著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說過一個(gè)經(jīng)典案例：巨人之手。一位數(shù)學(xué)老師在黑板上畫了一個(gè)大大的手印，學(xué)生們看到后都感到驚奇。教師就對(duì)學(xué)生說： “昨晚有一位巨人訪問我們學(xué)校，在黑板上留下了一個(gè)巨大的手印。今天晚上他還要來，請(qǐng)大家為巨人設(shè)計(jì)桌椅、書本的高度和大小?！焙⒆觽冄劾镩W爍著探索之光，全身心地投入到測(cè)量、計(jì)算等活動(dòng)中，他們用自己的手和巨人的手作比較，得出比例，然后把桌椅、書本按比例放大。

案例中，孩子們的學(xué)習(xí)“真”的發(fā)生了嗎？我們無法走進(jìn)學(xué)生的大腦去探尋，我們只能利用學(xué)生外顯的行為來作判斷，即按照我們觀察到的學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和結(jié)果來判斷。上述過程中，孩子們興奮、專注；結(jié)果孩子們用正確的方法解決了問題。毋庸置疑，真實(shí)的學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)課堂上發(fā)生了。讓我們踏上學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)課堂上的發(fā)生之路吧。

一、教師：上通數(shù)學(xué)—下達(dá)課堂。

弗賴登塔爾作為數(shù)學(xué)家，顯然上通數(shù)學(xué)，又作為數(shù)學(xué)教育家，肯定下達(dá)課堂。我們常說，教師在課堂上要能“深入淺出”，作為數(shù)學(xué)教師，“深入”就是要能上通數(shù)學(xué)，“淺出”就是要能下達(dá)課堂。當(dāng)然，我們的數(shù)學(xué)教師，不可能人人像弗賴登塔爾一樣，既是數(shù)學(xué)家，又是數(shù)學(xué)教育家。我們的上通數(shù)學(xué)，應(yīng)當(dāng)通到什么程度，現(xiàn)舉幾例說明。

教孩子數(shù)數(shù)，是一個(gè)最簡(jiǎn)單不過的問題。但數(shù)學(xué)老師不能停留在小學(xué)生的水平，必須具備集合論的思想。

數(shù)數(shù)的第一步是“唱數(shù)”：1、2、3、4、5、……孩子就像唱兒歌一樣，幾經(jīng)重復(fù)以后，只有微弱的前后順序（還不能倒著數(shù)）的感覺，但不知有大小關(guān)系，也就是只有“序數(shù)”的萌芽，還沒有“基數(shù)”的概念。

數(shù)數(shù)的第二步是“指物點(diǎn)數(shù)”：一開始孩子口手速度不一致，往往是口快手慢，經(jīng)過一段時(shí)間以后，孩子才能做到口手一致的點(diǎn)數(shù)，這就是兩個(gè)集合中元素的“一一對(duì)應(yīng)”。

數(shù)數(shù)的第三步是“說出總數(shù)”：能夠熟練完成“指物點(diǎn)數(shù)”的，一般都能順利地說出物體的總數(shù)。

數(shù)數(shù)的最后一步是“按數(shù)取物”：這是實(shí)踐層面的，正是孔子的“學(xué)而時(shí)習(xí)之。”家長(zhǎng)、孩子同說乎！

關(guān)于數(shù)數(shù)，隨著年級(jí)的升高，孩子會(huì)提出很多的問題，比如：自然數(shù)與偶數(shù)哪個(gè)多？我就親耳聽到有教師回答自然數(shù)多，偶數(shù)只有自然數(shù)的一半。嗚呼哀哉，數(shù)學(xué)教師，不能只有中學(xué)數(shù)學(xué)水平啊，要明白，自然數(shù)集和偶數(shù)集都是可數(shù)集，它們的基數(shù)是相等的。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有一內(nèi)容：確定位置，用數(shù)對(duì)（坐標(biāo)）確定位置。我們不去討論教材的定位是否有偏差，有一點(diǎn)是肯定的，用坐標(biāo)確定位置不是數(shù)學(xué)的主題，電影院里可以有，地圖上可以有，而坐標(biāo)的數(shù)學(xué)主題應(yīng)當(dāng)是“數(shù)形結(jié)合”。一對(duì)坐標(biāo)確定一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是幾何圖形的基本元素，與其不斷訓(xùn)練幾排幾座，不如判斷A（1，2）、B（4，2）、C（3，4）連接起來是什么圖形。只有上通數(shù)學(xué)，才能把握正確的方向。當(dāng)方向錯(cuò)了，越認(rèn)真地教學(xué)，離真實(shí)的數(shù)學(xué)越遠(yuǎn)。

關(guān)于教學(xué)，我喜歡陶行知的說法：“先生的責(zé)任不在教，而在教學(xué)，教學(xué)生學(xué)。”上通數(shù)學(xué)只是提供了教學(xué)的內(nèi)容，還需下達(dá)課堂，讓學(xué)生樂于接受。

