何 恒，白廷柱

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紅外熱成像系統(tǒng)作用距離預(yù)測(cè)方程計(jì)算誤差探析

何 恒，白廷柱

（北京理工大學(xué)光電學(xué)院 光電成像技術(shù)與系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081）

理論上討論了能量傳輸過程中輻射出射度差和溫差之間的關(guān)系，探討了紅外熱成像系統(tǒng)作用距離方程小溫差條件下近似計(jì)算的本質(zhì)，分析了近似計(jì)算所產(chǎn)生的誤差受溫差大小、背景溫度和工作波長(zhǎng)影響的情況?；贛RTD的定義和紅外熱像儀成像的原理，在前述探析的基礎(chǔ)上，提出更為符合紅外熱成像物理過程的作用距離方程計(jì)算方法，并實(shí)例計(jì)算了給定條件下的作用距離。計(jì)算結(jié)果表明，本文提出的計(jì)算方法更為符合輻射能量實(shí)際傳輸情況，具有更好的精度。

紅外熱成像；溫差；MRTD；計(jì)算誤差；作用距離

0 引言

紅外熱成像系統(tǒng)以其獨(dú)有的優(yōu)勢(shì)在戰(zhàn)場(chǎng)上得到越來越廣泛的應(yīng)用，然而系統(tǒng)的戰(zhàn)術(shù)性能受著系統(tǒng)本身性能、目標(biāo)特性、大氣環(huán)境等多方面因素的影響。因此，探討不同氣象條件下的紅外熱成像系統(tǒng)的作用距離性能[1]非常必要。最小可分辨溫差（MRTD）是綜合評(píng)價(jià)熱成像系統(tǒng)溫度分辨力和空間分辨力的重要參數(shù)，它不僅包含系統(tǒng)特征，也包含了觀察者的主觀因素。因此，目前對(duì)擴(kuò)展源目標(biāo)的作用距離進(jìn)行預(yù)測(cè)均采用表征系統(tǒng)靜態(tài)性能的MRTD法[2]。

D＝D0×()≥MRTD() (1)

式中：D、D0分別為熱成像系統(tǒng)入瞳處和零視距時(shí)目標(biāo)與背景的視在溫差；()為熱成像系統(tǒng)工作波段內(nèi)，沿目標(biāo)方向距離行程上大氣傳輸?shù)钠骄髿馔高^率。

根據(jù)大氣透過率的定義，大氣透過率反映的是大氣對(duì)輻射能量的衰減，并不是對(duì)溫差的衰減。文獻(xiàn)[4]指出，在對(duì)小溫差目標(biāo)圖像進(jìn)行探測(cè)時(shí)，可以近似認(rèn)為輻射功率差與溫差成正比，此時(shí)(1)式才是成立的；而在對(duì)大溫差目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)時(shí)，隨著溫差的增大，通過(1)式計(jì)算所產(chǎn)生的誤差將逐漸變大。

很多文獻(xiàn)對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了研究。白渭雄[6]等根據(jù)史蒂芬-玻爾茲曼定律中黑體輻射總功率與黑體溫度四次方成比例關(guān)系得到新的表達(dá)式。事實(shí)上，斯蒂芬-玻爾茲曼定律是針對(duì)全波段總輻射功率的關(guān)系，而實(shí)際探測(cè)器對(duì)紅外輻射的響應(yīng)有一定的波段范圍。在某一特定波段(1,2)內(nèi)，黑體輻射出射度與溫度四次方很難滿足比例關(guān)系[7]。陳立學(xué)[8]通過在3～5mm、8～12mm波段和220～320K的常溫范圍內(nèi)，滿足2＞＞T，以及小溫差條件下采用微分代替差分的思想，得到了一個(gè)新的溫差衰減的表達(dá)式。但是從其近似條件可以看出，其用到了小溫差近似，這也就意味著在溫差很大或背景溫度和工作波段發(fā)生變化時(shí)，其誤差仍然會(huì)很大。金偉其[9]等在計(jì)算中設(shè)定了一個(gè)閾值，并根據(jù)溫差是否達(dá)到閾值對(duì)小溫差和大溫差分開處理，這種方法雖然可以減小大溫差情況下的計(jì)算誤差，但依然無法避免小溫差情況下計(jì)算誤差大的問題。

本文詳細(xì)分析了小溫差條件下近似計(jì)算的原理，以及這種近似計(jì)算所產(chǎn)生的誤差與溫差大小、背景溫度和工作波長(zhǎng)影響的情況。根據(jù)MRTD的含義可知，MRTD實(shí)際上反映的是系統(tǒng)對(duì)紅外輻射能量差異的分辨能力，本文基于這一概念，提出了可以完整描述紅外輻射能量傳輸物理過程的作用距離預(yù)測(cè)方程。

