張紅濤 周長(zhǎng)江 孫銀方

(①湖南大學(xué)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)與制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410082;②湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410082)

齒輪傳動(dòng)高速、重載、高可靠性方向的發(fā)展，對(duì)承載能力、運(yùn)動(dòng)精度等提出了更高要求。齒輪接觸問(wèn)題是進(jìn)行齒輪研究的重要方向，傳統(tǒng)的強(qiáng)度計(jì)算方法，在處理齒輪復(fù)雜的載荷工況和邊界條件時(shí)存在一定局限。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，以有限元為代表的數(shù)值計(jì)算方法為齒輪強(qiáng)度計(jì)算提供了一種可靠的研究方法。

許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)圓柱直齒輪的建模和加載接觸分析做了大量的研究工作。yonEiffH［1］建立了單齒與三齒的二維有限元模型，研究了輪齒形狀對(duì)齒輪的齒根應(yīng)力的影響。Bibel［2］等采用五齒二維有限元模型，分析了輪緣厚度對(duì)輪齒彎曲應(yīng)力的影響。劉明［3］運(yùn)用切齒嚙合關(guān)系和空間嚙合原理，推導(dǎo)出理論齒面方程，從而建立正確的齒輪模型。楊汾愛(ài)［4］等基于精確模型對(duì)斜齒輪接觸應(yīng)力進(jìn)行了靜力學(xué)求解。楊生華［5］建立了一對(duì)輪齒接觸有限元分析模型，定義了輪齒變形和接觸應(yīng)力的有限元計(jì)算方法。屈文濤［6］利用ANSYS 對(duì)雙圓弧齒輪進(jìn)行了動(dòng)靜態(tài)接觸分析，獲得了接觸應(yīng)力云圖。孫建國(guó)［7］通過(guò)齒輪動(dòng)力接觸有限元分析了輪齒接觸力及嚙入時(shí)的沖擊，并指出修形能夠較大減小沖擊。唐進(jìn)元［8］建立了齒輪傳動(dòng)嚙合接觸沖擊模型，研究了沖擊速度和沖擊位置對(duì)沖擊合力、沖擊時(shí)間及沖擊應(yīng)力的影響。最近，Seok-Chul Hwang［9］等計(jì)算了一對(duì)齒輪在不同嚙合時(shí)刻的接觸應(yīng)力，并和AGMA 標(biāo)準(zhǔn)作對(duì)比，指出AGMA 標(biāo)準(zhǔn)在齒輪設(shè)計(jì)時(shí)比較保守。

上述文獻(xiàn)在接觸分析方面均未探討整個(gè)嚙合周期內(nèi)的接觸應(yīng)力變化。本文以虛擬制造技術(shù)為理論基礎(chǔ)，在計(jì)算機(jī)建模軟件中通過(guò)模擬真實(shí)的加工過(guò)程創(chuàng)建精度較高的圓柱直齒輪幾何模型［10］?；诰_的幾何模型建立了五齒準(zhǔn)靜態(tài)加載接觸有限元模型，研究嚙合周期內(nèi)齒根應(yīng)力與接觸應(yīng)力的變化規(guī)律。再根據(jù)齒輪接觸分析的Hertz 面分布力接觸模型［11］，理論計(jì)算了完整嚙合過(guò)程的齒面接觸應(yīng)力。將有限元計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)在輪齒嚙入嚙出時(shí)刻會(huì)產(chǎn)生較大沖擊應(yīng)力，接觸應(yīng)力與接觸力具有近似的線性關(guān)系。

1 圓柱直齒輪三維幾何模型的建立

1.1 虛擬制造原理

虛擬制造是在計(jì)算機(jī)內(nèi)構(gòu)造虛擬的生產(chǎn)系統(tǒng)模型，進(jìn)行實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程的模擬。在計(jì)算機(jī)仿真環(huán)境下進(jìn)行而不消耗物理資源，對(duì)真實(shí)產(chǎn)品制造的動(dòng)態(tài)進(jìn)行描述。它的主要功能是產(chǎn)品建模、生成仿真環(huán)境。隨著虛擬制造技術(shù)在齒輪建模中的廣泛應(yīng)用，它已成為齒輪建模的一種有效方法。

