李錦慧， 王忠

(四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都 610065)

構(gòu)造既不完全可控又不完全可觀狀態(tài)空間模型的方法

李錦慧， 王忠

(四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都 610065)

簡述了狀態(tài)空間的起源及其相關(guān)概念，以及系統(tǒng)的可控性、可觀性、線性變換和規(guī)范形的算法，提出了一種簡易的構(gòu)造既不完全可控又不完全可觀狀態(tài)空間模型的方法，并分析了方法可擴(kuò)展性，簡單論述其實(shí)際應(yīng)用中的意義。

狀態(tài)空間；可控性；可觀性；線性變換；規(guī)范形

0 引 言

1960年前后，在計算機(jī)技術(shù)和航天技術(shù)的推動下，現(xiàn)代控制理論開始發(fā)展，在此期間，美國學(xué)者卡爾曼(Kalman)引入了狀態(tài)空間的概念，因而以系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)為基礎(chǔ)分析系統(tǒng)的控制成為可能。狀態(tài)空間模型是在時域條件下進(jìn)行分析，隱含著時間的自變量。狀態(tài)在控制工程中是指在系統(tǒng)中決定系統(tǒng)狀態(tài)的最小數(shù)目的變量的有序集合，而狀態(tài)空間則是指該系統(tǒng)的全部可能狀態(tài)的集合[1]。即模擬一個空間坐標(biāo)系，狀態(tài)空間是以狀態(tài)變量為坐標(biāo)軸的空間，而系統(tǒng)的狀態(tài)則是空間中的一個向量。研究線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是對系統(tǒng)行為的一種完全描述，而可控性和可觀測性則細(xì)化并直觀的描述了系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)。

經(jīng)典控制理論中用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入輸出特性，輸出量總是可以被測量的，而輸出量也是被控量，因而只要系統(tǒng)是因果系統(tǒng)并且穩(wěn)定，輸出量即為可控的，不需要判斷可控性和可觀性[2]。相比于經(jīng)典控制理論，現(xiàn)代控制理論是以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)描述系統(tǒng)特性的，并引入了可控性和可觀性的概念。在用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)時通常采用狀態(tài)空間表達(dá)式，狀態(tài)空間表達(dá)式是對系統(tǒng)的一種完全的描述，是判斷系統(tǒng)的可控性和可觀性的主要依據(jù)。

1 系統(tǒng)的可控性和可觀測性

1.1 系統(tǒng)的可控性

系統(tǒng)的可控性是指系統(tǒng)的狀態(tài)在一定的輸入作用下轉(zhuǎn)移到指定狀態(tài)的能力?？煽匦耘袚?jù)適用于線性系統(tǒng)，選取初始時刻t0∈J的非零初始狀態(tài)x(t0)=x0，t1∈J(t1>t0)的無約束容許控制u(t)(t∈[t0,t1])，使系統(tǒng)在u(t)作用下可從x0狀態(tài)轉(zhuǎn)移到x(t1)=0狀態(tài)，稱狀態(tài)x0為系統(tǒng)在t0時刻的一個可控狀態(tài)[3]。

1.2 系統(tǒng)的可觀測性

系統(tǒng)的可觀測性是指系統(tǒng)的輸出反映系統(tǒng)全部狀態(tài)的程度[4]?？捎^性判據(jù)適用于線性連續(xù)時變系統(tǒng)，選取初始時刻t0∈J的非零初始狀態(tài)x0，若t1∈J(t1>t0)使系統(tǒng)對所用的t∈[t0,t1]的輸出y(t)恒不為零，稱狀態(tài)x0為系統(tǒng)在t0時刻的可觀狀態(tài)。

2 線性變換

線性變換是在狀態(tài)空間中取定坐標(biāo)系，坐標(biāo)在有限維空間中變換的推廣，本質(zhì)上就是改變坐標(biāo)系。通常定義線性定常系統(tǒng)為:

3 線性單變量系統(tǒng)的可控規(guī)范形和可觀測規(guī)范形

規(guī)范形是系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式在特定的線性變換下得到的規(guī)范形式，而經(jīng)線性變換能夠得到最簡單的狀態(tài)方程的規(guī)范形式能表現(xiàn)為特征值分布于狀態(tài)矩陣的對角線元素上[7]，正是由于規(guī)范形能簡單并集中地將系統(tǒng)的某些特性或結(jié)構(gòu)清晰地在系數(shù)矩陣中表現(xiàn)出來，因而運(yùn)用規(guī)范形設(shè)計便于分析計算。

3.1 線性單變量系統(tǒng)的可控規(guī)范形

線性單變量系統(tǒng)的第一可控規(guī)范形為:

