孫夢野, 王仲君

(武漢理工大學(xué) 理學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)系, 武漢 430070)

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孫夢野*, 王仲君

(武漢理工大學(xué) 理學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)系, 武漢 430070)

近些年來,由于金融危機(jī)、歐債危機(jī)的出現(xiàn)和通貨膨脹的加重,具有避險(xiǎn)保值功能的貴金屬成為了更多投資者的投資對(duì)象.然而貴金屬市場的價(jià)格波動(dòng)是一個(gè)具有非線性特征的變化過程,分形理論為這種復(fù)雜的市場行為提供了一種新型的定量分析方法.本文對(duì)多重分形去趨勢波動(dòng)分析法(MF-DFA)和重疊平滑窗MF-DFA方法進(jìn)行改進(jìn),提出了二分重疊平滑窗MF-DFA方法(Bi-OSW-MF-DFA)并且證明了此方法具有更強(qiáng)的穩(wěn)健性和更高的效率,再運(yùn)用改進(jìn)的模型結(jié)合標(biāo)度指數(shù)和多重分形譜對(duì)黃金和白銀市場的多重分形特征和風(fēng)險(xiǎn)性進(jìn)行研究.證實(shí)了貴金屬市場的多重分形結(jié)構(gòu)由長程相關(guān)性和厚尾概率分布兩個(gè)因素共同決定,其中序列的波動(dòng)性是造成貴金屬市場具有多重分形特性的主要因素;并且發(fā)現(xiàn)了白銀市場的多重分形強(qiáng)度較大,其風(fēng)險(xiǎn)高于黃金市場.

貴金屬市場; 多重分形; Bi-OSW-MF-DFA; 多重分形譜; 風(fēng)險(xiǎn)

隨著資本市場的發(fā)展,金融產(chǎn)品的品種日益豐富,貴金屬在多元投資組合中的交易日趨活躍.國家放開對(duì)黃金的管制促使黃金市場迅速發(fā)展,同時(shí)白銀作為現(xiàn)代金融交易手段的歷史沿革,伴隨黃金而沉浮,成為現(xiàn)代貴金屬市場重要組成部分.黃金和白銀作為貴金屬市場中主要的投資產(chǎn)品,其價(jià)格波動(dòng)必然會(huì)引起人們的關(guān)注,特別是在金融危機(jī)來臨的時(shí)候,具有避險(xiǎn)保值功能的貴金屬更是投資者青睞的對(duì)象.根據(jù)已有的研究可知:貴金屬市場價(jià)格的變化是一個(gè)具有非線性特征的變化過程[1].

1986年Mandelbrot[2]定義分形為:局部和整體有某種方式相似的形.近幾十年,分形理論得到了良好的發(fā)展,它為金融市場中所出現(xiàn)的一些問題提供了一種新的研究手段.分形理論與混沌理論是緊密聯(lián)系的,其中分形理論側(cè)重于研究非線性系統(tǒng)內(nèi)部的確定性與隨機(jī)性之間的關(guān)系[3].多重分形理論有利于推動(dòng)非線性理論在資本市場的可操作性應(yīng)用,更好地認(rèn)識(shí)資本市場的本質(zhì)[4].借助于非線性系統(tǒng)理論,分形理論不僅可以為市場行為的許多復(fù)雜現(xiàn)象做出解釋,同時(shí)也提供了一個(gè)新型的定量分析方法.傳統(tǒng)的R/S方法(重標(biāo)極差分析法)最初由英國水文學(xué)家赫斯特于1951年在研究尼羅河水壩工程時(shí)提出,用來分析時(shí)間序列的分形特征和長期記憶過程,但是這種方法只適用于簡單的分形.2002年,Kantelhardt[5]提出了多重分形去趨勢波動(dòng)分析法(MF-DFA方法),它能夠發(fā)現(xiàn)非平穩(wěn)時(shí)間序列中的長范圍相關(guān)性,而且能夠避免對(duì)相關(guān)性的錯(cuò)誤判斷[6].目前,國內(nèi)許多學(xué)者運(yùn)用MF-DFA方法對(duì)股票市場的多重分形性質(zhì)進(jìn)行研究,并得到了較好的結(jié)果,但是在貴金屬市場上的應(yīng)用較少.此外,MF-DFA方法在分割子區(qū)間時(shí)存在著弊端,在對(duì)整個(gè)序列進(jìn)行分割后所形成的分割區(qū)間是不相連的,這導(dǎo)致相鄰分割區(qū)間上的擬合多項(xiàng)式不連續(xù),從而可能引入新的偽波動(dòng),造成波動(dòng)函數(shù)產(chǎn)生偏誤,引起標(biāo)度指數(shù)的失真[7].因此,本文首先對(duì)MF-DFA方法和重疊平滑窗MF-DFA方法進(jìn)行改進(jìn),再運(yùn)用改進(jìn)后的二分重疊平滑窗MF-DFA方法(Bi-OSW-MF-DFA方法)對(duì)黃金和白銀市場的分形特性進(jìn)行研究,對(duì)比兩個(gè)市場分形的強(qiáng)度,從而對(duì)其風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析.

