Candes及T. Tao等人提出[1?3]，作為一種新興的思想以其特有的優(yōu)勢(shì)給信號(hào)處理方法帶來了一場(chǎng)新的革命。壓縮感知理論是對(duì)傳統(tǒng)理論的顛覆，它突破了香農(nóng)采樣定理的極限，能以隨機(jī)采樣的方式用更少的數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)（平均采樣間隔低于采樣定理的極限），來完美的恢復(fù)原始信號(hào)[4]。

從信號(hào)處理的角度分析，數(shù)字水印可以看為在強(qiáng)噪聲背景下嵌入一個(gè)微弱信號(hào)，并且在嵌入水印后，基本不影響原始載體的視覺或聽覺的品質(zhì)。本文主要對(duì)彩色圖像的水印算法進(jìn)行研究。為了增加水印信息的安全性通常在嵌入之前對(duì)原始水印信息進(jìn)行預(yù)處理。傳統(tǒng)的預(yù)處理方法是將水印進(jìn)行Arnold置亂處理，但由于其具有周期性，通過有限次的置亂總能得到原始水印圖像，因此該算法的安全性不夠強(qiáng)。將水印稀疏化后進(jìn)行壓縮感知，既可以將水印信息進(jìn)行置亂處理，由于壓縮比的可調(diào)節(jié)性使得置亂過程更加不確定，又可以提高水印信息的安全性。而且利用壓縮感知可以將水印信息進(jìn)行壓縮，保證水印信息量在嵌入容量之內(nèi)。從而使水印信息嵌入的安全性獲得很好的提高。

1 壓縮感知概述

作為信號(hào)領(lǐng)域研究熱點(diǎn)的壓縮感知突破了傳統(tǒng)信號(hào)采集、傳輸與處理的不足，它的特色之處就是在信號(hào)具備稀疏性抑或可壓縮性情況下，用遠(yuǎn)少于奈奎斯特采樣速率來采樣，并將采樣與壓縮合二為一，解碼的過程不再是簡(jiǎn)單的逆變換過程，而是要運(yùn)用重構(gòu)算法優(yōu)化求解而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的完美重構(gòu)或者近似重構(gòu)[5]。

壓縮感知理論包括三個(gè)重要的部分，分別為稀疏表示、隨機(jī)測(cè)量與重構(gòu)算法。

稀疏表示就是用合適的基來表示信號(hào)，使得信號(hào)子變換后表現(xiàn)出最好的稀疏性。

隨機(jī)測(cè)量主要涉及的是隨機(jī)矩陣的設(shè)計(jì)，隨機(jī)矩陣要滿足與變換基不相關(guān)，即需要滿足約束等距性（Restricted Isometry Property，RIP）條件。

重構(gòu)算法作為實(shí)現(xiàn)信號(hào)重構(gòu)的必要手段，這個(gè)過程中關(guān)鍵是優(yōu)化求解的問題，這也是一個(gè)難點(diǎn)。

壓縮感知處理的具體三個(gè)步驟如下：

步驟一：對(duì)于長(zhǎng)度為[N]的可壓縮或者稀疏信號(hào)[x∈RN×1，]進(jìn)行稀疏變換，獲得[x=ψα，]即[α=ψTx，]其中[ψ]表示一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交基，[ψT]表示矩陣[ψ]的轉(zhuǎn)置；

步驟二：用一個(gè)與基[ψ]不相關(guān)的觀測(cè)基[?：M×N（M?N）]對(duì)系數(shù)向量[α]進(jìn)行測(cè)量，即[y=θα，]并獲得觀測(cè)向量[Y：M×1；]

步驟三：利用優(yōu)化求解的方法從觀測(cè)集合中精確或高概率地重構(gòu)原始信號(hào)[x。]

