劉小寧，劉岑，張紅衛(wèi)，劉兵，袁小會，陳剛

1.武漢軟件工程職業(yè)學院機械工程學院，湖北 武漢 430205；2.武漢工程大學機電工程學院，湖北 武漢 430205

單層與多層球形容器爆破壓力的概率分布

劉小寧1，2，劉岑2，張紅衛(wèi)1，劉兵1，袁小會1，陳剛1

1.武漢軟件工程職業(yè)學院機械工程學院，湖北 武漢 430205；2.武漢工程大學機電工程學院，湖北 武漢 430205

為了建立壓力容器可靠性設(shè)計方法，基于59組實測數(shù)據(jù)，應用數(shù)理統(tǒng)計理論與方法，定量分析了材料屈強比范圍為0.336 2~0.847 5與徑比范圍為1.053~1.257的單層與多層球形容器爆破壓力的概率分布.結(jié)表明，在顯著度為0.05時，其爆破壓力的實測值與中徑公式計算值之比，是基本符合正態(tài)分布的隨機變量；在雙側(cè)置信度為98%時，該隨機變量的均值為1.001 3~1.049 7，標準差為0.068 95~0.095 95；在可靠度為99.98%時，爆破壓力的實測值與中徑公式計算值與之比為0.644 5~1.358 1.

單層與多層；球形容器；爆破壓力；中徑公式；概率分布

0 引言

球形容器是壓力容器的常見類型，也是石油、化工、醫(yī)藥與能源等行業(yè)的常用設(shè)備.球形容器的結(jié)構(gòu)可分為單層與多層兩種形式.目前，工程上采用確定性方法設(shè)計球形容器，即采用中徑公式計算球形容器爆破壓力并確定容器壁厚［1-2］.

由于容器的幾何尺寸、容器制造材料的抗拉強度存在隨機不確定性［3］，因此，基于隨機不確定性，探索球形容器爆破壓力概率分布，是建立壓力容器可靠性設(shè)計方法的基礎(chǔ)，也是工程界研究的熱點課題［4－7］.分析球形容器爆破壓力概率分布包括兩方面，一是研究爆破壓力分布規(guī)律，即分析其概率密度函數(shù)的形式，二是探討分布參數(shù)的取值范圍.對于用相同材料制造的單層與多層球形容器，文獻［8-9］基于少量試驗數(shù)據(jù)，定性分析了其爆破壓力的分布規(guī)律與參數(shù).

文中以用相同或者不同材料制造的單層與多層球形容器為研究對象，基于容器爆破壓力的59組試驗數(shù)據(jù)［10－12］，應用數(shù)理統(tǒng)計理論與方法［3，13－16］，定量研究了球形容器爆破壓力的分布規(guī)律與分布參數(shù)的取值范圍.

1 理論分析

1.1 球形容器爆破壓力計算公式

為研究方便，對球形容器作如下基本假設(shè)：1）球形容器有n層，每層球殼材料有足夠韌性，不發(fā)生低應力破壞；2）在內(nèi)壓作用下，每層球殼變形后形狀保持不變，材料的壓縮可忽略不計；3）每層球殼的間隙足夠小，即容器各層球殼同時爆破，多層球形容器的爆破壓力為每層球殼爆破壓力之和.

如果不考慮有關(guān)因素的不確定性，采用中徑公式時，球形容器爆破壓力的計算值ub為

式（1）中，ub為采用中徑公式（1）得到的球形容器爆破壓力計算值，MPa；Rmi為第i層球殼材料抗拉強度的均值，MPa；Ki為第i層球殼徑比的均值，Ki＝Di＋1／Di；Di、Di＋1分別為第i層球殼內(nèi)、外直徑的均值；φi為第i層球殼焊接接頭系數(shù)的均值.

如果考慮有關(guān)因素的不確定性，用中徑公式可得到球形容器爆破壓力的預測值ub/為

1.2 構(gòu)建具有統(tǒng)計性質(zhì)的隨機變量

為分析球形容器爆破壓力的概率分布，構(gòu)建如下隨機變量：

式（3）中，Pb為球形容器爆破壓力的實測值，MPa；r為與式（1）對應的隨機變量；r1為容器爆破壓力實測值與預測值的比值；r2為容器爆破壓力預測值與計算值的比值.

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計理論［3，13－15］，當r1和r2基本符合正態(tài)分布時，r也基本符合正態(tài)分布時，如果已知r1和r2在（1－α）的雙側(cè)置信度時分布參數(shù)范圍

式（4～5）中，μ1、μ2分別為r1、r2的均值；S1、S2分別為r1、r2的標準差.在一定置信度下，上標l與u分別表示分布參數(shù)的較小值與較大值.

