毛學(xué)志，楊曉靜，馬會泉，周建良

(1 河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院，數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究所，河北 秦皇島，066004；2 河北昌黎第一中學(xué))

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一個新的具有指數(shù)項的混沌系統(tǒng)分析

毛學(xué)志1，楊曉靜1，馬會泉1，周建良2

(1 河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院，數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究所，河北 秦皇島，066004；2 河北昌黎第一中學(xué))

構(gòu)造了一個與Lorenz混沌系統(tǒng)、Chen混沌系統(tǒng)和Lü混沌系統(tǒng)等經(jīng)典混沌系統(tǒng)不同的新混沌系統(tǒng)。該系統(tǒng)含有3個參數(shù)、1個乘積形式和1個指數(shù)形式的非線性項。利用數(shù)值仿真、平衡點(diǎn)分析、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖、Poincaré映射圖等對系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)特性進(jìn)行了分析。

混沌系統(tǒng)；Lyapunov指數(shù)；Poincaré截面；指數(shù)函數(shù)

1963年，美國學(xué)者Lorenz[1]在研究氣象問題時提出了第一個混沌吸引子，此后的50年中，混沌理論的研究和應(yīng)用在物理、數(shù)學(xué)、信息學(xué)、密碼學(xué)等許多領(lǐng)域中受到了廣泛關(guān)注，成為非線性科學(xué)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題之一。 Chen系統(tǒng)[2]、Lü系統(tǒng)[3，4]、Qi系統(tǒng)[5]以及一些其他的新的混沌系統(tǒng)[6～15]相繼被提出。近年來，人們開始用指數(shù)項代替非線性項，構(gòu)造了一些新的混沌系統(tǒng)[10～15]，進(jìn)一步豐富了混沌動力學(xué)理論。筆者構(gòu)造了一個新的具有指數(shù)函數(shù)形式非線性項的混沌系統(tǒng)。該系統(tǒng)含有3個參數(shù)，第1個方程含有乘積非線性項，第2個方程是一個線性方程，第3個方程含有一個指數(shù)函數(shù)的非線性項。系統(tǒng)具有2個平衡點(diǎn)，與傳統(tǒng)的Lorenz混沌系統(tǒng)、Chen混沌系統(tǒng)以及Lü混沌系統(tǒng)等是拓?fù)洳坏葍r的。相對于文獻(xiàn)[10～15]，新構(gòu)造的混沌系統(tǒng)進(jìn)行了一些項數(shù)的增減和更改，改變了線性方程中兩個線性項系數(shù)相同的模式。利用數(shù)值仿真、平衡點(diǎn)分析、Lyapunov指數(shù)譜以及分岔圖、Poincaré映像等對系統(tǒng)復(fù)雜的動力學(xué)特性進(jìn)行了研究，同時也對系統(tǒng)的混沌屬性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 新混沌系統(tǒng)模型

本次研究構(gòu)造的具有指數(shù)形式的混沌系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：

(1)

其中a，b，c為正常數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a=1.8，b=10，c=3時，系統(tǒng)存在一個混沌吸引子(圖1)。相圖的形狀和類型與Lorenz混沌系統(tǒng)、Chen混沌系統(tǒng)和Lü混沌系統(tǒng)等經(jīng)典的混沌系統(tǒng)是不同的，因此是拓?fù)洳坏葍r的。

2 新混沌系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性

2.1 對稱性

系統(tǒng)(1)具有鮮明的對稱性，對系統(tǒng)做變換(x,y,z)→(-x,-y,z)后，系統(tǒng)(1)的狀態(tài)方程保持不變，說明此系統(tǒng)是關(guān)于z軸對稱的，并且該對稱性對全部系統(tǒng)參數(shù)都成立。

2.2 耗散性

2.3 平衡點(diǎn)

令系統(tǒng)(1)的右端等于0，即yz-y=0,x-ay=0,b-cexp(xy)=0,當(dāng)a，b，c均正且b>c時，系統(tǒng)具有2個平衡點(diǎn)：