2 基于正交小波變換壓縮感知的圖像重構(gòu)分析

2.1 實(shí)驗(yàn)步驟

實(shí)驗(yàn)的素材是兩幅具有不同特征的圖像，即Lena圖與星空?qǐng)D，實(shí)驗(yàn)的主要步驟就是分別對(duì)這兩幅圖像進(jìn)行基于正交小波變換壓縮感知的圖像重構(gòu)，保證正交小波變換稀疏表示，測(cè)量矩陣和重構(gòu)算法相同，改變圖像的采樣率，觀測(cè)在不同的采樣率下這些重構(gòu)圖像的峰值信噪比PSNR[6]值，結(jié)構(gòu)相似系數(shù)SSIM[7]和信息相關(guān)值IICC的大小，最終通過PSNR，SSIM，IICC值的變換來具體分析原始圖像基于正交小波變換這一稀疏表示下經(jīng)過壓縮感知重構(gòu)的圖像的性能分析。其中測(cè)量矩陣運(yùn)用的是高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣，重構(gòu)算法運(yùn)用正交匹配追蹤（OMP）算法，采樣率為觀測(cè)矩陣大小與圖像大小之比。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

（1） Lena圖重構(gòu)效果圖如圖1所示。

（2） 星空?qǐng)D重構(gòu)效果圖如圖2所示。

（3） 基于小波變換壓縮感知在不同采樣率下對(duì)圖像重構(gòu)的PSNR（dB）值比較圖如表1所示。

對(duì)于同一幅圖像而言，采用同樣的稀疏變換，在測(cè)量矩陣和重構(gòu)算法的壓縮感知進(jìn)行圖像重構(gòu)的過程中，采樣率越高，重構(gòu)的圖像效果越好。主觀上隨著采樣率的增加圖像越清晰，重構(gòu)的塊效應(yīng)越小，客觀上，重構(gòu)的圖像峰值信噪比隨著采樣率的增加也越來越大，當(dāng)超過30 dB的時(shí)候恢復(fù)的圖像與原始圖像很難察覺出差異，恢復(fù)效果較好。

3 基于壓縮感知的RGB空間彩色圖像水印算

法的分析

3.1 水印的嵌入及位置的選取

RGB空間是顏色空間描述中最基本的加性空間。根據(jù)人類視覺系統(tǒng)HVS模型可知人眼對(duì)圖像的藍(lán)色層變化不是很敏感，因此藍(lán)色層有較大的嵌入容許度，可以有更多的水印能量嵌入，保證水印有較高的魯棒性。因此選擇圖片的藍(lán)色層作為水印嵌入域。

對(duì)載體圖像的飽和度域S進(jìn)行兩層小波分解，將水印嵌入到第二層的中頻和低頻分量上，與高頻分量相比中低頻分量具有更大的權(quán)值，而大的權(quán)值意味著有大的嵌入允許度，即允許嵌入的水印能量較大；且噪聲和濾波等攻擊對(duì)載體圖像的高頻部分影響較大，因此中低頻分量更適合作為水印嵌入位置[9]。

3.2 水印圖像的預(yù)處理過程

對(duì)水印圖像進(jìn)行稀疏變換，本算法采用正交小波變換。對(duì)稀疏化后的水印圖片進(jìn)行壓縮感知處理。就是對(duì)稀疏后的水印信息進(jìn)行觀測(cè)，本算法采用的測(cè)量矩陣為高斯隨機(jī)矩陣，采樣率為0.7，采樣率以及水印信息大小作為密鑰的第一部分。第三部分的實(shí)驗(yàn)表明基于正交小波變換壓縮感知圖像重構(gòu)在一定的采樣率下重構(gòu)的圖像具有較好的效果。

3.3 實(shí)驗(yàn)步驟

步驟一：將載體圖像進(jìn)行RGB三色分離，并對(duì)藍(lán)色層進(jìn)行小波分解。

步驟二：對(duì)水印信息進(jìn)行壓縮感知預(yù)處理，分別以0.8和0.6的嵌入強(qiáng)度將水印信息嵌入到載體圖像的低頻和中頻部分。

步驟三：將嵌入水印的小波系數(shù)進(jìn)行小波逆變換以及RGB三色疊加得到帶有水印信息的載體圖像。

步驟四：依照步驟一到步驟三對(duì)水印信息進(jìn)行提取。

步驟五：分別采用噪聲干擾、幾何切割和壓縮感知壓縮的攻擊方式來檢測(cè)算法的魯棒性。

步驟六：采用傳統(tǒng)的Arnold置亂對(duì)水印進(jìn)行預(yù)處理，并用相同的方法進(jìn)行嵌入提取和攻擊實(shí)驗(yàn)，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和數(shù)據(jù)分析