根據(jù)可靠性理論與方法［3，14-15］，在（1－α）的雙側(cè)置信度時，r的參數(shù)范圍由式（4）與式（5）可得

式（7）中，μ、S分別為r的均值與標準差.

1.2.1 r1的概率分布當r1基本符合正態(tài)分布時，其分布參數(shù)必須由容器爆破壓力實測值與預測值的比值來確定，對于m組有效實測數(shù)據(jù)，根據(jù)式（3）可得到第j組實驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量為

式（8）中，Pbj為第j組容器爆破壓力的實驗值，MPa；Ubj′為第j組容器爆破壓力預測值，MPa.

r1的準確度與精密度分別為

在（1－α）的雙側(cè)置信度時，r1的均值與標準差的分布區(qū)間為［3，14-15］

式（11）中，tm－1，0．5α，tm－1，1－0．5α分別是單側(cè)置信度為0．5α與（1－0．5α）時的t分布系數(shù).

式（12）中，χ2m-1,1-0.5α，χ2m-1,0.5α分別是單側(cè)置信度為（1－0．5α）與0．5α時的χ2分布系數(shù).

文中所用的有關(guān)系數(shù)如表1所示［3，13－15］.

表1 系數(shù)Table 1 Coefficient

1.2.2 r2的概率分布由于影響爆破壓力預測值的物理量是隨機變量，有關(guān)國家通過標準限制這些物理量的誤差范圍，把其控制在允許值內(nèi)，因此，r2基本符合正態(tài)分布.對于按標準設(shè)計、制造與檢驗的球形容器［1－2］，在雙側(cè)置信度為（1－α）時，r2的均值與標準差的分布區(qū)間為［8-9］

1.2.3 r分布的概率密度函數(shù)根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計理論［3，13－15］，當r1、r2基本符合正態(tài)分布時，r也基本符合正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為

1.3 Pb的概率分布

在相同的試驗條件時，爆破壓力的計算值ub是確定量，如果Pb也基本符合正態(tài)分布，取雙側(cè)置信度為（1－α），根據(jù)式（1）、式（3）、式（6）與式（7）可知，Pb的均值與標準差的分布區(qū)間為

式（16～17）中，μpb、σpb分別為Pb的均值與標準差.

Pb分布的概率密度函數(shù)為

將式（16）與式（17）代入式（18）可得

若試驗條件相同，由式（1）得到的爆破壓力計算值ub是確定量，根據(jù)式（19）可知，Pb與r的分布規(guī)律相同，即Pb基本符合正態(tài)分布，但是兩者的分布參數(shù)不同.

1.4 Pb的取值區(qū)間

根據(jù)式（16）與式（17），取Pb最苛刻的分布參數(shù)為（μlub，Suub）時，爆破壓力的實測值位于取值區(qū)間

的可靠度為

式（21）中，β為可靠度系數(shù)；φ（β）為標準正態(tài)積分.

2 概率分布的假設(shè)檢驗與分布參數(shù)

2.1 實測數(shù)據(jù)及有效性分析

文獻［10］提供了4組單層球形容器爆破壓力實測數(shù)據(jù)，文獻［11］提供了7組由相同或者不同材料制造的多層球形容器爆破壓力實測數(shù)據(jù)，有關(guān)的試驗數(shù)據(jù)如表2所示.關(guān)于r1統(tǒng)計量的準確度與精密度如表3所示.

表2 單層與多層球形容器的爆破壓力試驗數(shù)據(jù)Table 2 Single-layer and multilayer spherical vessel burst pressure test data

表3 r1的統(tǒng)計數(shù)據(jù)Table 3 Statistics data of r1

由于試驗數(shù)據(jù)有效性對物理量概率分布的分析有重要影響［13－15］，因此，在雙側(cè)置信度為98%時，必須分析表2中試驗數(shù)據(jù)的有效性.采用文獻［14］的方法可知，有效性判別指標的絕對值均小于t10，0．99（等于2．764），表明有98%的把握認為表2中試驗數(shù)據(jù)都是有效的.

2.2 r1概率分布的假設(shè)檢驗

對r1概率分布可采用假設(shè)檢驗的方法為［3，14－16］，假設(shè)r1基本符合正態(tài)分布，根據(jù)11個有效試驗數(shù)據(jù)，因為1＋3．3lg11＝4．44，因此，把r11、r12、…、r111分為4個區(qū)間，其f＝4－1－2＝1，取δ＝0．05，由表1可知，皮爾遜統(tǒng)計量的允許值χ21，0.05＝3．841.每個分組區(qū)間的皮爾遜統(tǒng)計量之和如表4所示.

由表4可知，當用式（1）計算球形容器爆破壓力時，r1的皮爾遜統(tǒng)計量χ2σ為0．675 2，小于臨界值3．841，表明在顯著度為0．05時，r1基本符合正態(tài)分布.

