羅高駿, 左可正, 周 良

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 湖北 黃石 435002)

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廣義和超廣義投影算子的一些新特征

羅高駿, 左可正*, 周 良

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 湖北 黃石 435002)

利用矩陣的Σ-K-L分解,研究了廣義投影算子(A2=A*)和超廣義投影算子(A2=A+)的性質(zhì),得到了一些新的特征,這些結(jié)論推廣了Baksalary的有關(guān)結(jié)果.

廣義逆; 廣義投影算子; 超廣義投影算子

1 引言及預(yù)備引理

用Cm,n表示復(fù)數(shù)域上的所有m×n矩陣組成的集合,用A*,R(A),r(A),In分別表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置,值域,秩和n階單位矩陣,用N表示自然數(shù)集.當(dāng)A是n階方陣時,規(guī)定A0=In.

在文中將會涉及矩陣的幾種廣義逆(參見文獻(xiàn)[1-2]).用A+∈Cn,m表示矩陣A∈Cm,n的Mooer-Penrose逆,它滿足以下4個等式:

1)AA+A=A, 2)A+AA+=A+, 3)AA+=(AA+)*, 4)A+A=(A+A)*.

對任意矩陣A∈Cm,n,如果存在矩陣A(i,j,…,l)∈Cn,m,且滿足上述等式1),2),3),4)中的任一個或多個等式,用A{i,j,…,l}表示這類矩陣的集合,那么A(i,j,…,l)∈A{i,j,…,l}叫做矩陣A的{i,j,…,l}逆.

用A#∈Cn,n表示矩陣A∈Cn,n的群逆, 它滿足以下3個等式:

AA#A=A,A#AA#=A#,AA#=A#A,

且矩陣A的群逆存在的充要條件是r(A)=r(A2).

{A∈Cm，n:A*=A+}，

(1)

(2)

{A∈Cn，n:A2=A=A+}，

(3)

(4)

(5)

{A∈Cn，n:R(A)=R(A*)}，

(6)

(7)

199 7年, Grob和Trenkler在文獻(xiàn)[3]中提出了廣義投影算子和超廣義投影算子的概念,其定義如下:

定義1設(shè)矩陣A∈Cn,n,

1) 當(dāng)A2=A*時,矩陣A稱作廣義投影算子；

2) 當(dāng)A2=A+時,矩陣A稱作超廣義投影算子.

200 4年,Baksalary和Liu在文獻(xiàn)[4]中給出了廣義投影算子的3個新刻畫:

同一年，在文獻(xiàn)[5]中Baksalary給出了超廣義投影算子的刻畫:

200 8年， Baksalary在文獻(xiàn)[6]中給出了廣義投影算子的兩個新刻畫:

200 9年, Baksalary在文獻(xiàn)[7]中給出廣義投影算子和超廣義投影算子的幾個等價條件,即下面的引理1,引理2.

引理1[7]設(shè)A∈Cn,n,則以下6個條件等價:

引理2[7]設(shè)A∈Cn,n,則以下4個條件等價:

本文將Baksalary在文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果(即引理1和引理2)中的Mooer-Penrose逆推廣到{1,4}逆和{1,3,4}逆,并得到了廣義投影算子和超廣義投影算子的幾個新刻畫.

在文獻(xiàn)[6-7]以及本文中,廣義投影算子和超廣義投影算子的幾個結(jié)果都是運用文獻(xiàn)[8]中推論6提出的矩陣的Σ-K-L分解計算出來的,該分解如下:

引理3[8](Σ-K-L分解)設(shè)A∈Cn,n,且r(A)=r，則存在酉矩陣U∈Cn,n使得

(8)

其中,Σ=diag(σ1Ir1,…,σtIrt),σ1>σ2>…>σt>0,r1+r2+…+rt=r,K∈Cr,r,L∈Cr,n-r且KK*+LL*=Ir.

由(8)可以計算出,

(9)

如果有條件r(A)=r(A2),那么A#存在且有,

(10)

利用矩陣的Σ-K-L分解,Baksalary在文獻(xiàn)[9]中給出了一些特殊算子的刻畫條件,即下面的引理4.