1 二分重疊平滑窗MF-DFA方法的構(gòu)建

由于MF-DFA方法對(duì)整個(gè)序列分割后所形成的分割區(qū)間是非連續(xù)的,鄭輝,王斌會(huì)[1]對(duì)其進(jìn)行了修正,得到了OSW-MF-DFA方法,它在分割區(qū)間時(shí)對(duì)相鄰區(qū)間進(jìn)行了一部分的疊加,在一定程度上降低了MF-DFA方法中的偽波動(dòng).為了保證數(shù)據(jù)的完整性,以上2種多重分形分析方法分別按順序和逆序?qū)?shù)據(jù)進(jìn)行了處理,這樣順序分割的Ns個(gè)子區(qū)間和逆序分割的Ns個(gè)子區(qū)間會(huì)存在較多的重復(fù)信息,在擬合波動(dòng)函數(shù)時(shí)誤差也會(huì)變大.本文將在MF-DFA方法和OSW-MF-DFA方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),改進(jìn)的思想是從減小偽波動(dòng)著手,對(duì)區(qū)間的分割方式進(jìn)行重新定義,使擬合波動(dòng)函數(shù)的誤差減小,模型的效率提高;改進(jìn)的方法首先將原序列均分為兩段,第一段數(shù)據(jù)進(jìn)行順序的重疊分割,第二段數(shù)據(jù)進(jìn)行逆序的重疊分割.具體步驟如下.

1) 記原序列的長度為N,求原序列對(duì)均值的累積離差,得到序列y(i):

(1)

2) 與原方法分割方式不同,首先將序列y(i)平均分為兩段,每段長度n=floor(N/2)(floor()表示向下取整運(yùn)算),再對(duì)第一段時(shí)間序列進(jìn)行順序分割,第二段時(shí)間序列進(jìn)行逆序分割,每段都分割為Ns個(gè)長度為s的重疊的子區(qū)間,其中Ns=ceil((n-s)/(s-l))(ceil()表示向上取整運(yùn)算),l(0

3) 通過最小二乘法擬合每一個(gè)子區(qū)間v(v=1,2,…,2Ns)上的局部趨勢pv(j),并用其消除區(qū)間中的局部趨勢,得到序列Zv(j):

Zv(j)=yv(j)-pv(j),j=1,2,…,s.

(2)

4) 分別計(jì)算2Ns個(gè)去趨勢子區(qū)間序列的均方值:

(3)

求序列的q階波動(dòng)函數(shù):

(4)

5) 確定波動(dòng)函數(shù)的標(biāo)度指數(shù),首先固定階數(shù)q,通過雙對(duì)數(shù)圖分析Fq(s)和s的關(guān)系:

Fq(s)∝sh(q).