1 輻射出射度差與溫差

根據(jù)大氣透過率的定義可得：

式中：0和0分別為目標(biāo)發(fā)射的輻射通量和輻射出射度；和為經(jīng)大氣衰減后的數(shù)值。

由(2)式可得：

＝0() (3)

若分別以t和b來表示紅外熱成像系統(tǒng)入瞳處目標(biāo)和背景的輻射出射度，則有：

式中：t0和b0分別表示零視距時(shí)目標(biāo)與背景的輻射出射度。兩式相減可得：

式中：D、D0分別表示紅外熱成像系統(tǒng)入瞳處和零視距目標(biāo)與背景的表觀輻射出射度差，D＝t－b，D0＝t0－b0。

當(dāng)D和D滿足比例關(guān)系時(shí)，即滿足：

式中：為比例系數(shù)。將(6)式代入(5)式，即可得到(1)式。

根據(jù)普朗克公式：

式中：1為第一輻射常數(shù)，1＝2p2＝3.7418×10－16，W×m－2；2為第二輻射常數(shù)，2＝/＝1.4388×10－2，m×K；為玻爾茲曼常數(shù)；為光速?？傻茫?/p>

由(8)式可知，在波長(zhǎng)＝4mm，背景溫度b＝300K，D＝0～50K時(shí)，D-D的關(guān)系如圖1。

由圖1可知，在所計(jì)算的溫差范圍內(nèi)，D與D之間呈非線性關(guān)系，只有在溫差比較小時(shí)，方可近似為線性關(guān)系。

圖1D-D關(guān)系曲線

Fig.1 Relation curve betweenDandD

在小溫差條件下，可以用微分代替差分：

即：

比較(10)式和(6)式可以看出，(9)式給出的恰恰是比例系數(shù)的計(jì)算方法。

考察圖1可知，曲線是經(jīng)過原點(diǎn)的，因此，可以考慮用D＝0K處的切線斜率作為比例系數(shù)。

由(8)式可得：

結(jié)合上述相關(guān)公式可知，在小溫差條件下，D和D近似滿足比例關(guān)系，比例系數(shù)正是D-D的關(guān)系曲線在D＝0K處切線的斜率，即：

因此，小溫差條件下的近似實(shí)際上就是用D-D關(guān)系曲線在D＝0K處的切線來近似這條曲線。下面分析這種近似計(jì)算產(chǎn)生的誤差受溫差大小、背景溫度和工作波段的影響情況。

在＝4mm，b＝300K，D＝0～50K時(shí)，D-D的關(guān)系曲線和近似直線如圖2所示。

圖2 DM-DT關(guān)系曲線和近似直線

由圖2可以看出，在溫差較小時(shí)，近似直線非常接近理論曲線；而在溫差比較大時(shí)，近似直線已經(jīng)嚴(yán)重偏離理論曲線。

誤差百分比隨溫差變化的曲線如圖3所示。

由圖3可以看出，在溫差為5K以內(nèi)時(shí)，這種近似所產(chǎn)生的誤差在10%以內(nèi)，而當(dāng)溫差為50K時(shí)，誤差已經(jīng)高達(dá)55%以上。

誤差百分比隨背景溫度和波長(zhǎng)的變化如圖4所示。

圖3 誤差百分比

(a) 背景溫度的影響

(b) 波長(zhǎng)的影響

圖4 背景溫度與波長(zhǎng)的影響

Fig.4 The influence of background temperature and wavelength

通過圖4可以看出，在波長(zhǎng)一定的情況下，隨著背景溫度的降低，按照線性近似計(jì)算所產(chǎn)生的誤差越來越大；在背景溫度一定的情況下，隨著波長(zhǎng)的減小，按照線性近似計(jì)算所產(chǎn)生的誤差越來越大，并且在3～5mm波段的誤差明顯大于8～12mm波段。這說明在3～5mm波段，輻射出射度差對(duì)溫差更敏感，利用(1)式計(jì)算所產(chǎn)生的誤差也就更大；而在8～12mm波段，溫差為10K時(shí)的誤差為5%，也就是說溫差小于10K時(shí)可以認(rèn)為是小溫差，可以用(1)式來進(jìn)行近似計(jì)算，這也就是文獻(xiàn)[9]中8～12mm波段的溫差閾值取10K的原因所在。

