羅亦泳 張立亭 周世健 魯鐵定

(1.東華理工大學測繪工程學院，江西 南昌330013;2.武漢大學測繪學院，湖北 武漢430079;3.南昌航空大學信息工程學院，江西 南昌330063)

為滿足礦產(chǎn)開發(fā)、地質(zhì)勘探、礦井建設、礦山災害監(jiān)測及預警的需求，需在地形條件復雜的礦區(qū)建立可靠的高程基準。盡管利用GPS 可實現(xiàn)對目標地物三維坐標的快速精確測定，但由于GPS 的大地高系統(tǒng)與工程應用中要求的正常高系統(tǒng)之間存在高程異常，導致GPS 測定的大地高無法直接用于礦區(qū)各項工程建設。實現(xiàn)GPS 大地高系統(tǒng)與正常高系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的實質(zhì)是求解高程異常［1］。因此，建立精確可靠的高程異常擬合模型對于提高GPS 在礦區(qū)各項建設中的應用水平具有一定的作用。目前，GPS 高程異常擬合方法主要有:①傳統(tǒng)擬合方法。主要包括多項式擬合、加權平均、多面函數(shù)、線性移動擬合等方法［2］，當樣本數(shù)據(jù)較多時，可取得較好的擬合效果，但實際工程應用中樣本數(shù)據(jù)通常有限，并且該類方法對似大地水準面進行人為假設，存在一定的模型誤差，因此傳統(tǒng)方法的擬合精度不理想。②神經(jīng)網(wǎng)絡模型。楊國林［3］、任東風［4］、胡伍生［5］、王小輝等［6］采用神經(jīng)網(wǎng)絡模型分別對高程異常進行擬合，有效實現(xiàn)了GPS高程系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換，且精度較傳統(tǒng)擬合方法有了較大提高，但該模型存在過學習、易陷入局部最優(yōu)結構設計難等問題。③支持向量機模型。吳兆福［7］、劉曉君［8］、張祥［9］、譚興龍［10］、甘勇［11］等基于支持向量機分別構建了GPS 高程擬合模型，由于支持向量機基于統(tǒng)計學習理論，有效克服了神經(jīng)網(wǎng)絡的不足，對于小樣本擬合精度有了一定程度的提高，但支持向量機待確定參數(shù)較多，擬合結果對參數(shù)較敏感，并且對核函數(shù)構造有Mercer 條件限制，在很大程度上制約了該方法的應用。2000 年Tipping 基于總體貝葉斯框架提出了相關向量機模型(RVM)，該模型作為一類稀疏概率模型，可估計預測變量的分布特征(均值、方差)，在計算預測結果的同時可估計其不確定性信息，因而在解決模式識別、分類及回歸問題等方面應用較廣泛［12］。為此，本研究提出基于相關向量機模型(RVM)的礦區(qū)GPS 高程異常擬合方法，并對預測結果的精度與可靠性進行詳細分析。

1 相關向量機回歸算法

相關向量機模型(RVM)是一種基于貝葉斯概率推理的機器學習模型，采用核函數(shù)線性加權組合的函數(shù)進行分類和回歸。在權值參數(shù)w 上定義受超參數(shù)α 控制的Gaussian 先驗概率。根據(jù)貝葉斯學習與自相關判定理論，通過樣本數(shù)據(jù)學習，獲得權值參數(shù)后驗值，其中非零權值參數(shù)w 對應的學習樣本稱為相關向量(Relevance vector，RV)?；谝陨显?，算法核函數(shù)不受Mercer 條件限制，且參數(shù)少，具有較好的稀疏性。

式中，εi～N(0，σ2)，σ2為噪聲方差，w 為非零權值參數(shù)。

RVM 輸出模型將y(xi，w)表示為非線性基函數(shù)(核函數(shù))φi(x)的加權組合。

數(shù)據(jù)集

t = [t1，…，ti，…，tn]T

的似然估計為

式中，

w =[ w1，…，wi，…，wn] 為權值參數(shù)向量，

Φ = (Φ1，…，Φi，…，Φn)T，

Φi=[ 1，φ1(x)，…，φi(x)，…，φn(x ]) .

為防止出現(xiàn)過學習問題，基于稀疏貝葉斯原理對每個權值參數(shù)wi定義零均值高斯先驗分布，則w 的先驗分布可表示為

式中，αi為wi的先驗分布超參數(shù)，

α = (α1，…，αi，…，αn)T

為超參數(shù)向量。

由式(2)、式(3)可得權值參數(shù)向量w 的后驗分布［13］

式中，

u = σ－2Σ ΦTt;Σ = (σ－2ΦTΦ + A)－1，

A = diag(α1，…，αi，…，αn).

