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        平凡擴張代數(shù)上的ξ-Lie導子

        2015-03-29 04:29:21

        王 力 梅

        (天水師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅 天水 741000)

        平凡擴張代數(shù)上的ξ-Lie導子

        王 力 梅

        (天水師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅 天水 741000)

        ξ-Lie導子是導子以及Lie導子的推廣,設(shè)f為平凡擴張代數(shù)(A⊕B)上的一個ξ-Lie導子,利用平凡擴張代數(shù)上的運算性質(zhì),給出了f為平凡擴張代數(shù)(A⊕B)上的ξ-Lie導子的充分必要條件。

        平凡擴張代數(shù);ξ-Lie導子;導子

        0 引 言

        設(shè)R是有單位元的交換環(huán),A是定義在R上的有單位元的代數(shù),M是代數(shù)A的雙邊模,Z(A)表示雙邊模的中心,f是代數(shù)A到M的線性映射,如果對于任意的a,b∈A,有f(ab)=f(a)b+af(b),則稱f是導子;如果對于任意的a,b∈A,有f([a,b]ξ)=[f(a),b]ξ+[a,f(b)]ξ,則稱f是ξ -Lie導子,其中[a,b]ξ=ab-ξba為a與b的ξ -Lie積.顯然,當ξ=0,1時,ξ -Lie導子分別是導子和lie-導子。

        近年來,許多學者對環(huán)及各類代數(shù)上的導子、Lie-導子及ξ-Lie導子等作了大量的研究,已取得了豐碩的研究成果。例如文獻[1]、[2]對環(huán)上的導子進行了刻畫;文獻[3-7]對三角環(huán)及三角代數(shù)上的映射進行了研究,文獻[8]、[9]給出了巴拿赫代數(shù)上的導子、Jordan導子、線性Lie-導子的結(jié)構(gòu)。有關(guān)平凡擴張代數(shù)的結(jié)構(gòu)和相關(guān)性質(zhì)可參看文獻[10-12]。尤其文獻[12]對平凡擴張代數(shù)上的Jordan導子作了刻畫,受上述工作的啟發(fā),本文對平凡擴張代數(shù)上ξ-Lie導子進行新的刻畫。

        關(guān)于平凡擴張代數(shù)的一些基本概念如下:

        (A⊕B)={(a,m):a∈A,m∈M}表示由代數(shù)A和雙邊模M構(gòu)成的平凡擴張代數(shù),其中加法和乘法運算定義如下:

        (a,m)+(b,n)=(a+b,m+n),(a,m)(b,n)=(ab,an+mb),?(a,m),(b,n)∈(A⊕B)

        本文將平凡擴張代數(shù)上線性映射寫成如下形式,f(a,m)=(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m)),其中f11∶A→A,f12∶A→M,f21∶M→A,f22∶M→M,即f11是代數(shù)A上的線性映射,f12是代數(shù)A到雙邊模M上的線性映射,f21是雙邊模M到代數(shù)A上的線性映射,f22是雙邊模M上的線性映射。

        1 主要定理

        設(shè)f是平凡擴張代數(shù)(A⊕B)上的一個線性映射,則f是(A⊕B)上的ξ-Lie導子當且僅當對于任意的a∈A和m,n∈M,有

        (i)f11和f12是ξ-Lie導子

        (ii)f21(ma-ξam)=[f21(m),a]ξf21(an-ξna)=[a,f21(n)]ξ

        (iii)[f21(m),n)ξ+[m,f21(n)]ξ=0,

        (iv)f22(ma-ξam)=[f22(m),a]ξ+[m,f11(a)]ξ

        f22(an-ξna)=[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ

        證明 若f是平凡擴張代數(shù)的ξ-Lie導子,則對于?(a,m),(b,n)∈(A⊕B),

        f([(a,m),(b,n)]ξ)=[f(a,m),(b,n)]ξ+[(a,m),f(b,n)]ξ

        [f(a,m),(b,n)]ξ=[(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m)),(b,n)]ξ

        = (f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))(b,n)-ξ(b,n)(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))

        = ([f11(a)+f21(m),b]ξ,[f11(a)+f21(m),n]ξ+[f12(a)+f22(m),b]ξ)

        [(a,m),f(b,n)]ξ

        = (a,m)(f11)(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))-ξ(f11(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))(a,m)

        = ([a,f11(b)+f21(n)]ξ,[m,f11(b)+f21(n)]ξ+[a,f12(b)+f22(n)]ξ)