(5)

對(duì)于固定的階數(shù)q,每一種分割長度s都有一個(gè)波動(dòng)函數(shù)Fq(s)與其對(duì)應(yīng).對(duì)上式兩邊取自然對(duì)數(shù)得到Ln[Fq(s)]～Ln(s)的關(guān)系,作出Ln[Fq(s)]和Ln(s)的函數(shù)關(guān)系圖,其斜率即為q階廣義Hurst指數(shù).不同范圍內(nèi)的Hurst指數(shù)描述了時(shí)間序列的不同性質(zhì)[8]:H∈(0.5,1.0]時(shí),時(shí)間序列具有長記憶性;H∈[0,0.5)時(shí),時(shí)間序列具有反持久性;當(dāng)H=0.5時(shí),時(shí)間序列不相關(guān),是一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)過程,即當(dāng)前狀態(tài)不會(huì)影響將來狀態(tài).

6) 通過MF-DFA方法得到的h(q)與經(jīng)典多重分形標(biāo)度指數(shù)(Renyi指數(shù))τ(q)有下式中的關(guān)系:

τ(q)=qh(q)-1.

(6)

7) 對(duì)此式進(jìn)行Legendre變換,可以得到多重分形譜分析中的奇異指數(shù)α和多重分形譜f(α):

α=h(q)+qh′(q),

(7)

f(α)=q[α-h(q)]+1=q2h′(q)+1.

(8)

多重分形的奇異指數(shù)α可以描述時(shí)間序列局部的特征,多重分形譜的寬度Δα(Δα=αmax-αmin)用來表示最大概率和最小概率之間的差值,多重分形譜f(α)反映了奇異指數(shù)α所對(duì)應(yīng)的指數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù),多重分形譜f(α)與奇異指數(shù)α的關(guān)系圖可以體現(xiàn)概率分布的特征.對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列,當(dāng)多重分形譜f(α)是一個(gè)單一的值時(shí),說明該序列具有單分形特征;當(dāng)多重分形譜f(α)隨著奇異指數(shù)α的變化而變化時(shí),說明該序列具有多重分形的特性.

2 黃金、白銀市場的多重分形特征和風(fēng)險(xiǎn)分析

2.1 數(shù)據(jù)選取與說明

本文研究針對(duì)的是貴金屬市場,選取的數(shù)據(jù)分別是現(xiàn)貨黃金(2008年1月2日到2013年12月31日)和白銀(2007年1月3日到2013年10月18日)的每日收盤價(jià)格,分別得到1 518和1 761個(gè)收盤價(jià)格,計(jì)算得到1 517和1 760個(gè)日收益率數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)來源于集金號(hào)黃金白銀分析軟件.

由于對(duì)數(shù)收益率可以消去價(jià)格變動(dòng)對(duì)價(jià)格水平的依賴關(guān)系,同時(shí)以對(duì)數(shù)表示的價(jià)格間的差值也是收益率[9],對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行以下處理得到收益序列:設(shè)It為t時(shí)刻的收盤價(jià)格,則t時(shí)刻的收益率可表示為:

rt=ln(It)-ln(It-1).

圖1和圖2描述了現(xiàn)貨黃金和白銀的每日收益率隨時(shí)間變化的趨勢.為了進(jìn)一步對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到更精確的認(rèn)識(shí),分別對(duì)現(xiàn)貨黃金和白銀的收益序列進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì),得到表1.

圖1 現(xiàn)貨黃金每日收益率隨時(shí)間變化的趨勢(2008年～2013年)Fig.1 Daily return series history of spot gold market (2008～2013)

圖2 現(xiàn)貨白銀每日收益率隨時(shí)間變化的趨勢(2007年～2013年)Fig.2 Daily return series history of spot silver market (2007～2013)

表1 收益序列的基本統(tǒng)計(jì)量

從上表可知,現(xiàn)貨黃金和白銀的收益序列的偏度小于0,收益率分布呈左偏狀,兩序列的峰度均大于3,具有尖峰胖尾特征,說明現(xiàn)貨黃金和白銀的收益序列均不服從正態(tài)分布.