由貝葉斯框架可計算超參數(shù)的似然分布:

式中，協(xié)方差C=σ2I+Φ A－1ΦT，I 為單位矩陣。

通過式(5)，采用MacKay 迭代估計法構建迭代算法，計算α、σ2的最優(yōu)估值。

2 模型構建及結果分析

2.1 建模構建

GPS 高程異常擬合的實質(zhì)是構建高程異常值與對應平面坐標之間的非線性函數(shù)關系，實現(xiàn)對GPS高程異常的預測。以GPS 高程點平面坐標作為RVM模型輸入?yún)?shù)，高程異常ξ 為輸出參數(shù)。記訓練數(shù)據(jù)集為xi，yi為高程點i 的坐標，n 為訓練數(shù)據(jù)個數(shù))，測試數(shù)據(jù)集為(k為測試數(shù)據(jù)個數(shù))，基于該訓練數(shù)據(jù)集，通過迭代算法獲得最優(yōu)估值并確定非零權值參數(shù)向量及相關向量?；赗VM 建立高程異常擬合模型，計算測試數(shù)據(jù)高程異常估值及方差。根據(jù)預測變量的均值及方差，估計預測變量95%置信度的置信區(qū)間，并評價預測結果的可靠性。以柯西核函數(shù)為RVM 模型的核函數(shù)，以交叉驗證法確定RVM 模型的核函數(shù)參數(shù)γ，自動確定模型參數(shù)。

2.2 實例分析

在沿江某礦區(qū)建立包含32 個GPS 點的控制網(wǎng)，該控制網(wǎng)平均邊長1.2 km，占地面積約為50 km2。依據(jù)國家B 級GPS 網(wǎng)的要求進行實測，經(jīng)數(shù)據(jù)處理獲得同精度無粗差的控制網(wǎng)三維坐標。采用二等水準聯(lián)測該GPS 控制網(wǎng)，獲得各控制點的平面坐標與高程異常，GPS 高程點分布見圖1。為驗證RVM 模型的穩(wěn)定性，從32 個GPS 高程點中隨機選取20 個點作為訓練數(shù)據(jù)，其余12 個點作為測試數(shù)據(jù)。

圖1 GPS 高程控制點分布Fig.1 Distribution of the GPS height control points

基于20 個點的訓練數(shù)據(jù)，RVM 模型通過學習確定核函數(shù)參數(shù)γ = 3.21 ，8#、12#、16#、20#、31#點對應的訓練數(shù)據(jù)為相關向量，對應的權值向量為

w = [－0.190 05，7.804 1，

－14.183，－9.088，15 .547 ].

RVM 模型具有5 個相關向量機，算法稀疏性明顯。為測試SVM 模型的精度，分別采用多項式擬合(Polyfit)、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(BP)、遺傳最小二乘支持向量機(GA －LS －SVM)、RVM 模型進行高程異常擬合，結果見表1。

表1 高程異常擬合結果對比分析Table 1 Comparison and analysis of the height anomaly fitting results m

采用平均絕對誤差(MAE)、平均絕對百分誤差(MAPE)、均方根誤差(RMSE)等3 個指標評價表1中4 類模型的擬合精度［14］，結果見表2。由表2 可知:RVM 模型的3 個指標值均低于其余3 類模型，說明該模型具有較高的擬合精度。

根據(jù)RVM 模型估計預測變量的方差計算測試數(shù)據(jù)的置信區(qū)間，結果見表3。由表1、表3 可知:測試數(shù)據(jù)集的GPS 高程異常實測值均在對應的置信區(qū)間內(nèi)，進一步證明了基于RVM 模型的GPS 高程異常擬合結果的可靠性。

表2 模型擬合精度評價Table 2 Evaluation results of the height anomaly fitting of models

表3 置信區(qū)間估計Table 3 Confidence interval estimation

3 結 語

在詳細分析相關機模型(RVM)基本原理的基礎上，以某礦區(qū)為例，構建了礦區(qū)GPS 高程異常RVM擬合模型，試驗結果表明，該模型的預測精度及可靠性明顯優(yōu)于多項式擬合、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡、遺傳最小二乘支持向量機等方法。

［1］ 江金霞.浙江山區(qū)高程異常改正計算及精度分析［J］.浙江工業(yè)大學學報，2013，41(3):314-317.

Jiang Jinxia. Calculation and precision analysis of height abnormal correction in mountain area of Zhejiang Province［J］.Journal of Zhejiang University of Technology，2013，41(3):314-317.

［2］ 任 超，李和旺. 最小二乘支持向量機在GPS 高程擬合中的應用［J］.工程勘察，2012(7):55-57.

