閆 鑫，王曉娜，丁淵明，楊遂軍，葉樹亮

(1.中國計(jì)量學(xué)院 工業(yè)與商貿(mào)計(jì)量技術(shù)研究所，浙江 杭州310018;2.浙江省計(jì)量科學(xué)研究院，浙江 杭州310013)

0 引 言

隨著熱分析技術(shù)的快速發(fā)展，傳統(tǒng)的熱電偶測(cè)溫技術(shù)已經(jīng)不能滿足其性能指標(biāo)的要求，特別是在使用相對(duì)計(jì)算能力較差的單片機(jī)進(jìn)行溫度采集計(jì)算的應(yīng)用中，很難在達(dá)到較高精度的同時(shí)擁有較快的響應(yīng)速度。傳統(tǒng)的電動(dòng)勢(shì)—溫度轉(zhuǎn)換方法［1，2］是根據(jù)熱電偶的熱電勢(shì)值進(jìn)行查表或者分段曲線擬合，求得當(dāng)前溫度值。查表法求取溫度值雖然簡單，但是需要存放大量的分度表數(shù)據(jù)，對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)存容量要求較高。分段曲線擬合法不需要大量的內(nèi)存空間，但是分度表數(shù)據(jù)有限，隨著分段擬合精度的提高，擬合公式所需要的數(shù)據(jù)也成倍增加，加之熱電偶分度表數(shù)據(jù)的舍入誤差，很難保證無限制提高擬合精度;相反，隨著分段數(shù)目的增多，曲線擬合的精度可能會(huì)下降，即出現(xiàn)龍格現(xiàn)象［3］。由分度公式組成的方程求根法［4］雖然在計(jì)算精度上有了較大提高，但是由于公式的階數(shù)較高，在計(jì)算時(shí)間上卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如分段擬合法。

針對(duì)上述問題，本文提出了一種新型測(cè)溫算法，利用分段擬合法與查表法相結(jié)合求出溫度值及其誤差范圍，即在方程求根法的思想上縮小二分法的查找區(qū)間，根據(jù)秦九昭簡化算法降低分度公式運(yùn)算復(fù)雜度，從而實(shí)現(xiàn)快速高精度的熱電偶測(cè)溫計(jì)算。

1 快速高精度算法原理

國際電工委員會(huì)ICE584—1 標(biāo)準(zhǔn)［5］提供的熱電偶分度公式如式(1)所示

其中ai的值由分度表給出，其中T 型熱電偶分度公式中溫度t 階數(shù)最高為14 階。公式(1)給定的是熱電偶的電動(dòng)勢(shì)關(guān)于溫度的函數(shù)(E-T)，即給定某一溫度值，由公式計(jì)算得到理想的熱電動(dòng)勢(shì)值。實(shí)際使用中，通常是在測(cè)得熱電動(dòng)勢(shì)的基礎(chǔ)上計(jì)算出溫度值，因此，需要把公式(1)變形如下

測(cè)得熱電偶某一熱電動(dòng)勢(shì)值E，使得求解公式(2)變?yōu)榻庖辉啻畏匠痰母Ｖ苯忧蠼夥匠踢\(yùn)算過程復(fù)雜不利于算法設(shè)計(jì)，而二分法利用無限逼近與疊代的數(shù)學(xué)思想，理論上能夠快速無限接近實(shí)際值的根(即方程求根法思想)，因此，采用二分法求得方程的近似根。實(shí)際中，算法設(shè)計(jì)有2 個(gè)方面的難點(diǎn):1)利用二分法求解需要給定一個(gè)初始區(qū)間，以免在不必要的區(qū)間段消耗時(shí)間;2)公式(2)存在很高的階數(shù)，需要簡化計(jì)算公式降低運(yùn)算復(fù)雜度。因此，本文在方程求根思想上對(duì)算法作了改進(jìn)如圖1所示的改進(jìn)，結(jié)合線性最小二乘法與查表法得到最接近實(shí)際溫度一個(gè)溫度值，利用導(dǎo)數(shù)確定二分法查找的初始區(qū)間，并且使用秦九昭算法簡化高階復(fù)雜運(yùn)算公式，在保證精度的同時(shí)也提高了運(yùn)算速率。

圖1 算法整體思想Fig 1 Whole idea of algorithm

2 快速高精度算法設(shè)計(jì)

