張建軍, 喬松珊

(1.河南農(nóng)業(yè)大學 信息與管理科學學院, 鄭州 450002; 2.中原工學院 信息商務學院, 鄭州 450007)

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張建軍1*, 喬松珊2

(1.河南農(nóng)業(yè)大學 信息與管理科學學院, 鄭州 450002; 2.中原工學院 信息商務學院, 鄭州 450007)

基于分層排序集樣本提出了總體均值的改進比率估計方法,討論了改進比率估計量的均方誤差和偏差估計式,證明了改進的比率估計比原來的聯(lián)合比率估計更加有效.最后,利用一組幼兒黃疸病膽紅素含量的數(shù)據(jù)進行實例分析,結果表明,基于分層排序集樣本的改進比率估計可以有效提高估計精度.

輔助變量; 分層抽樣; 排序集抽樣; 改進比率估計

排序集抽樣是另一種利用輔助信息提高抽樣效率的方法,具體過程為,從總體1次抽取r2個樣本,隨機地劃分為r組,對每組樣本進行排序,從第i組抽取秩為i的樣本單元并具體測量,i=1,2,…,r.類似過程重復m次,得到樣本量為mr的排序集樣本,記為X(i)j,i=1,2,…,r;j=1,2,…,m.排序集抽樣下的比率估計已有一些研究結果,文獻[3]利用排序集樣本討論了總體均值的比率估計,并證明該方法有效提高了估計精度;文獻[4]與文獻[5]采用不同的方式對排序集抽樣下的比率估計形式進行改進.

研究發(fā)現(xiàn),總體參數(shù)的估計精度很大程度上依賴于對輔助信息的利用程度,鑒于此,文獻[6]探討了輔以排序集樣本的分層抽樣方法,分析了總體均值的簡單估計量及性質,文獻[7]利用排序集抽樣代替隨機抽樣,基于分層排序集抽樣構造比率估計量.為了進一步在估計量設計階段提高分層比率估計的精度,文中基于分層排序集樣本討論了一種新改進的比率估計方法.第1部分介紹分層排序集抽樣下改進比率估計的構造方法;第2部分討論了新改進比率估計的均方誤差和估計量偏移;第3部分研究了估計量中參數(shù)的優(yōu)化方法;第4部分證明了改進比率估計可以有效提高估計精度;最后,通過實際例子進一步分析,并給出結論.

1 構造改進的比率估計量

(Xh(1)k,Yh[1]k),(Xh(2)k,Yh[2]k),…,(Xh(rh)k,Yh[rh]k),k=1,2,…,m;h=1,2,…,L,

其中,Xh(i)k為變量X在第h層秩為i的次序統(tǒng)計量,Yh[i]k為伴隨變量,i=1,2,…,rh.

若μX已知,則總體均值μY的聯(lián)合比率估計量為:

(1)

簡單隨機抽樣下,Prasad(1989)曾經(jīng)提出如下的比率估計量[8]

(2)

(3)

2 改進估計量的性質

為了比較改進的估計量是否比原來的估計量更加有效,下面來分析估計量的偏差與近似方差.

其中,TXh(i)=μXh(i)-μXh,TYh[i]=μYh[i]-μYh,μYh[i]=E(Yh[i]),μXh(i)=E(Xh(i)),TXhYh(i)=TXh(i)·TYh[i],ρXhYh為變量X,Y在第h層的相關系數(shù).

(4)

TXhYh(i)=TXh(i)·TYh[i],TXh(i)=μXh(i)-μXh,

TYh[i]=μYh[i]-μYh,

μYh[i]=E(Yh[i]),μXh(i)=E(Xh(i)),

從而

(5)

由文獻[3]可知

其中,TXh(i)=μXh(i)-μXh,μXh(i)=E(Xh(i)),代入(5)中得到

(6)

故

由引理1,得到

由于TXhYh(i)=TXh(i)·TYh[i],從而

(7)

(8)

引理3[7]分層排序抽樣下總體的比率估計量為近似無偏估計,并且

(9)

下面,利用上述引理給出改進比率估計量的方差和偏差估計式.

證明利用引理3結論,可以得到

(10)

將引理2的結論代入(10),得到

從而

(11)

根據(jù)引理1的結論,可知

3 利用輔助信息確定待定系數(shù)k

下面,考慮如何利用輔助信息確定待定系數(shù)k,計算待定系數(shù)的原則是估計量的均方誤差最小,故將均方誤差表達式視為系數(shù)k的函數(shù), 具體過程如下:

解方程得到最優(yōu)參數(shù)值,

(12)

由引理2容易看出0

注意,在實際計算系數(shù)k*時,可以用樣本均值代替μY,各層的方差也可以用相應的樣本方差代替,估計量方差的計算類似.

4 改進比率估計的有效性

(13)

事實上,根據(jù)(12),即

5 實例分析

通過計算,得到分層排序集抽樣下各層樣本方差sx1=0.5850,sx2=0.2587,sy1=41.304,sy2=18.298,樣本均值μx1=2.911,μx2=2.631,μy1=12.878,μy2=10.838,以及相關系數(shù)ρx1y1=0.259,ρx2y2=-0.318.用各層的樣本方差代替各層總體方差,利用公式(12),得到分層排序抽樣下改進比率估計的待定系數(shù)k=0.992.由公式(7)、(8)、(10)可分別求出總體均值在不同比率估計形式下的方差,并計算出相應的估計值,結果見表2.

表1 基于SSRS與SRSS的抽樣結果

表2 總體均值的不同比率估計結果

容易計算估計的相對效率為eff(ySRSS,ySSRS)=0.819,eff(ykSRSS,ySSRS)=0.984.計算結果表明,分層排序集抽樣下均值的比率估計精度比分層隨機抽樣下的估計精度明顯提高,基于分層排序集樣本的改進比率估計比原有估計量的估計精度也有所提高,與前者相比估計效率的提高不是十分明顯,分析原因主要是由于所選取例子中兩變量的相關性不高造成的,對于輔助變量與研究變量相關性較強的情形,讀者可做進一步研究.

6 結論

分層排序集抽樣方法充分利用了輔助信息,是一種新的獲取樣本的手段,文中基于分層排序集樣本構造了總體均值的改進比率估計量,研究了改進比率估計的性質,并給出了改進比率估計量的偏差和均方誤差的近似估計式.最后,利用實際例子作進一步分析,結果表明,改進比率估計的均方誤差最小,特別是與分層隨機抽樣方法相比,有效地提高了估計量的精度.

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A new ratio estimation in stratified ranked set sample

ZHANG Jianjun1, QIAO Songshan2

(1.Collage of Information and Management Science, Henan Agricultural University, Zhengzhou 450002;2.College of Information and Business, Zhongyuan Institute of Technology, Zhengzhou 450007)

A new ratio estimation of the population mean based on stratified ranked set sample is established in this paper, with its mean square error and deviation discussed. It is proved that the new estimator is more efficient than the existing combined ratio estimation in all conditions. Finally, a practical application on bilirubin level in jaundiced babies is analyzed. The results show that the new ratio estimator using stratified ranked set sampling improve the precision of estimation effectively.

auxiliary variable; stratified sample; ranked set sample; new ratio estimation

2015-05-22.

河南省教育廳科學技術研究重點項目(13B110057);河南省高等學校青年骨干教師計劃項目(2014GGJS-158).

1000-1190(2015)06-0816-06

O212.2

A

*E-mail: zhangjianjunbox@163.com.