用傳統(tǒng)R/S方法對(duì)黃金收益率和白銀收益率進(jìn)行分析,通過對(duì)log(R/S)和log(n)的圖形進(jìn)行擬合(由于篇幅原因,只給出結(jié)果),得到的直線斜率分別是0.525 8和0.565 6.由于Hurst指數(shù)大于0.5,說明黃金收益率和白銀收益率具有長記憶性,但是對(duì)于具有多分形結(jié)構(gòu)的時(shí)間序列而言,傳統(tǒng)R/S方法不適用,所以選用MF-DFA方法對(duì)市場進(jìn)行進(jìn)一步的分析.

2.23 種方法下黃金白銀市場的Hurst指數(shù)比較

在使用MF-DFA方法對(duì)市場進(jìn)行分析的同時(shí),也對(duì)此方法進(jìn)行了改進(jìn).為證實(shí)構(gòu)建的Bi-OSW-MF-DFA方法比MF-DFA方法和OSW-MF-DFA方法更具有穩(wěn)健性,下面分別用3種方法對(duì)同一黃金和白銀收益率進(jìn)行分析.在多重分析過程中,3種方法選用同樣的子區(qū)間分割長度和階數(shù),以克服其他參數(shù)不同所造成的誤差,得出的Hurst指數(shù)h(q)和階數(shù)q的關(guān)系圖如圖3、圖4所示.

圖3 3種方法下的黃金收益率h(q)指數(shù)擬合圖Fig.3 h(q) of gold return series from three methods

圖4 3種方法下的白銀收益率h(q)指數(shù)擬合圖Fig.4 h(q) of silver return series from three methods

通過圖3和圖4可以發(fā)現(xiàn),h(q)是依賴于q的遞減函數(shù).比較3種方法的結(jié)果:由Bi-OSW-MF-DFA方法得到的h(q)的值較為集中,從表2的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得Bi-OSW-MF-DFA方法下兩序列的Hurst指數(shù)h(q)的波動(dòng)都較小,對(duì)于黃金收益序列:Δh*=0.41853<Δh＾=0.52908<Δh=0.63666;對(duì)于白銀收益序列Δh*=0.52017<Δh＾=0.67432<Δh=0.72737.證實(shí)了二分重疊平滑窗MF-DFA(Bi-OSW-MF-DFA方法)具有較好的穩(wěn)健性.

表2 3種方法下黃金和白銀收益序列h(q)和q的關(guān)系

2.3 貴金屬市場多重分形的成因分析

根據(jù)現(xiàn)有的文獻(xiàn)可知,時(shí)間序列中的多重分形行為存在兩種原因:一是由于小幅波動(dòng)及大幅波動(dòng)中不同的長范圍相關(guān)性造成的;另一種是由于波動(dòng)的胖尾概率分布引起的[11].為了進(jìn)一步研究貴金屬市場多重分形的成因,下面分別對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得到重排序列和替換序列,重排過程充分地打亂了原序列的順序.相比原始序列,重排序列打亂了序列之間的相關(guān)性但保留其波動(dòng)性,替換序列弱化了時(shí)間序列分布的非高斯性.因此,若多重分形只由長程相關(guān)性造成,那么重排序列的h(q)=0.5;若多重分形只由波動(dòng)的胖尾概率分布造成,那么重排序列和原始序列的h(q)相同.當(dāng)兩種因素同時(shí)存在,重排序列會(huì)表現(xiàn)出較弱于原始序列的多重分形特征.

運(yùn)用具有較強(qiáng)穩(wěn)健性的Bi-OSW-MF-DFA方法對(duì)現(xiàn)貨黃金和白銀收益序列的原始序列、重排序列和替換序列進(jìn)行比較分析,得到如圖5、圖6結(jié)果.