        故f([(a,m),(b,n)]ξ)=[f(a,m),(b,n)]ξ+[(a,m),f(b,n)]ξ

        = ([f11(a)+f21(m),b)]ξ,[f11(a)+f21(m),n]ξ+[f12(a)+f22(m),b]ξ)

        + ([a,f11(b)+f21(n)]ξ,[m,f11(b)+f21(n)]ξ+[a,f12(b)+f22(n)]ξ)

        = ([f11(a),b]ξ+[f21(m),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ,

        [f11(a),n]ξ+[f21(m),n]ξ+[f12(a),b]ξ+[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ+[a,f12(b)]ξ+[a,f22(n)]ξ)記x=[f11(a),b]ξ+[f21(m),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ

        y=[f11(a),n]ξ+[f21(m),n]ξ+[f12(a),b]ξ+[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ+[a,f12(b)]ξ+[a,f22(n)]ξ

        又由于

        f([(a,m),(b,n)]ξ)=f((a,m)(b,n)-ξ(b,n)(a,m))

        =f((ab-ξba),(an+mb)-ξ(bm+na))

        = (f11((ab-ξba))+f21(an-ξna+mb-ξbm),f12(ab-ξba)+f22(an-ξna+mb-ξbm))

        (1)

        由(a,m)和(b,n)的任意性,令m=n=0并代入(1)有

        f11((ab-ξba))=[f11(a),b]ξ+[a,f11(b)]ξ

        f12(ab-ξba)=[f12(a),b]ξ+[a,f12(b)]ξ

        因此,f11,f12是ξ-Lie導子

        將上述結(jié)果代入(1)有

        f21(an-ξna+mb-ξbm)=[f21(m),b]ξ+[a,f21(n)]ξ

        (2)

        f22(an-ξna+mb-ξbm)=[f11(a),n]ξ+[f21(m),n]ξ

        +[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ+[a,f22(n)]ξ

        (3)

        在(2)中令n=0,b=a有f21(ma-ξam)=[f21(m),a]ξ

        (4)

        在(2)中令m=0有f21(an-ξna)=[a,f21(n)]ξ

        在(3)中令n=0有f22(mb-ξbm)=[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ

        在(3)中令m=0有f22(an-ξna)=[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ

        在(3)中令a=0有f22(mb-ξbm)=[f21(m),n]ξ+[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ

        (5)

        由(4)和(5)[f21(m),n]ξ+[m,f21(n)]ξ=0

        下證充分性

        f([(a,m),(b,n)]ξ)=f((a,m)(b,n)-ξ(b,n)(a,m)=(f11((ab-ξba))+f21(an-ξna+mb-ξbm),f12(ab-ξba)+f22(an-ξna+mb-ξbm))由已知條件知,上式=([f11(a),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ+[f21(m),b]ξ,

        [f12(a),b]ξ+[a,f12(b)]ξ+[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ+[m,f11(b)]ξ+[f22(m),b]ξ)

        現(xiàn)設(shè)

        x1=[f11(a),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ+[f21(m),b]ξ

        y1=[f12(a),b]ξ+[a,f12(b)]ξ+[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ+[m,f11(b)]ξ+[f22(m),b]ξ

        由于[f21(m),n]ξ+[m,f21(n)]ξ=0

        令y2=y1+[f21(m),n]ξ+[m,f21(n)]ξ

        則f([(a,m),(b,n)]ξ)=f((a,m)(b,n)-ξ(b,n)(a,m))=(x1,y1)=(x1,y2)

        =(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))(b,n)-ξ(b,n)(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))

        +(a,m)(f11(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))-ξ(f11(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))(a,m)

        =[f(a,m),(b,n)]ξ+[(a,m),f(b,n)]ξ。

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        [責任編輯:鄭秀亮 英文編輯:劉彥哲]

        ξ-LieDerivation on Ordinary Extension Algebras

        WANG Li-mei

        (College of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui,Gansu 741000,China)

        ξ-Liederivation is the extension of derivation andLie-derivation.Letfbe a linear mapping on the ordinary extension algebra(A⊕B),a sufficient and necessary condition which isξ-Liederivation is given in this paper.

        ordinary extension algebra;ξ-Liederivation;derivation

        王力梅(1980-),女,甘肅蘭州人,講師,主要研究方向為環(huán)上的導子。

        O 153.3

        A

        10.3969/j.issn.1673-1492.2015.06.002

        來稿日期:2015-05-22

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