Ren Chao，Li Hewang. Application of least squares support vector machine in GPS leveling［J］. Geotechnical Investigation ＆ Surveying，2012(7):55-57.

［3］ 楊國林，李建章，李培天. 基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡的高程異常轉(zhuǎn)換工程應用研究［J］.礦山測量，2013(6):57-60.

Yang Guolin，Li Jianzhang，Li Peitian. Research on the conversion and engineering application of the height anomaly based on BP neural network［J］.Mine Surveying，2013(6):57-60.

［4］ 任東風，徐愛功. 基于遺傳算法優(yōu)化的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡在礦區(qū)GPS 高程轉(zhuǎn)換中的應用［J］. 大地測量與地球動力學，2012，32(4):103-107.

Ren Dongfeng，Xu Aigong.Application of RBF network based on genetic algorithm optimization to establish GPS height conversion model in mining area［J］. Journal of Geodesy and Geodynamics，2012，32(4):103-107.

［5］ 胡伍生，華錫生，鮑興南.轉(zhuǎn)換GPS 高程的神經(jīng)元網(wǎng)絡方法［J］.河海大學學報:自然科學版，2001，29(6):87-89.

Hu Wusheng，Hua Xisheng，Bao Xingnan.Neural network method for GPS height transformation［J］. Journal of Hohai University:Natural Sciences Edition，2001，29(6):87-89.

［6］ 王小輝，王琪潔，丁元蘭，等.基于二次曲面和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡組合模型的GPS 高程異常擬合［J］. 大地測量與地球動力學，2012，32(6):103-107.

Wang Xiaohui，Wang Qijie，Ding Yuanlan，et al.Combined model in height anomaly fitting［J］. Journal of Geodesy and Geodynamics，2012，32(6):103-107.

［7］ 吳兆福，宮 鵬，高 飛，等. 基于支持向量機的GPS 似大地水準面擬合［J］.測繪學報，2004，33(4):303-307.

Wu Zhaofu，Gong Peng，Gao Fei，et al.GPS quasi geoid fitting based on support vector machine technology［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2004，33(4):303-307.

［8］ 劉曉君，孫久運，周 峰.支持向量機回歸在礦區(qū)GPS 高程轉(zhuǎn)換中的應用［J］.金屬礦山，2011(1):98-101.

Liu Xiaojun，Sun Jiuyun，Zhou Feng. Application of support vector regression in GPS height transfonnation in mining area［J］. Metal Mine，2011(1):98-101.

［9］ 張 祥，鄧喀中，范洪冬. GA －LSSVM 在GPS 高程異常反演中的應用［J］.金屬礦山，2012(6):94-96.

Zhang Xiang，Deng Kazhong，F(xiàn)an Hongdong.Application of GA-lSSVM in the GPS elevation anomaly calculation［J］.Metal Mine，2012(6):94-96.

［10］ 譚興龍，趙曉慶，張玉華，等. GA －SVR 算法在礦區(qū)GPS 高程擬合中的應用［J］.金屬礦山，2013(8):87-91.

Tan Xinglong，Zhao Xiaoqing，Zhang Yuhua，et al. Application of GA-SVR algorithm to GPS elevation fitting［J］. Metal Mine，2013(8):87-91.

［11］ 甘 勇，劉新新，鄭遠攀.CPSO 優(yōu)化FLS －SVM 應用于山區(qū)地形的GPS 高程擬合研究［J］.測繪通報，2014(4):5-10.

Gan Yong，Liu Xinxin，Zheng Yuanpan.Study of GPS height fitting in mountainous terrain by CPSO optimizing FLS-SVM［J］.Bulletin of Surveying and Mapping，2014(4):5-10.

［12］ Tipping M E.Sparse bayesian learning and the relevance vector machine［J］. Journal of Machine Learning Research，2001(3):211-244.

［13］ 羅亦泳，張 豪，張立亭.基于自適應進化相關向量機的耕地面積預測模型［J］.農(nóng)業(yè)工程學報，2015，31(9):257-265.

Luo Yiyong，Zhang Hao，Zhang Liting.Prediction model for cultivated land area based on self-adaptive differential evolution and relevance vector machine［J］. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering，2015，31(9):257-265.

［14］ 張 豪，羅亦泳，張立亭.基于遺傳支持向量機的城市擴張非線性組合模型［J］.地理學報，2010，65(6):656-664.

Zhang Hao，Luo Yiyong，Zhang Liting.A nonlinear polynomial model for urban expansion incorporating genetic algorithm and support vector machines［J］. Acta Geographica Sinica，2010，65(6):656-664.