表4 r1的皮爾遜統(tǒng)計量χ2σTable 4 Statistic χ2σof r1

2.3 r分布參數(shù)的取值區(qū)間

當球形容器材料屈強比范圍為0．591 9～0．847 5，徑比范圍為1．053～1．128時，由于r1基本符合正態(tài)分布，因此，取雙側(cè)置信度為98%，將表3中有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)代入式（11）與式（12），得到r1分布參數(shù)的取值區(qū)間

由以上分析可知，r基本符合正態(tài)分布，將式（22）、式（23）、式（13）、式（14）代入式（6）與式（7），可得到r分布參數(shù)在雙側(cè)置信度為98%時的取值區(qū)間

2.4 Pb的概率分布

根據(jù)以上分析，r1與r基本符合正態(tài)分布，因此，用式（1）計算球形容器爆破壓力時，Pb基本符合正態(tài)分布，把式（24）與式（25）代入式（16）與式（17），在98%的雙側(cè)置信度時，球形容器爆破壓力Pb參數(shù)的分布區(qū)間

2.5 實測爆破壓力的取值區(qū)間

根據(jù)式（26）與式（27），爆破壓力最苛刻分布參數(shù)為（μlub，Suub）＝（1．001 3ub，0．095 95ub）時，取可靠度為R＝φ（3.719）＝99．98%，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入式（20），可得實測爆破壓力的取值區(qū)間即有99．98%的把握認為，球形容器實測爆破壓力的取值區(qū)間由式（28）確定.

3 驗證

為證明式（28）的正確性，應用文獻［12］提供的48組單層特種球形容器實測爆破壓力進行驗證，如表5所示.

表5 48組單層球形容器實測爆破壓力的驗證Table 5 Verification of 48 groups burst pressure measured of single-layer spherical vessel

由表5可知，48組單層特種球形容器爆破壓力實測值，均在式（28）的取值區(qū)間內(nèi)，表明對于徑比范圍為1．114～1．257與屈強比范圍為0．336 2～0．520 8的單層球形容器，文中的分析與研究也有一定的試驗基礎(chǔ).

4 結(jié)語

對于單層球形容器，以及用相同或者不同材料制造的多層球形容器，基于59組材料屈強比范圍為0．336 2～0．847 5，徑比范圍為1．053～1．257的球形容器爆破壓力的實測數(shù)據(jù)，定量分析與驗證了其爆破壓力概率分布，研究表明：

a．顯著度為5%時，球形容器爆破壓力實驗值與中徑公式計算值的比值，是基本符合正態(tài)分布的隨機變量；在98%的雙側(cè)置信度時，該隨機變量均值的范圍為1．001 3～1．049 7，標準差的范圍為0．068 95～0．095 95.

b．可靠度為99．98%時，球形容器爆破壓力實測值與中徑公式計算值之比不小于0．644 5但不大于1．358 1.

c．用中徑公式計算球形容器爆破壓力，會出現(xiàn)計算值大于實測值的結(jié)果.

致謝

感謝湖北省教育廳科研項目（B2014209）對本研究的資助!

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Probability distribution of burst pressure in single-layer and multi-layer spherical vessel

LIU Xiao-ning1,2，LIU Cen2，ZHANG Hong-wei1，LIU Bing1，YUANG Xiao-hui1，CHEN Gang1
1.School of Mechanical Engineering,Wuhan Polytechnic College of Software and Engineering,Wuhan 430205,China; 2.School of Mechanical and Electrical Engineering,Wuhan Institute of Technology,Wuhan 430205,China

To establish the reliable design method of pressure vessel,the probability distribution of single-layer and multi-layer spherical vessel burst pressure was analyzed;Based on 59 set test data,applying statistical theory and methods,we explored quantitatively the probability distribution of burst pressure of single-layer and multi-layer spherical vessel with the material yield and tensile strength ratio of 0.336 2-0.847 5 and the radius ratio of 1.053-1.257.The results shows that the ratio of the measured burst pressure values and middiameter formula theory value is consistent with the normal distribution of random variables at the saliency of 0.05；the mean values of the random variable are 1.001 3-1.049 7，and the standard deviations are 0.068 95-0.095 95 at two-sided confidence of 98%;the ratios of the measured burst pressure value and the mid-diameter formula calculated value are 0.644 5-1.358 1 when the reliability is 99.98%.

single-layer and multi-layer；spherical vessel;burst pressure；mid-diameter formula;probability distribution

TH 49

A

10.3969/j.issn.1674-2869.2015.07.011

1674－2869（2015）07－0049－06

本文編輯：陳小平

2015－05－07

湖北省教育廳科研資助項目（B2014209）

劉小寧（1963－），男，湖北武漢人.教授，正高職高級工程師.研究方向：機械結(jié)構(gòu)與壓力容器可靠性等.