圖5 3種黃金收益序列h(q)指數(shù)擬合圖Fig.5 h(q) versus the order q of three different gold series based on Bi-OSW-MF-DFA method

圖6 3種白銀收益序列h(q)指數(shù)擬合圖Fig.6 h(q) versus the order q of three different silver series based on Bi-OSW-MF-DFA method

由圖5和圖6可知:黃金和白銀收益序列經(jīng)過重排后h(q)下降的幅度都要大于序列經(jīng)過替換后h(q)下降的幅度,說明兩個(gè)市場中的價(jià)格波動(dòng)對(duì)其多重分形特性的影響占主導(dǎo)作用.對(duì)比兩個(gè)市場可知:黃金重排序列比白銀重排序列的h(q)更加遠(yuǎn)離0.5,即對(duì)原序列的相關(guān)性進(jìn)行破壞后,黃金市場顯示出了更強(qiáng)的反持久性,說明黃金收益序列的相關(guān)程度更高.此外,黃金替換序列的Δh=0.09275明顯小于白銀替換序列的Δh=0.37624,說明黃金市場中波動(dòng)的胖尾概率分布對(duì)其多重分形特征的影響要大于白銀市場.

表3 黃金和白銀各收益序列的Hurst指數(shù)變化

2.4 基于標(biāo)度指數(shù)和多重分形譜的貴金屬市場風(fēng)險(xiǎn)分析

由圖7和圖8可知:黃金收益原始序列和白銀收益原始序列的τ(q)～q圖形有較強(qiáng)的非線性,并且兩個(gè)市場的重排序列的非線性都高于替換序列的非線性,說明重排序列對(duì)多標(biāo)度的貢獻(xiàn)要強(qiáng)于替換序列.對(duì)比可知:白銀收益序列的τ(q)～q曲線的非線性更強(qiáng),說明了白銀市場價(jià)格更不穩(wěn)定,具有較高的風(fēng)險(xiǎn)性.

此外,多重分形譜對(duì)黃金和白銀收益率波動(dòng)的多重分形特征進(jìn)行了充分的描述.單分形中,多重分形譜f(α)是一個(gè)恒定的常數(shù),不隨著奇異指數(shù)α的變化而變化.由圖9和圖10可知,所有序列的多重分形譜都是上凸的拋物線,證實(shí)了黃金和白銀市場中價(jià)格的多重分形行為.值得注意的是,雖然價(jià)格存在波動(dòng),但是黃金和白銀收益原始序列的多重分形譜展現(xiàn)了較好的對(duì)稱性,重排序列卻存在一個(gè)較長的右尾,說明實(shí)際市場的價(jià)格波動(dòng)是較為均勻的.此外,多重分形譜的寬度可以反映金融市場的風(fēng)險(xiǎn)性.

圖7 黃金序列多重分形τ(q)～q圖形Fig.7 τ(q)～q of three different gold series

圖8 白銀序列多重分形τ(q)～q圖形Fig.8 τ(q)～q of three different silver series

白銀收益原始序列的多重分形譜寬度Δα=0.65352大于和黃金收益原始序列的多重分形譜寬度Δα=0.54466,說明白銀價(jià)格波動(dòng)的幅度要更加強(qiáng)烈,白銀市場的風(fēng)險(xiǎn)性要高于黃金市場,但風(fēng)險(xiǎn)性大的市場意味著較高的收益,適合投機(jī)者進(jìn)入.

對(duì)于兩個(gè)市場,重排序列和替換序列的多重分形譜寬度都有了明顯變化,再次證實(shí)了貴金屬市場多重分形成因是由2個(gè)因素共同決定的.經(jīng)過替換處理后的多重分形譜寬度變窄幅度較大,說明了極端大的非高斯事件對(duì)時(shí)間序列的多重分形特征也有一定的影響.

