奉勇輝, 劉道軍

(上海師范大學(xué) 天體物理研究中心,上海 200234)

真空無(wú)奇點(diǎn)黑洞的擬正則模:無(wú)質(zhì)量標(biāo)量場(chǎng)擾動(dòng)

奉勇輝, 劉道軍

(上海師范大學(xué) 天體物理研究中心,上海 200234)

摘要:研究帶有de Sitter中心的球?qū)ΨQ(chēng)黑洞在標(biāo)量場(chǎng)擾動(dòng)下的擬正則模.幾何上來(lái)講,這種黑洞在半徑r很大的時(shí)候趨近與史瓦西解形式,在r 趨于0 的時(shí)候是de Sitter 解形式的.在這里通過(guò)變化參數(shù)r0 (它與宇宙學(xué)常數(shù)有關(guān)),角量子數(shù)l,泛音數(shù)n和黑洞質(zhì)量M 來(lái)研究這個(gè)黑洞的擬正則模ω .計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn):擬正則模在隨r0 的變化出現(xiàn)極大值和極小值,同時(shí)對(duì)于一定范圍的r0,當(dāng)擬正則模隨泛音數(shù)n變化時(shí)也會(huì)出現(xiàn)極值現(xiàn)象,這是值得關(guān)注的.

關(guān)鍵詞:真空無(wú)奇點(diǎn)黑洞; 擬正則模; 6階WKB近似

黑洞是愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的重要預(yù)言之一.根據(jù)霍金和彭羅斯的黑洞奇點(diǎn)理論[1],黑洞中不可避免地存在時(shí)空奇點(diǎn).然而,奇點(diǎn)的存在使一切物理定律在這里都失效.因此,怎樣避免黑洞中的奇點(diǎn)是非常重要的研究方向.1968 年Bardeen 構(gòu)造了第一個(gè)無(wú)奇點(diǎn)黑洞,即存在事件視界的無(wú)奇點(diǎn)的黑洞,而且滿足弱能量條件[2].盡管Bardeen 黑洞在理論上是自洽的,但它在物理解釋上一直不令人滿意.原因是愛(ài)因斯坦方程在中心處不存在真空解,如果要得到真空解必須引入額外的物質(zhì)形式或者修改引力.直到Ayon-Beato 和Garcia[3]把它解釋為與某種非線性磁單極子耦合的引力場(chǎng),Bardeen 黑洞才得到大家的重視.

1992年,Dymnikova根據(jù)一個(gè)特殊形式的球?qū)ΨQ(chēng)的真空能動(dòng)張量獲得愛(ài)因斯坦方程的一個(gè)精確解析解,當(dāng)r足夠大時(shí),它與史瓦西解一致,當(dāng)r很小時(shí),它的性質(zhì)與de Sitter 解類(lèi)似,但它在任何地方都不存在奇點(diǎn)[4].這個(gè)愛(ài)因斯坦方程解沒(méi)有用到電動(dòng)力學(xué)或其他的理論,所以通過(guò)對(duì)這個(gè)黑洞的擾動(dòng)的擬正則模的研究,將有助于了解對(duì)不帶電的無(wú)奇點(diǎn)黑洞的性質(zhì).

眾所周知,存在于人們周?chē)拿總€(gè)物體當(dāng)它們受到擾動(dòng)時(shí)都產(chǎn)生專(zhuān)屬于自己的振動(dòng)的特征模.當(dāng)黑洞受到物質(zhì)場(chǎng)的擾動(dòng)時(shí),它會(huì)以引力波的形式產(chǎn)生輻射,從而產(chǎn)生屬于自己的振動(dòng)特征模.一般情況下只考慮線性微擾,這樣擾動(dòng)的能動(dòng)張量在黑洞的背景度規(guī)中通過(guò)最低階的線性近似才能被忽略不計(jì).引力波在時(shí)空中的演化可以恰當(dāng)?shù)胤譃?個(gè)階段,引力波的初始爆發(fā)階段,此階段依賴(lài)于擾動(dòng)的初始條件,持續(xù)時(shí)間短,因此一般不作為研究對(duì)象.擬正則模階段,屬于較長(zhǎng)時(shí)間的固有振蕩的衰減期,它與初始條件無(wú)關(guān),是黑洞的內(nèi)稟振蕩.晚期拖尾階段,這個(gè)階段引力波的衰減受到黑洞遠(yuǎn)處時(shí)空的反向散射,對(duì)于漸進(jìn)平坦黑洞,擬正則模的衰減被冪律形式的衰減代替.

近年來(lái),黑洞(包括非廣義相對(duì)論中的黑洞)的擬正則模得到了廣泛研究比如[5-6],這方面的詳細(xì)綜述可見(jiàn)[7-8].其原因首先源于實(shí)驗(yàn)的興趣.在不久的將來(lái)引力波很可能被LIGO,VIRGO和LISA 等引力探測(cè)器探測(cè)到.由于擬正則模只與黑洞的物理性質(zhì)有關(guān),所以這些探測(cè)將有助于鑒別黑洞的物理特性.另一方面則由于Ads/CFT 對(duì)應(yīng).AdS/CFT為應(yīng)對(duì)一些困難的問(wèn)題提供了新的思考問(wèn)題的角度,例如黑洞信息不守恒,黑洞奇點(diǎn)的性質(zhì)和量子引力等[9].在計(jì)算擬正則模方面,主要有連分?jǐn)?shù)法,WKB 近似,Poshl-Teller 勢(shì)近似法,半解析的單值法等等,這方面的詳細(xì)綜述可見(jiàn)[10].這里本文作者應(yīng)用Konoplya 給出的六階WKB近似公式計(jì)算擬正則模[11].