（1） 測(cè)試圖片，如圖3所示。

（2） 攻擊檢測(cè)試驗(yàn)結(jié)果如圖4，圖5所示。

（3） 魯棒性對(duì)比

相關(guān)系數(shù)是經(jīng)常使用的魯棒性檢測(cè)模型。本文使用歸一化相關(guān)系數(shù)來檢測(cè)魯棒性。歸一化相關(guān)系數(shù)的定義為[NC=Σm，nIm，nI′m，nΣm，nI2m，n，]其中[Im，n]和[I2m，n]分別表示原水印圖像和提取出的水印圖像。魯棒性對(duì)比如表3所示。

4 數(shù)據(jù)分析與結(jié)論

對(duì)水印信息采用壓縮感知的方法進(jìn)行預(yù)處理，嵌入水印后的載體圖像PNSR高于30 dB，與原圖相比察覺不出有太大差異，具有很好的隱蔽性。對(duì)嵌入水印后的載體圖像進(jìn)行攻擊檢測(cè)，提取的水印信息從主觀上評(píng)價(jià)，畫質(zhì)都比較好，能夠清楚地辨認(rèn)出水印信息，從客觀上評(píng)價(jià)，其歸一化相關(guān)系數(shù)NC都接近于1，提取效果較好，表明該算法對(duì)常見的攻擊具有很好的魯棒性。

與傳統(tǒng)的Arnold置亂相比，采用壓縮感知進(jìn)行預(yù)處理受攻擊前后提取的水印信息，從主觀上評(píng)價(jià)，畫質(zhì)更好一些，更容易辨認(rèn)出水印信息。從客觀上評(píng)價(jià)，其歸一化系數(shù)都高于傳統(tǒng)置亂方法，提取的效果更好，魯棒性更強(qiáng)。

5 總 結(jié)

本文將壓縮感知理論思想與數(shù)字水印的技術(shù)相結(jié)合，對(duì)一種基于壓縮感知的RGB空間彩色圖像水印算法進(jìn)行了分析。將水印信息進(jìn)行基于正交小波變換壓縮感知預(yù)處理，實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)圖像具有較好的稀疏性的時(shí)候，在采樣率較低時(shí)也可以獲得效果較好的重構(gòu)圖像。與傳統(tǒng)的Arnold置亂相比，基于壓縮感知的RGB空間彩色圖像水印算法具有更好的魯棒性，并且由于采樣率的可調(diào)節(jié)性，增加了密鑰量，更好地提高了水印的安全性。

參考文獻(xiàn)

[1] CANDèS E. Compressive sampling [C]// Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Madrid， Spain： [s.n.]， 2006， 3： 1433?1452.

[2] CANDèS E， ROMBERG J， TAO T. Robust uncertainty principles： Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52（2）： 489?509.

[3] CANDèS E， TAO T. Near optimal signal recovery from random projections： universal encoding strategies [J].IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52（12）： 5406?5425.

[4] 沙威.壓縮感知引論[D].香港：香港大學(xué)，2008.

[5] 任肖麗.壓縮感知理論研究簡(jiǎn)述[J].中國(guó)科技信息，2010（3）：45?46.

[6]朱里，李喬亮，張婷，等.基于結(jié)構(gòu)相似性的圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)方法[J].光電工程，2007，34（14）：109?110.

[7] 李民權(quán)，朱大龍，明軍.基于圖像信息相關(guān)性的質(zhì)量評(píng)價(jià)方法[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007（2）：21?23.

[8] PRATTL W K. Digital image processing [M]. New York： John Wiley Sons， 1991：115?137.

[9] LEDLEY R S， BUAS M， GOLAB T J. Fundamentals of true?color image processing [C]// Proceedings of IEEE International Conference on Pattern Recogittion. USA： IEEE， 1990， 1： 191?195.

[10] 林小平，周石琳，張官亮，等.基于計(jì)算智能的圖像拼接系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2013，36（12）：49?52.

[11] 吳桑，彭良玉.基于小波變換的圖像增強(qiáng)新算法[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2013，36（4）：89?91.