圖9 黃金序列多重分形f(α)～α圖形Fig.9 f(α)～α of three different gold series

圖10 白銀序列多重分形f(α)～α圖形Fig.10 f(α)～α of three different silver series

3 總結(jié)

本文基于分形理論,對(duì)廣泛運(yùn)用的MF-DFA方法進(jìn)行改進(jìn)并對(duì)貴金屬市場進(jìn)行了研究,選取了現(xiàn)貨黃金市場和白銀市場作為研究對(duì)象,得出了以下結(jié)論.

1) 對(duì)多重分形去趨勢波動(dòng)分析法(MF-DFA)進(jìn)行改進(jìn),證實(shí)了修正后的二分重疊平滑窗的多重分形去趨勢波動(dòng)分析法(Bi-OSW-MF-DFA)在多重分形分析上有更強(qiáng)的穩(wěn)健性.一方面該模型減少了對(duì)信息的重復(fù)提取,減小了誤差;另一方面該模型具有更高的運(yùn)算效率.

2) 貴金屬市場不符合單分形結(jié)構(gòu),具有明顯的多重分形特性,并且白銀市場的多重分形強(qiáng)度要高于現(xiàn)貨黃金市場的多重分形強(qiáng)度.說明對(duì)于投資而言,白銀市場的風(fēng)險(xiǎn)和收益要高于黃金市場.

3) 通過對(duì)黃金市場和白銀市場的原收益序列進(jìn)行重排和替換處理,可以發(fā)現(xiàn)貴金屬市場的多重分形特征是由小幅波動(dòng)及大幅波動(dòng)中的不同的長程相關(guān)性和波動(dòng)厚尾概率分布共同作用引起的,并且序列的波動(dòng)性是造成貴金屬市場具有多重分形特性的主要因素.

4) 通過對(duì)黃金市場和白銀市場進(jìn)行多重分形譜分析,發(fā)現(xiàn)白銀市場的多重分形譜寬度要大于黃金市場的寬度,證實(shí)了白銀市場的風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較高.多重分形譜寬度越寬,則市場的價(jià)格波動(dòng)較強(qiáng),回報(bào)率較高,說明白銀市場更適合投機(jī);多重分形譜寬度越窄,則市場的價(jià)格波動(dòng)較弱,風(fēng)險(xiǎn)也較低,說明黃金市場更適合投資者做套期保值.

在現(xiàn)實(shí)交易中,白銀市場更小的容量以及更高的投機(jī)傾向使其價(jià)格具有更大的波動(dòng)率,并且本文通過實(shí)證分析得出了同樣的結(jié)論.除此之外,白銀存量的分散性以及更高的成本等因素也使其波動(dòng)性顯著高于黃金市場.但是對(duì)比股票市場,貴金屬市場運(yùn)行時(shí)間較短,風(fēng)險(xiǎn)較大,仍然是一個(gè)發(fā)展尚不成熟的金融市場,需要對(duì)其進(jìn)行更加深入的研究,為更多的投資者提供全面的細(xì)節(jié)信息和有力支持.

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The risk of precious metal market based on multifractal analysis

SUN Mengye, WANG Zhongjun

(The Statistics Department of Science School, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070)

In recent years, with the aggravation of the global economic crisis and inflation, precious metals with safe-haven function have become increasingly popular. However, the price fluctuation of precious metals is a non-linear process, and multifractal theory has provided a new quantitative analysis method for these complicated market behaviors. In the present work, market Multifractal Detrended Fluctuation Analysis (MF-DFA method) and Overlapped Sliding Window-based MF-DFA (OSW-MF-DFA) are improved, generating a stronger model-Bi-OSW-MF -DFA method. Besides, the multifractal characteristics and risks of gold and silver market are analyzed in combination of the advanced model with scaling exponent and multifractal spectrum. It is found that a broad probability density function and different long-range correlations of small and large fluctuations are the two contributors for multifractality in precious metals market. Additionally, the risk of silver market is higher than the gold market.

the precious metals market; multifractal analysis; Bi-OSW-MF-DFA; multifractal spectrum; risk

2015-03-09.

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(2014-zy-162).

1000-1190(2015)06-0831-07

C812;F224

A

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