機(jī)床加工齒輪的過(guò)程實(shí)際就是刀具切削毛坯的過(guò)程。進(jìn)刀過(guò)程中刀具將其和毛坯的重疊區(qū)域切除，連續(xù)多次切削后，便得到齒輪表面，加工出來(lái)的齒面是實(shí)際上由多個(gè)微段曲面構(gòu)成。用計(jì)算機(jī)三維建模軟件模擬齒輪的真實(shí)加工過(guò)程，可得到與實(shí)際加工的齒輪對(duì)應(yīng)的三維幾何模型(圖1)。

根據(jù)實(shí)際機(jī)床加工調(diào)整參數(shù)，在CATIA 軟件中構(gòu)建刀具和毛坯相對(duì)位置關(guān)系，利用布爾運(yùn)算除去齒坯幾何體中與刀具幾何體重疊的區(qū)域，得到齒輪毛坯被刀具切割一次的模型。利用軟件中的宏命令二次開(kāi)發(fā)技術(shù)可實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化連續(xù)切削過(guò)程，最終得到與實(shí)際切割單個(gè)齒槽所對(duì)應(yīng)的模型。以切割后的幾何模型為基準(zhǔn)進(jìn)行齒槽曲面的重構(gòu)，獲得光滑的齒槽曲面，進(jìn)而可獲得完整的齒輪幾何模型。圖1 為螺旋錐齒輪虛擬制造流程。

1.2 齒輪和刀具的基本參數(shù)

本文基于滾齒加工原理和齒輪虛擬制造技術(shù)，在CATIA 中模擬滾齒加工圓柱直齒輪的切削過(guò)程。滾齒加工相當(dāng)于齒輪齒條嚙合，齒條為刀具。齒輪由滾刀加工而成，滾刀為無(wú)凸臺(tái)、壓力角20°的標(biāo)準(zhǔn)滾刀，其法向齒形見(jiàn)圖2，基本參數(shù)見(jiàn)表1，所要加工的圓柱直齒輪基本參數(shù)見(jiàn)表2。

表1 滾刀基本參數(shù)

表2 漸開(kāi)線直齒輪基本參數(shù)

1.3 模擬真實(shí)的齒輪加工過(guò)程

建立如圖3 所示的齒輪與齒條嚙合坐標(biāo)系，動(dòng)坐標(biāo)系X1O1Y1固定在刀具上，X2O2Y2固定在齒坯上。以齒坯為參考，刀具則按一定規(guī)律作平移運(yùn)動(dòng)，同時(shí)繞齒坯軸轉(zhuǎn)動(dòng)。刀具軌跡形成的包絡(luò)線中，直線刃切出漸開(kāi)線，刀刃圓角切出過(guò)渡曲線。

在CATIA 軟件中，利用幾何體平移與旋轉(zhuǎn)命令實(shí)現(xiàn)上述運(yùn)動(dòng)變換，并通過(guò)布爾運(yùn)算和二次開(kāi)發(fā)技術(shù)實(shí)現(xiàn)連續(xù)的切削過(guò)程仿真，最終得到與實(shí)際切割單個(gè)齒槽所對(duì)應(yīng)的齒坯切割模型，如圖4 所示。通過(guò)此方法獲得的切割模型，能反映真實(shí)的加工過(guò)程，并能同時(shí)獲得齒輪的齒廓曲面、過(guò)渡曲面及齒根曲面，但生成的齒廓曲面由微段直線構(gòu)成。這些曲率不連續(xù)的微段曲面構(gòu)成的齒面會(huì)給后續(xù)的有限元分析帶來(lái)困難，有必要對(duì)齒廓微段曲面進(jìn)行重新構(gòu)建。

以切割后的切割跡線為基準(zhǔn)，用NURBS 法對(duì)齒廓曲面進(jìn)行重構(gòu)，獲得光滑的齒廓曲面。擬合齒廓曲面后，進(jìn)行切除、陣列等操作便可得到完整的齒輪幾何模型，如圖5 所示。