將系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處線性化，可得Jacobian矩陣為

(2)

當(dāng)參數(shù)a=1.8，b=10，c=3時，對于平衡點(diǎn)S1和S2，由|λI-JS|=0可得JS所對應(yīng)的特征值均為λ1=-2.671 0,λ2=0.435 5+j2.970 8,λ3=0.435 5-j2.970 8。此時λ1具有負(fù)實(shí)部，λ2,λ3是一對含有正實(shí)部的共軛復(fù)根，所以平衡點(diǎn)S1,S2全部是不穩(wěn)定鞍焦點(diǎn)。

圖1 參數(shù)a=1.8, b=10, c=3，時系統(tǒng)(1)的相圖 (a) xyz三維空間相圖，(b) xy二維平面相圖，(c) xz二維平面相圖，(d) yz二維平面相圖

2.4Lyapunov指數(shù)(LE)譜與分岔圖

Lyapunov指數(shù)是描述系統(tǒng)軌線相互吸引和相互排斥特征的定量指標(biāo)，最大Lyapunov指數(shù)更是判斷系統(tǒng)是否為混沌的一個重要依據(jù)。本次研究采用Jacobian矩陣的方法計算系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)，求得a=1.8,b=10,c=3時系統(tǒng)(1)的3個Lyapunov指數(shù)分別為LE1=0.368 2,LE2=0,LE3=-2.162 9，表明此時系統(tǒng)為混沌的。系統(tǒng)(1)的Lyapunov維數(shù)為

(3)

由此可見，系統(tǒng)的維數(shù)為分?jǐn)?shù)維數(shù)，進(jìn)一步驗(yàn)證了系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)。

下面用Lyapunov指數(shù)(LE)譜和系統(tǒng)分岔圖分析參數(shù)變化對系統(tǒng)狀態(tài)的影響。

情況1：固定參數(shù)b=10，c=3，改變參數(shù)a，a∈[0,2]。

當(dāng)a在[0, 2]范圍內(nèi)變化時，圖2給出了系統(tǒng)的LE譜。當(dāng)a∈[0, 0.44]時，最大LE有時等于0，有時大于0，此時系統(tǒng)為周期運(yùn)動與混沌運(yùn)動相互交替出現(xiàn)；當(dāng)a∈(0.44, 2]時，除個別點(diǎn)最大LE等于0，系統(tǒng)為周期運(yùn)動，其他點(diǎn)處均有1個大于0的LE，1個等于0的LE和1個小于0的LE，系統(tǒng)是混沌的。當(dāng)a在[0, 2]變化時，x的分岔圖如圖3所示，由分岔圖也可以判斷出類似上面分析的結(jié)果。

圖2 當(dāng)a變化時系統(tǒng)的LE譜 圖3 當(dāng)a變化時x的分岔圖

情況2：固定參數(shù)a=1.8，c=3，改變參數(shù)b，b∈[0, 12]。

當(dāng)b在[0, 12]變化時，系統(tǒng)的LE譜和分岔圖如圖4所示。由圖4(a)可以看出，當(dāng)b∈[0, 3]或[4.5, 5.9]時，最大LE等于0，此時系統(tǒng)為周期運(yùn)動；當(dāng)b∈(3, 4.5)時，最大LE有時等于0，有時大于0，此時系統(tǒng)為周期運(yùn)動與混沌運(yùn)動相互交替；當(dāng)b∈(5.9, 12]時，有1個LE大于0， 1個LE等于0，此時系統(tǒng)為混沌的。由圖4(b)也可得出相同的判斷。

圖4 當(dāng)b變化時系統(tǒng)的LE譜及關(guān)于x的分岔圖 (a) LE譜，(b) 關(guān)于x的分岔圖

情況3：固定參數(shù)a=1.8，b=10，改變參數(shù)c，c∈[0, 15]。

當(dāng)c在[0, 15]變化時，系統(tǒng)的LE譜和分岔圖如圖5所示。由圖5(a)可以看出，當(dāng)c∈[0, 7.8]時，1個LE大于0， 1個LE等于0，此時系統(tǒng)為混沌的；當(dāng)c∈(7.8, 8.7]或[10, 15]時，最大LE等于0，此時系統(tǒng)是周期的；當(dāng)c∈(8.7, 10)時，最大LE有時等于0，有時大于0，此時系統(tǒng)為周期運(yùn)動與混沌運(yùn)動交替出現(xiàn)。由圖5(b)也可得出相同的判斷。