引理4[9]設(shè)A∈Cn,n,且r(A)=r,A有(8)中的分解形式,則

引理5設(shè)A∈Cn,n,A有(8)中的分解形式,則

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

2 主要結(jié)果及證明

本部分主要是用引理3,引理4和引理5,將Baksalary在文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果進(jìn)行了推廣,將引理1和引理2中的Mooer-Penrose逆推廣到{1,4}逆和{1,3,4}逆.

再由引理5的(13)式直接計算可得

所以A=A(1,4)A*.

到2025年前適齡人口呈現(xiàn)相對減少的趨勢，適齡人口的減少直接降低了高等教育對象的規(guī)模，對高等教育的發(fā)展帶來一定的沖擊，同時這也是江蘇省高等教育改革的重要契機(jī)。江蘇省應(yīng)適當(dāng)控制高等教育規(guī)模擴(kuò)大的發(fā)展速度，努力提高高等教育的質(zhì)量，注重高等教育人才的全方面的培養(yǎng)，增設(shè)項目科研研究內(nèi)容，培養(yǎng)大學(xué)生的就業(yè)技能。

適當(dāng)增加條件后，可以得到下面的定理2．

所以A=A*A(1,3,4).

再由(10)式, 引理5的(13)式直接計算可得

所以A=A(1,4)A#.

適當(dāng)增加條件后,可以得到下面的定理4.

所以A=A#A(1,3,4).

定理5設(shè)A∈Cn,n,則以下3個條件等價:

證明下面只證明(i)?(ii),而(i)?(iii)可以用類似的方法證明.

所以A=A(1,4)(A#)2A.

?由A的Σ-K-L分解及引理3,(10)式, 引理5的(11)式和A=A(1,4)(A#)2A直接計算可得

L*Σ-1K-1Σ-1K-1Σ-1ΣK=0,可得L*=0,即L=0.而KK*+LL*=Ir,故K-1=K*.

定理6設(shè)A∈Cn,n,則以下3個條件等價:

證明下面只證明(i)?(ii),而(i)?(iii)可以用類似的方法證明.

所以A=(A*)2A(1)A.

?由A=(A*)2A(1)A,可得R(A)?R((A*)2)?R(A*),而r(A)=r(A*),所以R(A)=R(A*),故矩陣A是EP陣即L=0.

由A=(A*)2A(1)A和A的Σ-K-L分解及引理3,引理5的(14)式,可得

所以A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1.

?由A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1,可得R(A)?R(A*),而r(A)=r(A*),所以R(A)=R(A*),故矩陣A是EP陣即L=0.

由A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1和A的Σ-K-L分解及引理3,(10)式,(13)式可得

其中,X=(ΣK)1-lB3+(ΣK)2-lB3D3+(ΣK)3-lB3D32+…+(ΣK)-1B3D3l-2+B3D3l-1，

2) 將定理7中的A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1的等式右邊A*固定在等式右邊的末尾,隨意交換(A(1,4))l,(A#)d,Al+d-1這三項的位置, 定理7仍成立.必要性的證明與定理7類似,而充分性的證明是由A=(A(1,4))l(A#)dAl+d-1A*和A的Σ-K-L分解及引理3,(10)式和引理5的(12)式直接計算可得ΣL=0,其證明方法與定理7充分性的證明類似.

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Some new properties of generalized and hypergeneralized projectors

LUO Gaojun, ZUO Kezheng, ZHOU Liang

(Department of Mathematics， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002)

Using the decomposition ofΣ-K-Lofthematrix，weobtainseveralnewpropertiesandcharacteristicsofthegeneralizedprojectors(A2=A*)andthehypergeneralizedprojectors(A2=A+)，whichgeneralizesomerelatedresultsofBaksalary．

generalized inverse; generalized projectors; hypergeneralized projectors

2014-12-16.

國家自然科學(xué)基金項目(11271105);湖北省教育廳重點項目(D20122202).

1000-1190(2015)04-0488-04

O151.2< class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

A

*通訊聯(lián)系人. E-mail: xiangzuo28@163.com.