1真空無(wú)奇點(diǎn)黑洞的無(wú)質(zhì)量標(biāo)量場(chǎng)擾動(dòng)

在這一節(jié),將引入真空無(wú)奇點(diǎn)黑洞的無(wú)質(zhì)量標(biāo)量場(chǎng)的擾動(dòng).真空無(wú)奇點(diǎn)黑洞的度規(guī)[4]

(1)

其中,G=c=1,

(2)

彎曲空間中的無(wú)質(zhì)量標(biāo)量場(chǎng)Φ滿足克萊因-高登方程

(3)

上式可以通過(guò)假設(shè)標(biāo)量方程Φ分離變量,

(4)

(5)

其中

(6)

這里l是球諧函數(shù)的角動(dòng)量量子數(shù).當(dāng)r→,x→∞ 而且r→r+,x→+∞.所以,滿足物理性質(zhì)的邊界條件為

(7)

如前文所述,真空無(wú)質(zhì)量黑洞當(dāng)r足夠大時(shí),它與史瓦西解一致,當(dāng)r適當(dāng)小時(shí),它的性質(zhì)與de Sitter 解類(lèi)似,但它在任何地方都不存在奇點(diǎn).而其擬正則模只與黑洞視界的外部有關(guān),度規(guī)函數(shù)f(r)和有效勢(shì)V(r) 隨相關(guān)參數(shù)的變化如圖1和圖2所示:

從圖1和圖2可以看出,有效勢(shì)在視界視界外是正定的.因此,根據(jù)錢(qián)德拉塞卡的觀點(diǎn),真空無(wú)奇點(diǎn)黑洞在無(wú)質(zhì)量標(biāo)量場(chǎng)的擾動(dòng)下是穩(wěn)定的[12].

2六階WKB近似法計(jì)算擬正則模

應(yīng)用六階WKB近似公式計(jì)算擬正則模.由上節(jié)給出的有效勢(shì)公式,可以計(jì)算真空無(wú)奇點(diǎn)黑洞的擬正則模如下[11],

(8)

其中V0是有效勢(shì)的最大值,V0″是有效勢(shì)最大值處的二次導(dǎo)數(shù)的值.Λ2,Λ3可以在S.Iyer和C.M Wil的文章[13]中找到,Λ4,Λ5,Λ6可以在 Konoplya的文章[11]中得到.這里n是泛音數(shù),擬正則模記作w=wR-wI.

下面計(jì)算真空無(wú)奇點(diǎn)黑洞的擬正則模隨質(zhì)量M的變化結(jié)果如圖3和圖4.

從圖3和圖4可以看出,隨著質(zhì)量M的增大,擬正則模的實(shí)部和虛部也同時(shí)減小.它們的變換與史瓦西黑洞的情況相同.對(duì)比Bardeen 黑洞的擬正則模也具有相同的性質(zhì)[14].

下面,計(jì)算真空無(wú)奇點(diǎn)黑洞的擬正則模隨角量子數(shù)l的變化,結(jié)果如圖5~6所示.這里要注意,WKB 近似方法在l>n時(shí)的計(jì)算結(jié)果更為精確,所以選擇泛音數(shù)n=1作為比較.

從圖5~6可以看出,對(duì)于n=1,擬正則模的實(shí)部隨角量子數(shù)l的增加呈線性增加,虛部隨角量子數(shù)l的增加而減小,最終隨角量子數(shù)l的增大趨于一個(gè)穩(wěn)定值.對(duì)比S.Fernando 和J.Correa 計(jì)算的Bardeen黑洞的擬正則模也存在相同的變換性質(zhì)[14].

3結(jié)論

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(責(zé)任編輯：顧浩然)

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Quasinormal mode of a vacuum non-singular black hole:masslesssscalar perturbationsFENG Yonghui, LIU Daojun

(Shanghai United Center for Astrophysics,Shanghai Normal University,Shanghai 200234,China)

Abstract: :In this paper,we investigate quasinormal mode(QNM) of the spherically symmetric BH with de Sitter centre due to scalar perturbations.This BH is,geometrically,asymptotically Schwarzschild for large r and asymptotically de Sitter as r → 0.We analyze the QNM ω by varying the parameter r0 (it is related to cosmological constant),spherical harmonic index l,overtune n and the BH mass M. According to calculations,we find that the QNM Lhave maximum and minimum with a changing r0,and for some r0 it is worthy to attention that the QNM have extreme with a changing overtune n

Key words:vacuum non-singular BH; QNM; 6-order WKB approximation

通信作者:奉勇輝,中國(guó)上海市徐匯區(qū)桂林路100號(hào),上海師范大學(xué)天體物理研究中心,郵編:200234,E-mail:1046240759@qq.com

基金項(xiàng)目:上海市自然科學(xué)基金項(xiàng)目(12ZR1421700)

收稿日期:2014-11-12

中圖分類(lèi)號(hào):P 142.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1000-5137(2015)02-0122-05