賀 磊，韓 旭，陸曉勇

(1．南京市測(cè)繪勘察研究院有限公司，江蘇 南京210005;2．無錫地鐵有限公司運(yùn)營(yíng)公司，江蘇無錫214171)

一、引 言

近年來，隨著我國(guó)各大城市地鐵建設(shè)的快速發(fā)展，地鐵監(jiān)測(cè)日趨重要［1］。在地鐵隧道施工及長(zhǎng)期的運(yùn)營(yíng)過程中，由于隧道施工荷載、管片間應(yīng)力變化，以及列車的通行、周邊地面建筑物、隧道圍巖土層壓力等因素的長(zhǎng)期作用下，隧道結(jié)構(gòu)處于長(zhǎng)期的緩慢變形狀態(tài)，當(dāng)隧道結(jié)構(gòu)變形量積累到一定程度時(shí)，隧道會(huì)失去防水效能、結(jié)構(gòu)失穩(wěn)，甚至引發(fā)嚴(yán)重的安全事故［2-3］。

隧道斷面測(cè)量是地鐵監(jiān)測(cè)中為了解隧道結(jié)構(gòu)斷面狀態(tài)和變形信息，掌握隧道結(jié)構(gòu)安全狀況的主要監(jiān)測(cè)手段。定期對(duì)地鐵隧道進(jìn)行斷面測(cè)量、斷面數(shù)據(jù)處理及對(duì)比分析，能及時(shí)了解隧道斷面變化情況，獲取隧道在外部荷載作用下的變形信息，為結(jié)構(gòu)診斷及維護(hù)提供準(zhǔn)確可靠的數(shù)據(jù)依據(jù)，確保地鐵隧道安全。

圓形隧道斷面變形后形狀接近于離心率極小的橢圓［4］，在對(duì)斷面數(shù)據(jù)處理中，通常采用橢圓擬合的方式進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。擬合橢圓的方法有代數(shù)距離法、幾何距離法和加權(quán)梯度最小二乘法［5-6］。本文以代數(shù)距離平方和最小作為擬合的數(shù)學(xué)原則，采用隨機(jī)化原理，并以幾何距離殘差值作為篩選限制條件進(jìn)行橢圓擬合，同時(shí)以南京地鐵2號(hào)線保護(hù)監(jiān)測(cè)項(xiàng)目工程實(shí)測(cè)斷面數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該算法的可靠性和適用性。

二、盾構(gòu)隧道斷面測(cè)量方法

南京地鐵2號(hào)線雨潤(rùn)大街站至元通站區(qū)間為雙洞雙線盾構(gòu)區(qū)間，隧道內(nèi)徑設(shè)計(jì)值為5．5 m，在該區(qū)間保護(hù)監(jiān)測(cè)工程斷面測(cè)量中，測(cè)量斷面布設(shè)在盾構(gòu)管片中部，盡量避開管片的拼裝及注漿孔洞、安裝在管壁上的管線設(shè)施等，要求測(cè)量斷面與隧道線路方向垂直，使用Leica TM30斷面測(cè)量程序沿布設(shè)斷面進(jìn)行圓周掃描測(cè)量，每個(gè)斷面以20 cm的等間距測(cè)量約60個(gè)點(diǎn)。

在地鐵監(jiān)測(cè)工程中，斷面測(cè)量需要高精度的觀測(cè)數(shù)據(jù)和較高頻次的重復(fù)測(cè)量，以正確地反映出隧道管片變形信息。為了使斷面布設(shè)與隧道路線垂直，以及保證監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的連續(xù)性，在每個(gè)監(jiān)測(cè)斷面上布設(shè)3個(gè)基點(diǎn)，分別設(shè)置在斷面底部及兩側(cè)。斷面底部基點(diǎn)為測(cè)站點(diǎn)，在設(shè)置斷面兩側(cè)基點(diǎn)時(shí)，首先在底部基點(diǎn)上對(duì)中整平全站儀，選擇大致垂直于該環(huán)管片的斷面，利用全站儀沿?cái)嗝嬖趦蓚?cè)管壁上投點(diǎn)并作標(biāo)記，利用鋼尺量測(cè)斷面兩側(cè)標(biāo)記點(diǎn)到該管片邊緣的距離，通過調(diào)整斷面角度，使斷面兩側(cè)基點(diǎn)與管片邊緣距離相等，以保證監(jiān)測(cè)斷面精確垂直于該環(huán)管片。

斷面測(cè)量采用工程坐標(biāo)系下的平面坐標(biāo)，采用平面二次曲線擬合的方法擬合橢圓斷面，并將求得的斷面與前期及設(shè)計(jì)形狀進(jìn)行比較，即可得到隧道結(jié)構(gòu)的變形信息。