1.4 幾何模型精度的檢驗(yàn)

為驗(yàn)證經(jīng)過(guò)虛擬加工創(chuàng)建的圓柱直齒輪幾何模型的正確性，將幾何模型的一些典型參數(shù)值與理論計(jì)算參數(shù)值進(jìn)行對(duì)比，如表3 所示。從表中可以看出，各項(xiàng)典型參數(shù)中的最大誤差僅為0.00115 mm。由此可見(jiàn)利用本方法所創(chuàng)建的模型已經(jīng)達(dá)到比較高的精度，此精確的幾何模型為進(jìn)行齒輪的有限元分析打下了一個(gè)良好的基礎(chǔ)。

表3 齒輪模型典型參數(shù)對(duì)照表

2 齒輪加載接觸有限元求解基本方程

設(shè)發(fā)生接觸的兩個(gè)齒輪為A 和B，加載接觸分析有限元求解的基本方程是有限元求解基本方程加上與接觸條件對(duì)應(yīng)的邊界條件后得到的。設(shè)t 時(shí)刻兩齒輪的體積為tΩ，位移施加的邊界為tΓD，載荷施加的邊界為tΓF，有限元求解基本方程為:

式中:tεij為t 時(shí)刻齒輪A、B 的應(yīng)變張量;tui為t 時(shí)刻齒輪A、B 的位移張量;tσij，i為t 時(shí)刻齒輪A、B 的應(yīng)力張量;為t 時(shí)刻齒輪A、B 的體積力張量;cijkl為彈性常數(shù)，是四階張量。對(duì)于各項(xiàng)同性材料，彈性常數(shù)為彈性模量E 和泊松比υ。

此外，齒輪接觸還必須滿足法向接觸條件和切向接觸條件。法向接觸條件主要是滿足無(wú)穿透約束，即齒輪A 和齒輪B 的位形VA 和VB 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不允許相互貫穿、侵入或覆蓋，可表述為:

式中:tgN表示接觸的兩點(diǎn)間距離;txA、txB分別表示齒輪A 和齒輪B 外表面上任一點(diǎn)在t 時(shí)刻的坐標(biāo);tnB表示齒輪B 外表面法向方向。

切向接觸條件即摩擦力條件。摩擦模型包括庫(kù)侖摩擦模型、界面本構(gòu)方程與粗糙-潤(rùn)滑模型，工程應(yīng)用中廣泛采用庫(kù)侖摩擦模型。齒輪切向接觸條件庫(kù)侖摩擦模型為:

3 齒輪嚙合準(zhǔn)靜態(tài)接觸建模與分析

3.1 齒輪嚙合準(zhǔn)靜態(tài)接觸建模

當(dāng)齒輪加載過(guò)程進(jìn)行的每一瞬間，系統(tǒng)都接近于平衡狀態(tài)，整個(gè)過(guò)程可以看成是由一系列極接近平衡的狀態(tài)所構(gòu)成，這種過(guò)程稱(chēng)為準(zhǔn)靜態(tài)嚙合過(guò)程。準(zhǔn)靜態(tài)嚙合過(guò)程主要考慮齒輪副加載時(shí)的接觸狀態(tài)，以及齒面和齒根的應(yīng)力變化規(guī)律，不計(jì)齒輪副慣性的影響。

在ABAQUS 中建立五齒三維準(zhǔn)靜態(tài)分析齒輪模型。采用8 節(jié)點(diǎn)六面體單元對(duì)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，對(duì)接觸區(qū)域及齒根部位進(jìn)行細(xì)化處理。根據(jù)文獻(xiàn)［12］中提出的“有效邊界”法，確定五齒模型邊界，有限元網(wǎng)格模型如圖6 所示。

計(jì)算所用齒輪幾何參數(shù)見(jiàn)表2，齒輪材料參數(shù)見(jiàn)表4。從動(dòng)輪施加扭矩T=100 N·m，齒輪傳動(dòng)比i=1，標(biāo)準(zhǔn)安裝，不計(jì)軸、軸承及箱體變形。

