薛 煒

（甘肅建筑職業(yè)技術學院，甘肅 蘭州 730050）

考慮線性方程組Ax=b其中A∈Rnxn和b∈Rn已知,x∈Rn未知.求解的基本迭代解是

其中A=M-N且M是非奇異矩陣。這樣該式也可被寫成

其中T=M-1N,c=M-1b.假設A為對角元均為 1的方陣,且A=I-L-U， -L和 -U分別是矩陣A的嚴格下三角和嚴格上三角部分。那么Gauss-Seidel迭代格式為T= (I-L)-1U。為了更好地解線性方程組，引入非奇異預條件矩陣P,即考慮解方程組PAx=Pb,或者解方程組APy=b與P-1x=y，在一般情況下選取的預條件矩陣P都是易于求逆的，故只解最后這兩式。

令PA=MP-NP,MP是非奇異矩陣, 則解(4)的Gauss-Seidel迭代法的迭代格式是

Gunawardena等人在[4]中提出了修改的Gauss-Seidel迭代法如下：令(4)中的P=I+S, 其中

在I+S中, 如果所有的ai,i+1是非零的, 那么

并且把叫做修正的 Gauss-Seidel迭代矩陣.Kohno等在文[1]中，Lin和 Sun在文[5]中，Hadjidimous等在文中對上面的預條件矩陣PIS= + 引入參數(shù)來提高迭代法的漸進收斂率。

1 預條件迭代法

下面我們用文[8]中的預條件矩陣來考慮右乘系數(shù)矩陣A所得方程組的Gauss-Seidel迭代法,讓

設=Sα+Sβ, 其中

若α1a12a21≠ 1 ,i= 1 ,

2 收斂性

設x= (x1, … ,xn) ＞ 0， 即對所有的i有xi＞ 0 。

定 義[3]設A=(aij) ∈Cn×n, 令D=diag(a11,… ,ann),C=D-A, 則 稱 矩 陣|D| - |C|為A的比較矩陣， 記作A,

即

若A是非奇異的M-矩陣,則稱A為非奇異的H-矩陣,簡稱H-矩陣。

引理1A是H-矩陣的充要條件是存在x＞ 0 ,使得x〈A〉＞0.其中〈A〉是A的比較矩陣.

引理 2 如果A是H-矩陣, 那么ρ((I-L)-1U)≤1, 其中ρ(·)是Gauss-Seidel迭代矩陣的譜半徑.

引理3 如果A是對角線元素全為1的H-矩陣,讓r= (r1,r2, … ,rn) =e〈A〉-1,

那么,ri≥ 1 ,i= 1 ,… ,n.并且 ‖〈A〉-1‖∞≥1.其中,e=(1,1,… ,1).

證明 由A是M-矩陣, 易知A=I-B(B＞0), 并且ρ(B)≤1, 故

因此e A-1≥e.結論成立.

定理1 設A是對角線元素為1的H-矩陣，若aj+1,j≠0,(i= 1,… ,n-1)和an,n-1≠ 0 ,且滿足下列條件時

2) 對于αj,βj(j= 2,… ,n-1)有

那么是H-矩陣且ρ()≤ 1 .

證明 因為

對于j= 1 ,

根據以上所述和 0 ≤α1≤1， 容易得到

可以證明

綜合a)和b)可知

根據引理1，是H-矩陣。 根據引理2，ρ() ≤ 1。

定理 2 如果A是對角線元素為 1的H-矩陣, 若a21≠ 0 和aj-1,j≠0, (j=2,…,n-1)

當滿足下列條件時

對于αj,βj(j= 2,… ,n-1)有

或者αj＞ 1，

是H-矩陣且ρ()≤ 1 。

證明同上。

[1]Toshlyuki Kohno, Hisashi Kotakemomori, Hioshi Nikia.Impoving the modified Gauss-seidel mehod for Z-matrix[J].Lin.Alg.Appl., 1997(267)：113-123.

[2]胡家贛.線性代數(shù)方程組的迭代解法[M].北京：科學出版社,1991.

[3]王學忠, 黃廷祝, 李良, 傅英定.H-矩陣方程組的預條件迭代法[J].計算數(shù)學學報, 2007, 29(1)：89-98.

[4]李繼成, 黃廷祝.Z-矩陣的預條件迭代法[J].數(shù)學物理學報,2005, 25A(1)：5-10.