而:

可以推證出可控規(guī)范形能在系數(shù)矩陣中反映狀態(tài)的完全可控性。

3.2 線性單變量系統(tǒng)的可觀測規(guī)范形

線性單變量系統(tǒng)的第一可觀測規(guī)范形為:

而:

可以推證出可觀測規(guī)范形能在系數(shù)矩陣中反映狀態(tài)的完全可觀測性。

4 構(gòu)造既不完全可控又不完全可觀測系統(tǒng)

如果在實(shí)際中出現(xiàn)需要構(gòu)造既不完全可控又不完全可觀的狀態(tài)空間模型，即同時具有可控可觀極點(diǎn)、可控不可觀極點(diǎn)、不可控可觀極點(diǎn)、不可控不可觀極點(diǎn)，則可使用采用下面一種較為簡便的方式。

構(gòu)造最為簡單的四階狀態(tài)空間模型(即能夠出現(xiàn)上述四種極點(diǎn)的最小階狀態(tài)空間模型)，即:

把四階的狀態(tài)空間模型同時按可控可觀分解，得:

根據(jù)四階規(guī)范性在原四階狀態(tài)空間模型的基礎(chǔ)上添加極點(diǎn)(四種極點(diǎn)的任意一種均可)，其余極點(diǎn)不變。以五階系統(tǒng)為例，在基礎(chǔ)的四階狀態(tài)空間模型基礎(chǔ)上添加一個可控可觀極點(diǎn)-3。根據(jù)所有極點(diǎn)，按系統(tǒng)結(jié)構(gòu)規(guī)范分解的規(guī)范形式構(gòu)造出五階系統(tǒng)同時按可控可觀分解的規(guī)范型為:

由此可得新構(gòu)造的五階規(guī)范型的可控可觀極點(diǎn)為-2、-3；可控不可觀極點(diǎn)為-1；不可控可觀極點(diǎn)為1；不可控不可觀極點(diǎn)為2。

用相同的方法構(gòu)造B1,C1，得:

則新構(gòu)造的五階狀態(tài)空間模型為:

由基礎(chǔ)的四階狀態(tài)空間模型所得變換矩陣擴(kuò)展一行一列得五階系統(tǒng)的變換矩陣

即構(gòu)造的五階既不完全可控又不完全可觀狀態(tài)空間模型為:

5 結(jié)束語

在現(xiàn)實(shí)生活中很少需要構(gòu)造不完全可控不完全可觀的狀態(tài)空間模型，實(shí)際應(yīng)用意義不大，然而在研究系統(tǒng)性能時，可以通過構(gòu)造系統(tǒng)，分析系統(tǒng)的相關(guān)功能更好地理解系統(tǒng)的性能，這種構(gòu)造系統(tǒng)的方法還可以拓展到其他應(yīng)用領(lǐng)域。若只需要構(gòu)造可控可觀狀態(tài)模型，從其最簡形式無論構(gòu)造多少階系統(tǒng)都具有可行性，并且為MATLAB構(gòu)造類似的狀態(tài)空間模型提供了思路，具有一定的便捷性。

[1] 戴忠達(dá).自動控制理論基礎(chǔ)[M] .北京:清華大學(xué)出版社,2005.

[2] 王建輝，顧樹生.自動控制原理[M].北京:清華大學(xué)出版社，2007.

[3] 胡壽松.自動控制原理．第四版[M].北京:科學(xué)出版社，2001．

[4] 黃家英.自動控制原理[M].北京:高等教育出版社，2010.

[5] 段廣仁. 線性系統(tǒng)理論[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2004.

[6] 鄭大鐘. 線性系統(tǒng)理論[M].2版.北京:清華大學(xué)出版社，2002.

[7] 吳麒，王詩宓.Principles of Automatic Control．下冊[M].2版.北京:清華大學(xué)出版社，2006.

A Method for Constructing an Incompletely Controllable and Observable State Space Model

LI Jin-hui, WANG Zhong

(Electrical Information College, Sichuan University, Chengdu Sichuan 610065, China)

This paper briefly describes the origin and related concepts of the state space, and narrates the controllability, observability and linear transformation of the system as well as the algorithm of normal form. it presents a simple method for constructing an incompletely controllable and observable state space model, analyzes its extensibility and briefly discusses its significance in practical application.

state space; controllability; observability; linear transformation; normal form

航空科學(xué)基金項(xiàng)目(20100119004)，國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項(xiàng)目(201310610109)

10.3969/j·issn.1000-3886.2015.04.007

TP271

A

1000-3886(2015)04-0019-03

定稿日期: 2014-09-30