2.1 優(yōu)化的方程求根方法

2.1.1 確定二分法溫度區(qū)間

在測(cè)得熱電偶的電動(dòng)勢(shì)E 后，用曲線擬合的方法得到電動(dòng)勢(shì)轉(zhuǎn)換為溫度的粗略關(guān)系式和該溫度的誤差范圍，即確定了二分法的溫度區(qū)間。

線性最小二乘法［2，6］是解決曲線擬合最常用的方法，基本思路是

其中，rk(x)為事先選定的一組線性無關(guān)的函數(shù)，ak為待定系數(shù)(k=1，2，…，m)。以N 型熱電偶為例，由于其分度表公式的階數(shù)比較高，在保證精度及減少運(yùn)算量的前提下，在0 ～1000 ℃范圍內(nèi)將N 型熱電偶熱電勢(shì)分為10 段，利用線性最小二乘法分別得到各區(qū)間段的T-E 擬合方程。

擬合公式如式(4)所示，表1 為部分?jǐn)M合系數(shù)和正負(fù)最大偏差，分別記為max 和min

正負(fù)最大偏差由誤差函數(shù)G(T)確定，G(T)可表示為式(5)的復(fù)合函數(shù)形式

表1 N 型熱電偶部分?jǐn)M合系數(shù)Tab 1 Part of fitting coefficients of N type thermocouple

其中，T 為理論溫度值，F(xiàn)(T)為利用線性最小二乘法分段擬合的函數(shù)，f(T)為分度表給定的溫度—熱電動(dòng)勢(shì)(T-E)函數(shù)，即為公式(2)所代表的函數(shù)。

由于熱電偶分度公式和分段擬合的公式均為單調(diào)線性多項(xiàng)式，而且在各自分段區(qū)間內(nèi)連續(xù)，因此復(fù)合函數(shù)G(T)在任意分段區(qū)間內(nèi)連續(xù)。求導(dǎo)分別得出函數(shù)在各連續(xù)區(qū)間內(nèi)的最大值與最小值，即正負(fù)最大偏差值。為了驗(yàn)證這些數(shù)值是否準(zhǔn)確，利用Matlab 繪出0 ～1 000 ℃之間各分段的溫度差函數(shù)G(T)的圖形如圖2 所示。

圖2 理論溫度與計(jì)算溫度的偏差圖Fig 2 Deviation chart of theoretical temperature and computational temperature

由圖2 可以看出，分段擬合公式已經(jīng)能夠保證偏差小于0.015 ℃，但是由于環(huán)境和硬件設(shè)備誤差等因素的影響，算法在實(shí)際應(yīng)用并不能達(dá)到理想的效果，因此，設(shè)計(jì)了優(yōu)化算法以滿足實(shí)際需要，算法在獲得某一熱電動(dòng)勢(shì)值E 后通過查表和多項(xiàng)式計(jì)算得出一個(gè)溫度數(shù)值t，那么，這個(gè)溫度值與真實(shí)溫度值之間的偏差在區(qū)間［min，max］之間，令ta=t+min，tb=t+max，因此，所需確定的溫度區(qū)間可以表示為［ta，tb］。

需要說明的是，在國際電工委員會(huì)ICE584—1 標(biāo)準(zhǔn)中也有由E 轉(zhuǎn)換為T 的公式，但在0 ～600 ℃范圍內(nèi)，該公式計(jì)算的誤差在［-0.016，0.027］℃之間，在600 ～1 300 ℃的公式誤差在［-0.039，0.021］℃之間。由于本文擬合公式分段較多，計(jì)算出的誤差要小于國標(biāo)中給出的公式誤差，也就是縮小了所需確定的溫度區(qū)間，為下一步精確計(jì)算減小了運(yùn)算時(shí)間。

2.1.2 降低運(yùn)算復(fù)雜度

方程求根等價(jià)于求f(x)與x 軸的交點(diǎn)。如果函數(shù)單調(diào)連續(xù)，且在區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)，則方程有唯一的解。因此，只要給定一個(gè)單調(diào)連續(xù)，且兩端函數(shù)值異號(hào)的初始區(qū)間，即可通過二分法把f(x)的零點(diǎn)所在小區(qū)間收縮50%，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近函數(shù)的零點(diǎn)，最終以求得方程根的近似值。

在算法設(shè)計(jì)中，由于二分法需要循環(huán)計(jì)算公式(2)這類復(fù)雜高階方程，因此，為了降低運(yùn)算復(fù)雜度，利用秦九昭算法簡化如下

求公式(6)的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)一次多項(xiàng)式的值，然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，求n 次多項(xiàng)式的值就轉(zhuǎn)換為求n 個(gè)一次多項(xiàng)式的值，計(jì)算次數(shù)可以減少到只做n 次乘法和n 次加法，有效降低了運(yùn)算復(fù)雜度。

