岳 順，李小奇，翟長(zhǎng)治

（1．河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京210098；2．河海大學(xué) 水利水電學(xué)院，江蘇 南京210098）

我國(guó)自20世紀(jì)90年代起，在一些大型重要橋梁上均建立了不同規(guī)模的健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，在這些橋梁關(guān)鍵部位均布設(shè)有GPS監(jiān)測(cè)點(diǎn)，由于監(jiān)測(cè)點(diǎn)變形的錯(cuò)綜復(fù)雜性，變形監(jiān)測(cè)序列可能包含各種各樣的誤差與變形信息，必須通過(guò)對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合處理分析，提取變形信息，發(fā)現(xiàn)變形規(guī)律。因此，針對(duì)不同橋梁的特點(diǎn)，在其運(yùn)營(yíng)期進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)和養(yǎng)護(hù)維修，通過(guò)對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的處理與分析，挖掘提取結(jié)構(gòu)變形特征，分析評(píng)定結(jié)構(gòu)安全狀態(tài)，對(duì)潛在的結(jié)構(gòu)和功能危險(xiǎn)進(jìn)行預(yù)警，對(duì)確保橋梁的安全，減少災(zāi)害的發(fā)生具有十分重要的意義［1］。

基于主分量的奇異譜分析（singular spectr u m analysis，SSA）作為數(shù)字處理技術(shù)早已被廣泛應(yīng)用，SSA的功能是對(duì)于原序列隱含的波形信號(hào)從它的含噪聲的有限長(zhǎng)觀測(cè)系列中提取。但是由于奇異譜分析嵌入維數(shù)（Embedding Di mension），也稱窗口長(zhǎng)度，大多數(shù)人是靠經(jīng)驗(yàn)或者交叉驗(yàn)證的統(tǒng)計(jì)方法來(lái)確定最佳的嵌入維數(shù)。但是這些方法具有很強(qiáng)的主觀性，缺乏實(shí)質(zhì)性的分析，而由Cao Liangyue提出的Cao算法，由于其算法簡(jiǎn)捷，易于實(shí)現(xiàn)，且實(shí)用性強(qiáng)，因此獲得廣泛的應(yīng)用。本文基于Cao算法來(lái)確定SSA嵌入維數(shù)，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證其可行性，最終通過(guò)SSA對(duì)蘇通大橋索塔GPS的監(jiān)測(cè)序列進(jìn)行分析，得到較好結(jié)果。

1 Cao算法

Cao算法具有對(duì)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度依賴不強(qiáng)，能清楚地區(qū)分真實(shí)信號(hào)和噪聲，以及計(jì)算效率高等優(yōu)良特性［2－3］。首先，根據(jù)式（1）計(jì)算相空間中的點(diǎn)在各嵌入維數(shù)條件下的最近鄰點(diǎn)的距離變化值。

其次，根據(jù)式（2）計(jì)算相同維數(shù)下距離變化值的平均值。

式中：E（M）為所有a（i，M）的均值。最后，根據(jù)式（3）檢測(cè)E（M）的變化情況。

若當(dāng)M＞M0時(shí)，E1（M）停止變化或變化波動(dòng)較小，那么最小嵌入維數(shù)為M0＋1。

2 改進(jìn)的Cao算法

Cao算法存在的問(wèn)題是：在確定嵌入維數(shù)M時(shí)，是依據(jù)E1（M）停止變化為標(biāo)準(zhǔn)，但并沒(méi)有給出判斷停止變化的準(zhǔn)則，僅依靠主觀判斷，而實(shí)際時(shí)間序列E1（M）是經(jīng)常有起伏的，很少出現(xiàn)嚴(yán)格意義上的停止變化，這給M的確定帶來(lái)困難。針對(duì)上述問(wèn)題，本文對(duì)Cao算法提出改進(jìn)，提出嵌入維數(shù)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，計(jì)算步驟如下：