如何做到像上面的經(jīng)典案例“巨人之手”那樣，充分激發(fā)學(xué)生的好奇心，牢牢抓住孩子的注意力。現(xiàn)以《按比例分配》為例，我是如何把不太有趣的教學(xué)內(nèi)容，變得有趣，讓學(xué)生難忘。

教材只是一個(gè)例子，教材，不是圣經(jīng)、不是法典，它是教學(xué)的憑借、教學(xué)的資源，只是素材之一。在教學(xué)中，如果我們能找到比教材中更好的資源、素材，我們會(huì)毫不猶豫地放棄教材中提供的例子，選擇對(duì)教材進(jìn)行整合、重組。

書上的例題是將長(zhǎng)方形方格按比例分配后涂上顏色，遠(yuǎn)離學(xué)生的實(shí)際生活，我就完全放棄了，而是以兒童周圍世界為源泉，選擇兒童日常生活中熟悉的內(nèi)容。 看下面一組信息——

星湖花園有兩戶人家，一家住著唐明和他的父母，另一家住著孿生兄妹陳龍、陳鳳和他們的父母。2003年，兩家分別拿出25萬元在市中心合資購得一店面房出租，兩年共得租金24萬元，這樣唐、陳兩家各分到12萬元；由于房?jī)r(jià)看漲，他們將店面房以218萬元的價(jià)格賣出，每家又分得109萬元；為了慶賀這次投資成功兩家人決定去英國旅游，共花去14萬元，每家攤得費(fèi)用7萬元。

學(xué)生閱讀兩遍后，回答以下問題：

1. 一共分配了幾次？

（三次：各分到12萬元；又分得109萬元；攤得費(fèi)用7萬元。）

2. 都是怎樣分的？

（平均分）

3. 這樣分合理嗎？

（前兩次合理，第三次不合理，因?yàn)閮杉胰藬?shù)不同。）

讓學(xué)生明白，在實(shí)際生活中，平均分不一定是合理的，第三次該怎樣分配費(fèi)用才算合理呢？這樣就要尋找一種新的分配方法，由學(xué)生嘗試進(jìn)行分配。

90%以上的學(xué)生都能按兩家的人數(shù)比進(jìn)行了分配，這樣由學(xué)生自主，根據(jù)實(shí)際生活的需要，研究出按比例分配的方法，既鍛煉了學(xué)生的能力，又讓學(xué)生有一種成就感。

鞏固練習(xí)的安排，以增加趣味性為主，有聯(lián)系生活的，有關(guān)黃金比的，如——

1. 自行車廠裝配一批三輪車，第一車間共有150名工人，每人裝一只輪子的時(shí)間一樣，應(yīng)分別安排多少工人裝前輪和后輪？

2. 究竟是“生命在于運(yùn)動(dòng)”，還是“生命在于靜養(yǎng)”？研究表明，當(dāng)人們一天的作息時(shí)間符合黃金比5：3時(shí)，最有利于健康。你能計(jì)算出一天中人最適宜的活動(dòng)時(shí)間和睡眠時(shí)間嗎？

3. 人體的正常體溫是37℃左右，研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)環(huán)境溫度與人的正常體溫的比符合黃金比5：8時(shí)，人體的生理功能、生活節(jié)奏等新陳代謝水平均處于最佳狀態(tài)。你能計(jì)算出人在什么的環(huán)境氣溫下生活感到最適宜？

4. 金字塔的高和底座邊長(zhǎng)的總和是364米，它們的比是5 ： 8，求出它的高。

雖然上課的時(shí)間不短，由于練習(xí)富有趣味又能增長(zhǎng)知識(shí)，還能感受到數(shù)學(xué)的美，所以學(xué)生并不感覺累，有的學(xué)生說：“一節(jié)課怎么這么快就過去了?！?/p>

二、學(xué)生：下達(dá)課堂—上通數(shù)學(xué)。

教學(xué)活動(dòng)，是教師與學(xué)生的雙邊活動(dòng)，教只是教學(xué)活動(dòng)的一半，另一半是學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)。教師的下達(dá)課堂，如果沒有學(xué)生的積極參與，只是一言堂，那就不成之為課堂。學(xué)生下達(dá)課堂，就是學(xué)生沉浸在課堂中，甚至是“沉迷”于課堂，有一種打破砂鍋問到底的鉆勁。

諾貝爾獎(jiǎng)得主著名物理學(xué)家李政道曾說過：我國歷來講究做學(xué)“問”，要學(xué)會(huì)怎樣問，而我們現(xiàn)在的學(xué)校教育往往是學(xué)“答”，學(xué)會(huì)的是做答案。學(xué)生在課堂上尋找答案已成常態(tài)。讓學(xué)生從答案中發(fā)現(xiàn)問題，從“?！敝匦伦呦颉埃俊保寣W(xué)生從學(xué)“答”，走向?qū)W“問”，進(jìn)而達(dá)到解決自己提出的問題。