三、橢圓函數(shù)及擬合算法

圓形隧道斷面在受到外部荷載作用下接近于一個(gè)離心率很小的橢圓，在二維平面坐標(biāo)系中，橢圓可以用二次曲線方程表示為［1，5］

測(cè)量工程中，普遍采用最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，最小二乘法擬合主要是最小化測(cè)點(diǎn)與橢圓之間的距離平方和，從而解算出橢圓參數(shù)。其中，距離一般分為幾何距離和代數(shù)距離，幾何距離表示測(cè)點(diǎn)到曲線的最近距離，式(2)中v(m，ni，l)為測(cè)點(diǎn)(xi，yi)到二次曲線v(m，n，l)=0的代數(shù)距離。本文采用最小二乘原理，以各測(cè)點(diǎn)代數(shù)距離平方和最小作為條件進(jìn)行解算，求解出二次曲線參數(shù)。對(duì)于隧道斷面的N個(gè)測(cè)點(diǎn)，利用最小二乘原理有

對(duì)式(3)右側(cè)參數(shù)求導(dǎo)取極值得

式中，p為權(quán)陣。計(jì)算可得擬合參數(shù)與測(cè)點(diǎn)代數(shù)距離的偏差為

根據(jù)誤差理論方法，上述斷面擬合精度可表示為

在斷面測(cè)量成果中，采用平面坐標(biāo)系的幾何參數(shù)能更直觀地表現(xiàn)隧道斷面形狀，即橢圓的中心點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)、長(zhǎng)半軸ar、短半軸br及旋轉(zhuǎn)角θ。根據(jù)投影變換，可求得橢圓幾何參數(shù)轉(zhuǎn)換公式。

若二次曲線方程中參數(shù)b=0，則橢圓旋轉(zhuǎn)角θ=0，只有當(dāng)b≠0時(shí)，才可以計(jì)算橢圓旋轉(zhuǎn)角θ。由解析幾何方法易得

設(shè)

則有

將參數(shù)式(1)中坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，則有

整理后可得只含4個(gè)參數(shù)的橢圓方程式

其中

將式(12)轉(zhuǎn)化作橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程式為

即可得橢圓半徑為

在旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)系中，橢圓中心坐標(biāo)為

原測(cè)量坐標(biāo)系下橢圓中心坐標(biāo)為

利用擬合后的橢圓幾何參數(shù)，計(jì)算測(cè)點(diǎn)距離橢圓的幾何距離殘差值為

式中，ω=arctan(yi/xi)。根據(jù)誤差理論，測(cè)點(diǎn)殘差中誤差可表示為

在合理采用權(quán)函數(shù)P且測(cè)點(diǎn)誤差適當(dāng)時(shí)，采用直接擬合方法能達(dá)到一定擬合精度，滿足一般工程測(cè)量要求［1，7］。

四、隨機(jī)化篩選擬合橢圓

對(duì)隧道斷面測(cè)量數(shù)據(jù)直接采用最小二乘法進(jìn)行橢圓擬合，由于沒有考慮各測(cè)點(diǎn)誤差的差異，擬合結(jié)果將與實(shí)際情況不符，因而導(dǎo)致橢圓參數(shù)的有偏估計(jì)［1，5］。針對(duì)此情況，本文基于最小二乘法和隨機(jī)原理，提出了一種抗粗差性能好、可靠性高的橢圓擬合方法。數(shù)據(jù)處理流程如下:

1)剔除斷面數(shù)據(jù)中明顯的粗差點(diǎn)，如落在管壁附著物、管縫及管片拼接螺孔洞等上的測(cè)點(diǎn)，利用代數(shù)距離及最小二乘法直接進(jìn)行橢圓擬合，并通過投影變換方法計(jì)算斷面幾何參數(shù)。

2)利用橢圓參數(shù)及斷面數(shù)據(jù)，將所有測(cè)點(diǎn)按斷面圓周等角度分為6個(gè)區(qū)段，在每個(gè)區(qū)段中隨機(jī)選取1個(gè)測(cè)點(diǎn)，組成由6個(gè)隨機(jī)點(diǎn)組成的擬合點(diǎn)組。

3)采用最小二乘法對(duì)擬合點(diǎn)組求解橢圓參數(shù)a、b、c、d、e，并通過投影變換計(jì)算該橢圓的幾何參數(shù)。

4)利用步驟3)得到的橢圓參數(shù)計(jì)算各測(cè)點(diǎn)到該橢圓之間的幾何距離(擬合殘差值)，如果小于某一設(shè)定值，則稱測(cè)點(diǎn)為匹配點(diǎn)，記錄該橢圓的匹配點(diǎn)數(shù)及測(cè)點(diǎn)擬合殘差平方和值。