圖5 當(dāng)c變化時系統(tǒng)的LE譜及關(guān)于x的分岔圖 (a) LE譜，(b) 關(guān)于x的分岔圖

2.5Poincaré截面

系統(tǒng)復(fù)雜的混沌動力學(xué)行為也可以由Poincaré截面法進(jìn)行直觀有效的觀察和分析。當(dāng)參數(shù)a=1.8，b=10，c=3時，系統(tǒng)(1)有一個LE大于0，可知系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，圖6展示了此時系統(tǒng)在xoy截面上的Poincaré映像。由圖6可以清晰地看到，Poincaré截面上的點(diǎn)連成線狀或形成片狀，并且可以清晰地看見吸引子的葉片，進(jìn)一步說明系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動狀態(tài)。

固定參數(shù)a=1.8，b=4.5，c=3，系統(tǒng)有一個LE等于0，另外2個LE小于0，可知系統(tǒng)為周期的，圖7展示了在這組參數(shù)下系統(tǒng)在y=0這個截面上的Poincaré映像。從圖7可以看到，截面上僅有6個孤立的點(diǎn)，說明此時系統(tǒng)處于周期運(yùn)動狀態(tài)。這從系統(tǒng)的LE譜也得以驗(yàn)證。

圖6 參數(shù)為(2)式時Poincaré映像 圖7 當(dāng)a=1.8, b=4.5, c=3時的Poincaré映像

3 結(jié) 論

本次研究了一個新的帶有指數(shù)函數(shù)形式非線性項的三維自治混沌系統(tǒng)。該系統(tǒng)具有3個參數(shù)，2個非線性項，其中1個非線性項為指數(shù)函數(shù)形式，其吸引子的形狀與Lorenz混沌系統(tǒng)、Chen混沌系統(tǒng)、Lü混沌系統(tǒng)等傳統(tǒng)混沌吸引子是不同的。通過數(shù)值仿真、平衡點(diǎn)分析、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖、Poincaré截面圖等幾個方面，對系統(tǒng)復(fù)雜的動力學(xué)特征進(jìn)行了研究，系統(tǒng)豐富的混沌特性得到了驗(yàn)證。

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(責(zé)任編輯：朱寶昌)

Analysis of a New Chaotic System with Exponential Term

MAO Xue-zhi1，YANG Xiao-jing1，MA Hui-quan1，ZHOU Jian-liang2

(1 School of Mathematics and Information Science & Technology,Institute of Mathematics and Systems Science,Hebei Normal University of Science & Technology,Qinhuangdao Hebei，066004;2 Chang li Huiwen No. 1 Middle School;China)

In this paper, a new chaotic system is constructed, and it is different from the Lorenz system, Chen system and Lü system. The new system includes three parameters, and the nonlinear terms are made up of one product term and one exponential form. The complex dynamic properties are researched by methods of numerical simulation, analysis of equilibrium points, Lyapunov exponent spectrum, bifurcation diagrams and Poincaré section diagrams.

chaotic system;Lyapunov exponent;Poincaré section;exponential function

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2015.02.002

河北省自然科學(xué)基金資助項目(項目編號:A2015407063)；河北科技師范學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科和科研創(chuàng)新團(tuán)隊建設(shè)經(jīng)費(fèi)資助項目(項目編號:CXTD2012-08)。

2015-03-30; 修改稿收到日期: 2015-05-13

O415.5

A

1672-7983(2015)02-0007-05

毛學(xué)志(1969-)，男，副教授。主要研究方向：混沌系統(tǒng)，群集系統(tǒng)。