1）計(jì)算：

2）可根據(jù)E1的波動(dòng)情況選取一個(gè)閾值e，找到第一個(gè)Δi＜e對(duì)應(yīng)的下標(biāo)u，計(jì)算：

3）重新設(shè)置：

4）取j≤i≤N－2，當(dāng)Δi＞Δi＋1且Δi＋1＞Δi＋2且Δi＋1＜e時(shí)，嵌入維數(shù)M＝i＋1。

3 SSA原理

SSA是在Karhu men－loeve分解理論的基礎(chǔ)上形成的[4]，對(duì)象是經(jīng)過(guò)中心化的一維時(shí)間序列｛xt，t＝1，2，… ，N ｝，N表示時(shí)間序列長(zhǎng)度。它可以從含噪聲數(shù)據(jù)序列中提取具有顯著周期振蕩行為的信號(hào)分量，并有效利用周期分量重建序列的預(yù)測(cè)技術(shù)，通過(guò)提煉數(shù)據(jù)主要成分，過(guò)濾掉非周期性的異常噪聲，達(dá)到降噪的目的［5］，進(jìn)而得到序列變化的趨勢(shì)。SSA計(jì)算步驟如下：

3．1 確定嵌入維數(shù)M

把時(shí)間序列時(shí)延地排列成M階遲延矩陣

其中：

它稱為X的第i個(gè)狀態(tài)向量，共有N－M＋1個(gè)狀態(tài)［6］。

3．2 計(jì)算X的協(xié)方差矩陣S x

其中：

s（t）為時(shí)間序列遲后為t的自協(xié)方差，0≤t≤M－1。Sx的特征向量Ek反應(yīng)時(shí)間序列x中的時(shí)間演變型，在SSA中稱為T－EOF，另外

稱為時(shí)間主成分（T－PC）。

3．3 重建成分

SSA最重要的應(yīng)用是重建成分Rc（Reconstr uction），利用第k個(gè)T－EOF和T－PC重建成分ykt，則

原序列可以表示為所有重建成分的和，為

但在實(shí)際應(yīng)用中通過(guò)使兩個(gè)指標(biāo)，即噪聲殘余能量指標(biāo)和信號(hào)畸變指標(biāo)［7］同時(shí)達(dá)到最小來(lái)確定主分量的截?cái)辔恢茫磒之所在。選取前p個(gè)具有顯著波形或周期分量重建原序列為

在SSA分解的基礎(chǔ)上重建分量序列，從而研究重建分量的長(zhǎng)期變化特征。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

采用加噪序列

它由原序列為

和隨機(jī)噪聲w（t）組成，實(shí)驗(yàn)前進(jìn)行數(shù)據(jù)中心化，根據(jù)式（1）、式（2），隨著 M 的增大計(jì)算出式（3）的值，得到圖1。

圖1 仿真序列嵌入維數(shù)與E 1的關(guān)系

從圖1可以看出，當(dāng)M＝20時(shí)，E1開始穩(wěn)定下來(lái)，但有些波動(dòng)，這些波動(dòng)對(duì)確定嵌入維數(shù)造成一定的影響，根據(jù)圖1的E1的波動(dòng)情況，選取e＝0．0001利用改進(jìn)的Cao算法可以解決這個(gè)問(wèn)題，求出嵌入維數(shù)M＝42，然后利用求的嵌入維數(shù)對(duì)仿真序列進(jìn)行SSA。為了突出SSA的效果，把當(dāng)M＝20、M＝42時(shí)的原始序列、加噪序列和奇異譜分析后重建序列畫出來(lái)，得到圖2、圖3。

圖2 M＝20時(shí)仿真原序列、加噪序列和SSA分析后重建序列分布情況

圖3 M＝42仿真原序列、加噪序列和SSA后重建序列分布情況

從圖2、圖3中，當(dāng)M＝42時(shí)，SSA重構(gòu)序列較平滑，為了定量表示去噪的效果，引入平滑度系數(shù)r，其中

式中：f（i）表示原始序列；＾f（i）表示 SSA 去噪后重建序列；N表示序列長(zhǎng)度，平滑度系數(shù)越小，表示去噪效果越好。當(dāng)M＝20 M＝42時(shí)分別求出r為r20＝0．1801，r42＝0．0012，基于改進(jìn)的 Cao得到的平滑度系數(shù)較小，說(shuō)明改進(jìn)的Cao算法具有較高的平滑度，去噪效果更好。經(jīng)過(guò)重建序列，原始時(shí)間序列中的主要趨勢(shì)成分和振蕩周期得到有效提取，噪聲干擾項(xiàng)明顯降低，說(shuō)明基于改進(jìn)的Cao算法能夠很好地確定嵌入維數(shù)，其對(duì)接下來(lái)的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理將提供幫助。