5)循環(huán)執(zhí)行步驟3)至步驟4)，根據(jù)計(jì)算程序運(yùn)行時(shí)間及擬合結(jié)果的精度要求適當(dāng)設(shè)置循環(huán)次數(shù)，以匹配度最高的橢圓作為最優(yōu)橢圓，若匹配度相同，則以擬合殘差值平方和最小來確定最優(yōu)橢圓。

隨機(jī)選取測(cè)點(diǎn)進(jìn)行橢圓擬合是考慮到算法的實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性，每次選取6個(gè)測(cè)點(diǎn)用基于代數(shù)距離最小二乘法擬合，增強(qiáng)擬合穩(wěn)健性，防止擬合結(jié)果出現(xiàn)退化現(xiàn)象［5，8］。由于斷面測(cè)點(diǎn)較多，沒有必要對(duì)所有可能的隨機(jī)點(diǎn)組進(jìn)行擬合，且處理時(shí)間上不允許，為了加速處理，對(duì)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行了分區(qū)，且一定程度上增加了點(diǎn)組的圖形強(qiáng)度。

五、實(shí)例分析

為實(shí)現(xiàn)斷面數(shù)據(jù)處理方法，采用Matlab語言編制斷面擬合程序。算例選用的是南京地鐵二號(hào)線雨潤(rùn)大街至元通站區(qū)間隧道保護(hù)區(qū)監(jiān)測(cè)工程。

因篇幅有限，本項(xiàng)實(shí)例分析中僅選擇了監(jiān)測(cè)工程中的1個(gè)斷面，斷面測(cè)點(diǎn)共62個(gè)點(diǎn)，實(shí)例分析中采用3種方法對(duì)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行擬合。首先直接采用最小二乘法對(duì)所用測(cè)點(diǎn)進(jìn)行擬合，并對(duì)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行分區(qū);然后采用隨機(jī)化擬合方法篩選出匹配度最高的橢圓(匹配度91．9%)，利用公式計(jì)算各點(diǎn)的殘差值，發(fā)現(xiàn)測(cè)點(diǎn)中有3個(gè)較明顯的粗差點(diǎn)，2個(gè)測(cè)點(diǎn)殘差值大于3倍擬合中誤差;最后，剔除5個(gè)誤差較大的測(cè)點(diǎn)，利用代數(shù)距離法最小二乘進(jìn)行擬合。3種方法擬合精度及殘差中誤差見表1。

表1 各擬合方法參數(shù)解算精度對(duì)比表

該斷面利用隨機(jī)化算法擬合后，測(cè)點(diǎn)殘差中誤差(不含粗差點(diǎn))為0．003 4 mm，匹配度達(dá)91．9%。從測(cè)點(diǎn)殘差值、匹配度來看，上述隨機(jī)化擬合方法可快速剔除誤差較大的測(cè)點(diǎn)。

在南京地鐵監(jiān)測(cè)工程中，對(duì)大量的隧道斷面數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比，隨機(jī)化擬合方法與其他兩種方法相比，擬合橢圓更貼近于實(shí)際斷面，方法穩(wěn)定可靠，擬合結(jié)果精度高［9］，能很好地滿足地鐵監(jiān)測(cè)工程需要。

六、結(jié)束語

斷面測(cè)量的主要任務(wù)是正確獲取隧道斷面形態(tài)信息，為工程診斷分析、維護(hù)提供數(shù)據(jù)依據(jù)［10］。在斷面數(shù)據(jù)處理中，代數(shù)距離法最小二乘擬合橢圓將全部測(cè)點(diǎn)作為準(zhǔn)確值，所有測(cè)點(diǎn)均參與了橢圓擬合，當(dāng)測(cè)點(diǎn)中出現(xiàn)個(gè)別粗差點(diǎn)時(shí)，將會(huì)使擬合結(jié)果產(chǎn)生偏差，以致不能滿足地鐵保護(hù)監(jiān)測(cè)工程中高精度的需求。本文詳細(xì)介紹了南京地鐵二號(hào)線雨潤(rùn)大街站至元通站區(qū)間盾構(gòu)隧道斷面測(cè)量項(xiàng)目的外業(yè)測(cè)量、內(nèi)業(yè)數(shù)據(jù)處理方法，通過實(shí)踐證明，該數(shù)據(jù)處理方法在篩選最優(yōu)擬合橢圓過程中，能快速有效地剔除粗差點(diǎn)，并能準(zhǔn)確地?cái)M合和提取擬合后的各項(xiàng)斷面參數(shù)，適合應(yīng)用于地鐵監(jiān)測(cè)工程。

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