表4 齒輪材料參數(shù)

邊界條件施加中，在齒輪側(cè)面、內(nèi)圈和軸線上的參考點(diǎn)建立運(yùn)動(dòng)耦合關(guān)系。給主動(dòng)輪施加0.42rad 位移約束，加載時(shí)間1 s;其他方向自由度全約束，即保證主動(dòng)輪以很小轉(zhuǎn)速運(yùn)動(dòng)。從動(dòng)輪施加軸線方向固定扭矩，釋放軸線自由度，其他方向自由度全約束，即可實(shí)現(xiàn)主動(dòng)輪緩慢驅(qū)動(dòng)從動(dòng)輪運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。

3.2 計(jì)算結(jié)果與分析

(1)齒面接觸力變化

分析結(jié)束后，在ABAQUS 歷史場(chǎng)輸出中提取相鄰三個(gè)接觸對(duì)的接觸合力，得到嚙合輪齒在一個(gè)完整的嚙合周期內(nèi)的接觸力變化規(guī)律，如圖7 所示。

由圖中3 個(gè)接觸對(duì)上的接觸力可看出，每對(duì)齒輪的受載荷歷程基本一致。齒數(shù)較多及齒面承載致使重合度增大，單齒嚙合時(shí)間較短，其中單嚙區(qū)最大接觸力為1182 N。齒輪在嚙入點(diǎn)和嚙出點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生嚙合沖擊，導(dǎo)致該位置的嚙合力突然增大。

(2)實(shí)際重合度計(jì)算

重合度在齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性和承載能力方面起著重要的作用。漸開(kāi)線圓柱直齒輪的重合度ε 的計(jì)算公式為

式中:z1、z2為兩齒輪齒數(shù);αa1、αa2為兩齒輪齒頂圓壓力角;α'為嚙合角。齒輪在實(shí)際傳動(dòng)過(guò)程中，載荷的大小對(duì)齒面接觸區(qū)的形狀和大小有較大的影響，從而影響重合度的大小，而式(6)未考慮齒輪的加工參數(shù)和載荷對(duì)其的影響。因此，式(6)是對(duì)重合度的近似解。

通過(guò)齒輪在嚙合的過(guò)程中齒面接觸力存在的時(shí)間長(zhǎng)短，可以計(jì)算實(shí)際重合度ε'的大小。其公式為

式中:ΔT 為單個(gè)輪齒接觸時(shí)間;ΔT'為相鄰兩個(gè)輪齒在開(kāi)始接觸的時(shí)間之差，如圖7 中所示。

根據(jù)有限元計(jì)算結(jié)果知，ΔT=0.48s，ΔT'=0.25s，由式(7)計(jì)算可得ε'=1.92。而根據(jù)式(6)計(jì)算的重合度ε=1.78?？芍?，由于齒輪加載過(guò)程中載荷等因素的影響，實(shí)際重合度稍大于理論重合度。

(3)齒根最大應(yīng)力

圖8 為齒輪嚙合過(guò)程中某位置的應(yīng)力云圖。當(dāng)齒輪嚙合到單嚙上界點(diǎn)時(shí)，齒根危險(xiǎn)截面最大拉應(yīng)力為38.17 MPa。將仿真計(jì)算結(jié)果與Charbert［13］、Niemann［14］和Fillize［15］等提出的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行比較，見(jiàn)表5 所示?？梢钥闯霰疚牡挠?jì)算結(jié)果比較合理。

表5 齒根最大拉應(yīng)力對(duì)照表

4 基于Hertz 接觸的齒面接觸應(yīng)力計(jì)算

齒輪承載傳動(dòng)時(shí)，隨著嚙合點(diǎn)位置的改變，齒廓接觸點(diǎn)的曲率半徑也跟著改變，并且嚙合區(qū)域會(huì)產(chǎn)生彈性變形，嚙合線將擴(kuò)展成為嚙合接觸區(qū)。由于齒輪嚙合共軛接觸面的變曲率特點(diǎn)，及有限寬度輪齒兩端的應(yīng)力集中、輪齒變形較小等，實(shí)際嚙合區(qū)域在平面內(nèi)投影后趨近于橢圓面接觸模型，如圖9 所示。