5 監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理

索塔是斜拉橋關(guān)鍵的工程部位，因?yàn)樗魉粌H要承擔(dān)它本身的重量，還要承載全橋的荷載。因此，監(jiān)測(cè)與分析橋梁索塔的動(dòng)態(tài)特性，包括變形幅度、振動(dòng)的頻率、趨勢(shì)，可為確定橋梁索塔狀態(tài)提供可靠的科學(xué)依據(jù)。GPS對(duì)索塔的變形監(jiān)測(cè)是隨著時(shí)間進(jìn)行的，可以看成是一種時(shí)間序列。奇異譜分析是可以較好地從含噪聲的有限尺度時(shí)間序列中提取信息，目前已應(yīng)用于多種時(shí)間序列的分析中［8］。

監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)選自2012年3月1號(hào)0時(shí)到3月7號(hào)0時(shí)的7 d的蘇通大橋索塔監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，采樣周期是5 min，首先進(jìn)行數(shù)據(jù)中心化。蘇通大橋索塔變形監(jiān)測(cè)分為3個(gè)方向：X，Y，Z。分別對(duì)X，Y，Z 3方向運(yùn)用改進(jìn)Cao算法得到的嵌入維數(shù)M與E1的關(guān)系圖，如圖4～圖6所示。

圖4 X方向嵌入維數(shù)與E 1的關(guān)系

從圖4～圖6中可以看出隨著嵌入維數(shù)M的增大，X，Y，Z趨于穩(wěn)定，但是有點(diǎn)波動(dòng)，基于改進(jìn)的Cao算法求解嵌入維數(shù)，得到3個(gè)方向的嵌入維數(shù)分別為45、47、92。利用得到的嵌入維數(shù)，對(duì)監(jiān)測(cè)時(shí)間序列進(jìn)行SSA，并做變形趨勢(shì)擬合，得到圖7～圖9。

圖5 Y方向嵌入維數(shù)與E 1的關(guān)系

圖6 Z方向嵌入維數(shù)與E 1的關(guān)系

圖7 X方向SSA前后序列及趨勢(shì)項(xiàng)序列的分布情況

根據(jù)式（17），求得X，Y，Z 3方向的平滑度系數(shù)分別為rx＝0．0007，ry＝0．0009，rz＝0．0083，三者的平滑度系數(shù)都很小，說(shuō)明SSA對(duì)3方向序列有著顯著去噪效果。從圖7～圖9中X，Y，Z 3方向重構(gòu)序列表現(xiàn)的比原序列光滑，沒(méi)有出現(xiàn)明顯銳角變化情況，具有顯著降噪的功能，其基本上反映原始序列的波動(dòng)變化，較好地捕捉到原始序列的趨勢(shì)項(xiàng)。另外可以看出索塔在X方向的波動(dòng)范圍比Y，Z方向大，而且具有一定的周期性，周期約為1 d，從X方向SSA后重建序列可以看出當(dāng)白天溫度變化劇烈時(shí)，索塔混凝土膨脹收縮的較劇烈，索塔的變形量也同時(shí)變化顯著，晚上溫度變化緩慢，索塔混凝土膨脹收縮較平緩，索塔的變形量也跟著變化緩慢，但是索塔變形總能回到平衡位置，這與一天的溫度變化相符合，說(shuō)明溫度對(duì)索塔有一定的影響，從整體的變形趨勢(shì)可以看出3方向的變形都趨于穩(wěn)定狀態(tài)，說(shuō)明大橋處于良好的工作狀態(tài)。

圖8 Y方向SSA前后序列及趨勢(shì)項(xiàng)序列的分布情況

圖9 Z方向SSA前后序列及趨勢(shì)項(xiàng)序列的分布情況

6 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)上述分析，本文針對(duì)奇異譜分析時(shí)間序列嵌入維數(shù)存在主觀性問(wèn)題，提出基于Cao算法確定嵌入維數(shù)，同時(shí)對(duì)算法存在的不足，提出了改進(jìn)。通過(guò)仿真試驗(yàn)，證明改進(jìn)的Cao算法具有很好的準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性及實(shí)效性，可以為奇異譜分析時(shí)間序列提供良好的基礎(chǔ)，最后將其應(yīng)用到GPS變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)上，表現(xiàn)其對(duì)GPS數(shù)據(jù)的顯著的降噪能力。分析溫度對(duì)索塔變形的影響，本文僅從外部GPS變形監(jiān)測(cè)序列進(jìn)行分析，但是具體索塔內(nèi)部影響因子對(duì)索塔變形的影響還需進(jìn)一步探索與研究。

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