崔 瑜，張春茍，張靈敏

(1 河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島，066004；2 首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院)

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Szász-Baskakov-Durrmeyer算子導(dǎo)數(shù)的完全漸進(jìn)展開

崔 瑜1，張春茍2，張靈敏1

(1 河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島，066004；2 首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院)

主要研究了Szsz-Baskakov-Durrmeyer算子導(dǎo)數(shù)的漸進(jìn)展開問題，即同時(shí)逼近的漸進(jìn)展開問題，建立了該算子導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)態(tài)完全漸進(jìn)展開公式。

SBD算子；導(dǎo)數(shù)；Durrmeyer變形；漸進(jìn)展開

算子的構(gòu)造方法多種多樣，比如有積分變形、組合迭加、推廣修正、加權(quán)求和等等，而算子的積分變形主要有Kantorovich變形和Durrmeyer變形等兩種，Durrmeyer變形就是如下的一種構(gòu)造新算子的方法：

設(shè)有算子

其Durrmeyer變形定義為

這里被積函數(shù)所加的權(quán)函數(shù)lnk(t)與算子的基函數(shù)lnk(x)通常是一致的。如果不一致，就是所謂的異權(quán)。文獻(xiàn)[2]正是基于這種方法引入了Baskakov-Szsz-Durrmeyer算子(簡稱為BSD算子)如下:

算子以及算子導(dǎo)數(shù)的漸進(jìn)展開是算子逼近的一種表現(xiàn)形式。一方面直觀展現(xiàn)了算子的逼近性質(zhì)，另一方面也是深入研究算子逼近性質(zhì)的準(zhǔn)備。因此，算子以及算子導(dǎo)數(shù)的漸進(jìn)展開問題是算子逼近的一個重要的研究方向，尤其是完全漸進(jìn)展開，這方面已有大量的文章進(jìn)行研究[4～16]。

定理A 設(shè)q∈N,x∈[0.tif,+∞)，則對于每一個函數(shù)f∈K[2q;x]，有

這里f∈K[2q;x]表示函數(shù)f在x點(diǎn)2q階連續(xù)可導(dǎo)，且f∈Wγ[0,∞)，即f在[0,∞)上局部可積且存在實(shí)數(shù)γ，使得f(t)=O(tγ)(t→+∞)。系數(shù)

其中

1 引 理

對于任意非負(fù)整數(shù)p,在此記

則有如下關(guān)鍵性引理：

引理1 設(shè)f(p)∈Wγ[0,∞)，則對于n>p有

證明 約定Sn,-1(x)=0，則由

可得

再由歸納法可得

證畢。

記em(x)=xm(m=0,1,2,…)，ψx(t)=t-x。則運(yùn)用文獻(xiàn)[1]中的引理1～引理3的方法，可得本次研究的：

引理2

這里

=O(n-[r+1/2])

引理3[4]設(shè)q∈N,x∈I,An:L∞(I)(I上本性有界)→C(I)(I上連續(xù))是一個具有如下性質(zhì)的正算子序列

則對于任意f∈L∞(I)在x上2q階可導(dǎo)函數(shù)，有漸進(jìn)關(guān)系

如果f(2q+2)(x)存在，那么上式中的o(n-q)能被O(n-(q+1))替換。

引理4(局部化定理) 當(dāng)x>0時(shí)，假設(shè)f∈Wγ(0,∞)，且在x的某鄰域值為0，則對任意的q>0有

2 主要結(jié)論

定理B設(shè)p=0,1,…，且f(p)∈K[2q;x]，則

其中

證明 記g=f(p)，則g∈K[2q;x]。據(jù)引理4，不失一般性可設(shè)g在[0.tif,+∞)上有界，則

由引理1，引理2和引理3可得

這里

定理得證。

顯然，p=0時(shí)，定理B化為定理A。

(2S(p+2,p+1)-S(p+1,p)-S(p+3,p+2))x2]f(p+2)(x)。

這里S(k,j)表示第二類Stirling數(shù)，其定義如下

取q=1，則由定理B可得如下Voronovskaja型漸進(jìn)展開式：

推論 設(shè)x∈(0,1),f∈K[2+p;x]，則對于p=0,1,…有

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(責(zé)任編輯：朱寶昌)

Complete Asymptotic Expansion of Derivative of the Szász-Baskakov-Durrmeyer Operator

CUI Yu1，ZHANG Chun-gou2，ZHANG Ling-min1

(1 School of Mathematics & Information,Hebei Normal University of Science & Technology,Qinhuangdao Hebei，066004;2 School of Mathematical Sciences,Capital Normal University；China)

In this paper, we will study this operator asymptotic expansion of derivative and establish a complete expansion formula in point wise form.

Operator; Durrmeyer’s modification; Asymptotic expansion

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2015.02.003

2015-03-26; 修改稿收到日期: 2015-05-27

O174

A

1672-7983(2015)02-0012-04

崔瑜(1982-)，女，講師，碩士。主要研究方向：函數(shù)逼近論。