齒輪傳動(dòng)的嚙合力分解為Hertz 接觸面分布力，齒廓上嚙合點(diǎn)的受力狀況可等效為兩個(gè)半徑分別為接觸點(diǎn)曲率半徑ρ1和ρ2的當(dāng)量圓柱體接觸，具體情況見(jiàn)圖10 所示。

從圖10 中容易得出:

式中:d'1、d'2為小齒輪及大齒輪的節(jié)圓半徑;α't為端面嚙合角。

在此采用彈性接觸的Hertz 理論確定嚙合齒面間的接觸區(qū)域形狀和大小。由于接觸橢圓狹長(zhǎng)的特點(diǎn)，將橢圓面規(guī)則化為長(zhǎng)度為齒寬b、寬度為Hertz 接觸寬度2a 的矩形。單位齒寬上法向載荷下，根據(jù)Hertz 理論，得到受載輪齒半接觸寬度a 和接觸齒對(duì)的最大接觸應(yīng)力σH為

式中:ρ1、ρ2分別為兩齒輪接觸表面在嚙合處的曲率半徑;E1、E2為接觸齒對(duì)的彈性模量;μ1、μ2為接觸齒對(duì)的泊松比;K 為載荷系數(shù);Fn為齒面法向載荷;b 為齒寬。

齒輪嚙合的過(guò)程中，隨著齒輪接觸位置的變化，齒面法向載荷也在變化，將有限元加載接觸分析得到接觸齒對(duì)在整個(gè)嚙合過(guò)程中的實(shí)際接觸力(圖6)作為Hertz 接觸應(yīng)力的計(jì)算載荷，根據(jù)式(10)可得到一個(gè)輪齒完整嚙合過(guò)程中的Hertz 接觸應(yīng)力變化情況。

圖11 是一個(gè)輪齒完整嚙合過(guò)程中有限元數(shù)值解與赫茲接觸的接觸應(yīng)力變化圖。兩者相比，變化趨勢(shì)基本一致。由圖知，有限元解因模擬齒輪運(yùn)動(dòng)，輪齒變形對(duì)接觸應(yīng)力的影響，比赫茲接觸要大，應(yīng)力曲線波動(dòng)較大。當(dāng)齒輪進(jìn)入或退出嚙合時(shí)，輪齒存在邊緣接觸，產(chǎn)生嚙入嚙出沖擊。且在嚙入點(diǎn)產(chǎn)生較大沖擊［16］，沖擊應(yīng)力達(dá)400 MPa。輪齒從開(kāi)始進(jìn)入嚙合向單嚙區(qū)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，接觸應(yīng)力逐漸增大，在單嚙區(qū)達(dá)到最大。單嚙區(qū)有限元數(shù)值計(jì)算接觸應(yīng)力最大值為545 MPa 左右，比Hertz 解偏大10%，這是由于有限元解求解時(shí)存在齒輪變形和動(dòng)載效應(yīng)。

5 結(jié)語(yǔ)

(1)基于齒輪接觸有限元計(jì)算原理，建立了五齒三維準(zhǔn)靜態(tài)分析有限元模型?；谠撃Ｐ陀?jì)算了漸開(kāi)線直齒輪完整嚙合過(guò)程中的接觸力與接觸應(yīng)力，得到了齒根最大彎曲應(yīng)力和最大接觸應(yīng)力。與相關(guān)結(jié)論對(duì)比，驗(yàn)證了模型的正確性。

(2)根據(jù)齒輪接觸分析的Hertz 面分布力接觸模型，理論計(jì)算了完整嚙合過(guò)程的齒面接觸應(yīng)力。結(jié)果與仿真解比較表明，在輪齒嚙入嚙出時(shí)刻會(huì)產(chǎn)生較大沖擊應(yīng)力，接觸應(yīng)力與接觸力具有近似的線性關(guān)系。

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