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        近幾年全國新課標(biāo)卷導(dǎo)數(shù)壓軸題規(guī)律透視

        2016-05-26 14:23:56周啟杰
        關(guān)鍵詞:易知壓軸單調(diào)

        周啟杰

        近幾年全國新課標(biāo)卷對于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的考查,其難點(diǎn)一直圍繞函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)展開,以導(dǎo)數(shù)為工具探究函數(shù)的性質(zhì),借此研究不等式、方程等問題,著重考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,推理論證能力,充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)理性思維的特點(diǎn),從思維的層次性、深刻性、創(chuàng)新性等方面進(jìn)行全面考查,凸顯了高考試題的選拔功能,一直在履行壓軸的使命.本文通過解析近幾年新課標(biāo)卷導(dǎo)數(shù)壓軸題,透視歸納導(dǎo)數(shù)壓軸題的命題規(guī)律.

        類型1不等式恒成立求參數(shù)范圍

        不等式恒成立求參數(shù)范圍是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的熱點(diǎn)問題,常規(guī)方法有分參法、函數(shù)最值法,但新課標(biāo)卷對這類問題的考查卻別有洞天,往往利用函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)的范圍.2010、2011、2013、2014年份的全國新課標(biāo)卷均考查了這種類型.下面以2010、2014年份的試題為例說明.

        例1(2010年新課標(biāo)理科)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

        (1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

        (2)若當(dāng)x≥0時f(x)≥0,求a的取值范圍.

        解析一(1)a=0時,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.

        當(dāng)x∈(-∞,0)時,f′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,0)單調(diào)減少,在(0,+∞)單調(diào)增加.

        (2)f′(x)=ex-1-2ax,

        由(1)知ex≥1+x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,

        從而當(dāng)1-2a≥0,即a≤12時,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)=0,

        于是當(dāng)x≥0時,f(x)≥0.

        由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0).從而當(dāng)a>12時,

        f′(x)

        故當(dāng)x∈(0,ln2a)時,f′(x)<0,而f(0)=0,于是當(dāng)x∈(0,ln2a)時,f(x)<0.

        綜合得a的取值范圍為(-∞,12].

        解析二f′(x)=ex-1-2ax.

        令g(x)=f′(x),則g′(x)=ex-2a.

        ①當(dāng)a≤1[]2[SX)]時,g′(x)≥0恒成立,g(x)在[0,+∞)上遞增,故g(x)≥g(0)=0,

        所以,f′(x)≥0,即f(x)在[0,+∞)上遞增,

        故f(x)≥f(0)=e0-1-0-a·02=0,即f(x)≥0成立.

        ②當(dāng)2a>1,即a>12時,ln2a>0,易知g(x)在(0,ln2a)上遞減,在(ln2a,+∞)上遞增,顯然,在(0,ln2a)上,g(x)≤g(0)=0,所以f′(x)≤0,即f(x)在(0,ln2a)上遞減,f(x)

        綜上得a的取值范圍是(-∞,12].

        說明解法一運(yùn)用了放縮法,技巧性強(qiáng),解題過程簡練;解法二體現(xiàn)了通法.

        例2(2014年新課標(biāo)2理科)

        已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.

        (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

        (Ⅱ)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x),當(dāng)x>0時,g(x)>0,求b的最大值;

        解析一(Ⅰ)f′(x)=ex+e-x-2≥0,等號僅當(dāng)x=0時成立,

        所以f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增.

        (Ⅱ)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,

        g′(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]

        =2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).

        ①當(dāng)b≤2時,g′(x)≥0,等號僅當(dāng)x=0時成立,

        所以g(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增.

        而g(0)=0,所以對任意x>0,g(x)>0.

        ②當(dāng)b>2時,若x滿足2

        即0

        而g(0)=0,

        因此當(dāng)0

        綜上,b的最大值為2.

        解析二(2)由g′(x)=0,即2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2)=0,

        得ex+e-x-2=0或ex+e-x-2b+2=0,

        由ex+e-x-2=0得x=0,

        ①當(dāng)b≤2時,g′(x)≥0,等號僅當(dāng)x=0時成立,

        所以g(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增.

        而g(0)=0,所以對任意x>0,g(x)>0.

        ②當(dāng)b>2時,由ex+e-x-2b+2=0,解得ex=b-1±b2-2b>0,

        解得x=ln(b-1±b2-2b),

        其中x1=ln(b-1+b2-2b)>0,x2=ln(b-1-b2-2b)<0.

        令m(x)=ex+e-x,m′(x)=ex-e-x=0,得x=0,

        易知x>0時,m′(x)>0,x<0時,m′(x)<0,

        即m(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,∞)上是增函數(shù),

        所以x∈(0,x1)時,ex+e-x-2b+2<0,

        則x∈(0,x1)時,g′(x)<0,即g(x)在(0,x1)上單調(diào)遞減,

        而g(0)=0,故x∈(0,x1)時,g(x)<0,

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