【題】運(yùn)輸隊(duì)有8輛同樣的卡車，每輛卡車每次運(yùn)貨物12噸，用這些卡車同時(shí)運(yùn)600噸煤，幾次能運(yùn)完？

解法一：

600÷（12×8）

=600÷96

=6（次） ……24（噸）

6+1=7（次）

解法二：

（2） 600÷8÷12

=75÷12

=6（次） ……3（噸）

6+1=7（次）

答：7次能運(yùn)完。

答句寫完，畫上句號(hào)，一般來說解題結(jié)束。問題能到此結(jié)束嗎？恰恰相反，這不是問題的終結(jié)，問題才剛剛開始。

請(qǐng)注意兩種解法的余數(shù)，一個(gè)是24，另一個(gè)是3。兩種解法余數(shù)的不同，對(duì)產(chǎn)生不同余數(shù)的成因，作出具體解釋是必須的：解法一，先求出8輛車1次運(yùn)96噸，24噸是8輛車運(yùn)了6次余下的；解法二，先求1輛車運(yùn)75噸，3噸是1輛車運(yùn)運(yùn)了6次余下的，8輛車的話，還回到解法一的余數(shù)24噸。

看似已經(jīng)很到位了，但如果只到這里，反思是不徹底的。根據(jù)“等式”的傳遞性：6……24=6……3，豈不荒唐。還需刨根問底：600÷96=6…24和75÷12=6…3是等式嗎？原來，這里的“=”不是等于號(hào)，只是不完全商和余數(shù)的一種記法而已。

如果學(xué)生能夠做到這樣充分下達(dá)課堂，離上通數(shù)學(xué)就不遠(yuǎn)了。在學(xué)習(xí)了平面圖形的面積后，只停留在由長(zhǎng)方形面積、正方形面積的計(jì)算公式，推導(dǎo)出平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算公式是低層次的。如果學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)，反過來看，長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形的面積都用梯形的面積計(jì)算公式來計(jì)算，就是一種高境界了。

根據(jù)梯形的面積=（上底+下底）×高÷2，計(jì)算下面圖形的面積。

長(zhǎng)方形：長(zhǎng)10厘米，寬6厘米

正方形：邊長(zhǎng)6厘米

平行四邊形：底10厘米，高6厘米

三角形：底10厘米，高6厘米

把長(zhǎng)方形和平行四邊形看作上底、下底相等的梯形：

（10+10）×6÷2=60（平方厘米）

把正方形看作上底、下底、高都相等的梯形：

（6+6）×6÷2=36（平方厘米）

把三角形作上底為0的梯形：

（0+10）×6÷2=30（平方厘米）

學(xué)生可以作進(jìn)一步思考：從長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算公式到圓的面積計(jì)算公式最本質(zhì)的特征在哪里？這不是每位學(xué)生都能做到的，但總有學(xué)生會(huì)想到。經(jīng)過思考后發(fā)現(xiàn)：無論哪種圖形的面積計(jì)算公式中都含有兩條線段長(zhǎng)度相乘的積。這兩條線段的位置關(guān)系如何？?jī)蓷l線段互相垂直：長(zhǎng)與寬、邊長(zhǎng)與邊長(zhǎng)、底與高，但圓似乎是個(gè)例外，同一條半徑相乘。有例外就不成規(guī)律，取兩條互相垂直的半徑，如何？完全可以。于是得出結(jié)論：我們所學(xué)過的平面圖形的面積計(jì)算公式中都含有兩條互相垂直線段的長(zhǎng)度相乘。

那不同圖形的面積計(jì)算公式，又不同在哪里呢？把長(zhǎng)方形和正方形面積公式都添個(gè)“乘1”，很明顯：平面圖形面積計(jì)算公式都含有互相垂直線段長(zhǎng)度的積，另外再乘一個(gè)數(shù)，有的是1，可以省略，有的是，有的是圓周率л。

由此推出，體積計(jì)算公式也有類似的規(guī)律：不同圖形的體積都有兩兩互相垂直的三條線段的長(zhǎng)度相乘。最后讓學(xué)生猜測(cè)：球的體積計(jì)算公式應(yīng)當(dāng)是什么樣的？

教師、學(xué)生的交集是課堂，只有教師、學(xué)生同時(shí)出席課堂，投入課堂，讓“學(xué)習(xí)”在數(shù)學(xué)課堂上真實(shí)地發(fā)生，才會(huì)有教師的上通數(shù)學(xué)變?yōu)閷W(xué)生的上通數(shù)學(xué)。

（作者單位：南通師范學(xué)校第二附屬小學(xué)）