2.2 算法流程

圖3 所示為算法流程，其過程為:

1)獲取經(jīng)冷端補(bǔ)償過的熱電動(dòng)勢(shì)E，查找擬合公式系數(shù)表獲取分段擬合公式，確定溫度t0。

2)根據(jù)分段擬合函數(shù)值正負(fù)最大誤差確定二分法查找的起始溫度區(qū)間［ta，tb］。

3)由公式tc=(ta+tb)/2 算出區(qū)間中點(diǎn)tc，判斷條件tb-ra＜δ是否成立，如果條件成立，則tc便是所求溫度值;否則，判斷分度表公式與實(shí)際熱電勢(shì)的差值函數(shù)函數(shù)P(tc)=f(tc)-E是否等于0。

4)如果函數(shù)值P(tc)等于0 成立，則tc便是所求溫度值;否則，判斷其是否大于0，若成立，則令tb=tc;否則，令ta=tc。最后，返回步驟(3)直至求得最佳解。

圖3 算法流程圖Fig 3 Algorithm flow chart

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

算法的仿真測(cè)試實(shí)驗(yàn)主要包括測(cè)溫精度測(cè)試和運(yùn)算時(shí)間測(cè)試。實(shí)驗(yàn)是在差示量熱掃描儀(熱分析儀的一種)上測(cè)試的，該儀器以ATmega128 單片機(jī)為核心，時(shí)鐘為16 MHz。

表2 為實(shí)驗(yàn)選取的比較有代表性的溫度點(diǎn)的溫度對(duì)照表。其中理論溫度為根據(jù)分度公式計(jì)算的當(dāng)前熱電動(dòng)勢(shì)所對(duì)應(yīng)的溫度值，測(cè)得溫度為使用本算法得到的溫度值，δ=0.001。由表中數(shù)據(jù)對(duì)比可以看出:使用本算法溫度誤差小于0.005 ℃，達(dá)到了計(jì)算的精度要求。不僅如此，本算法可以根據(jù)實(shí)際需求，通過改變?chǔ)?值，減少不必要的程序循環(huán)計(jì)算過程，提高運(yùn)算速度。

在同樣的硬件平臺(tái)上對(duì)比四種常見算法的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，算法1:查表法;算法2:分段曲線擬合法，即國標(biāo)中給出的電動(dòng)勢(shì)轉(zhuǎn)換為溫度的函數(shù)(T-E);算法3:傳統(tǒng)的方程求根法;算法4:本文提出的結(jié)合分段曲線擬合和二分法。4 種算法的溫度誤差如圖4 所示。

表2 理論溫度與測(cè)得溫度對(duì)照表Tab 2 Comparison table of theoretical temperature and measured temperature

從圖4 可以看出:在0 ～1 000 ℃范圍內(nèi)，本文提出的算法精度可達(dá)到±0.005 ℃，計(jì)算精度與算法3 的精度相近，遠(yuǎn)高于算法1 和算法2。

圖5 為四種算法所需的計(jì)算時(shí)間。由圖可見，算法1和算法2 運(yùn)算時(shí)間在10 ms 以下，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于算法3 和算法4。而算法4 在運(yùn)算時(shí)間上比算法3 快近4 倍。

因此，綜合運(yùn)算時(shí)間和精度，本文算法具有運(yùn)算速度快、計(jì)算精度高的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)束語

圖4 四種算法誤差圖Fig 4 Error plot of four kinds of algorithms

圖5 四種算法運(yùn)行時(shí)間Fig 5 Running time of four kinds of algorithms

本文提出了一種改進(jìn)的快速高精度熱電偶測(cè)溫算法，以方程求根法為基礎(chǔ)，使用最小二乘法和導(dǎo)數(shù)定義快速確定查找溫度最小誤差區(qū)間，秦九昭算法簡化計(jì)算公式，二分法快速收斂求得溫度值，克服了傳統(tǒng)計(jì)算方法的計(jì)算精度低和運(yùn)算時(shí)間長的缺點(diǎn)。實(shí)現(xiàn)結(jié)果顯示:在以ATmega128為控制核心，時(shí)鐘為16 MHz 的硬件平臺(tái)下，本文算法在0 ～1 000 ℃的溫度范圍內(nèi)在達(dá)到±0.005 ℃的較高精度的同時(shí)擁有相對(duì)較快的80 ms 響應(yīng)速度。

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