進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，D和D滿足比例關(guān)系時(shí)，(1)式也不成立。假設(shè)零視距時(shí)背景溫度為b0，經(jīng)過大氣衰減后，入瞳處的背景溫度為b，由(12)式可知：

b是b0通過(3)式和普朗克公式計(jì)算得到的，由于大氣的衰減，兩者并不相等，故而，大氣條件越差，兩者的差值就越大。

在＝4mm，b＝220～320K時(shí)，比例系數(shù)與背景溫度的關(guān)系如圖5所示。

圖5 比例系數(shù)與背景溫度的關(guān)系

由圖5可知，比例系數(shù)與背景溫度之間是非線性關(guān)系，因此將(13)式代入(5)式并不能得到(1)式。所以，(1)式需要在小溫差條件近似的基礎(chǔ)上做第2次近似，即認(rèn)為比例系數(shù)是相等的。

通過以上分析可知，用(1)式計(jì)算所產(chǎn)生的誤差來源于2個(gè)方面：小溫差條件下的近似和比例系數(shù)相等的近似。第1次近似的誤差隨著溫差的增大、背景溫度的降低、工作波長(zhǎng)的減小而增大；大氣衰減越厲害，第2次近似的誤差越大。

這里需要指出的是，以上分析是定性的分析，給出的是誤差大小隨溫差大小、背景溫度和工作波長(zhǎng)變化的影響情況，具體數(shù)值并不代表最后算得的作用距離的實(shí)際誤差大小，并且以上關(guān)于輻射的計(jì)算都是對(duì)單一波長(zhǎng)進(jìn)行的。由相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，取積分運(yùn)算以上規(guī)律也是成立的。

2 作用距離方程的修正

根據(jù)基于MRTD的作用距離預(yù)測(cè)的基本要求可以得到以下關(guān)系式：

式(14)取等號(hào)時(shí)的即為系統(tǒng)的作用距離，第1個(gè)方程給出了空間頻率的計(jì)算方法，按照約翰遜準(zhǔn)則，e是在50%觀測(cè)概率下得到的條帶數(shù)，在實(shí)際觀測(cè)任務(wù)中，需要根據(jù)觀測(cè)任務(wù)概率要求對(duì)條帶數(shù)進(jìn)行修正；第2個(gè)方程給出了作用距離計(jì)算方法，關(guān)于該方程也需要進(jìn)行一系列的修正。首先D是目標(biāo)與背景的表觀溫差，文獻(xiàn)[9]中給出了具體的計(jì)算方法，按照這種方法可以將黑體和灰體統(tǒng)一起來；其次對(duì)于MRTD，根據(jù)目標(biāo)形狀要對(duì)條帶長(zhǎng)寬比進(jìn)行修正，根據(jù)實(shí)際觀測(cè)情況要對(duì)閾值信噪比進(jìn)行修正，根據(jù)工作溫度要對(duì)溫度進(jìn)行修正等[4]。本文只對(duì)溫度修正進(jìn)行深入探討。

MRTD綜合評(píng)價(jià)了熱成像系統(tǒng)的溫度分辨力和空間分辨力，還反映了觀察者的影響因素，其中關(guān)于溫度的分辨力是用噪聲等效溫差（NETD）來表現(xiàn)的，而MRTD對(duì)溫度的修正也是通過NETD來反映的。NETD的普遍表達(dá)式是[2]：

式中：是光學(xué)系統(tǒng)的數(shù)；Dn是噪聲等效帶寬；d是探測(cè)元面積；S是串聯(lián)元數(shù)；0是系統(tǒng)光學(xué)透過率；*()是峰值比探測(cè)率。

在NETD的推導(dǎo)過程中，用到了上文中小溫差條件下的近似公式，由于熱探測(cè)器的噪聲等效溫差在100mK左右，第二代光探測(cè)器在20mK左右，所以這種近似的誤差是非常小的。

對(duì)于光子型探測(cè)器，進(jìn)行近似處理后可以得到[2]：

式中：p為峰值響應(yīng)波長(zhǎng)；*(p)為探測(cè)器峰值響應(yīng)的歸一化探測(cè)率；2為第二輻射常數(shù)。

實(shí)驗(yàn)室中測(cè)量的NETD通常是在常溫（S＝300K）下進(jìn)行的，根據(jù)以上表達(dá)式，實(shí)際工作溫度為b時(shí)的NETD應(yīng)為：

而MRTD的一般表達(dá)式為：

式中：SNRDT為閾值信噪比；MTFS()、MTFeye()分別為系統(tǒng)和人眼傳遞函數(shù)；、分別為水平和垂直方向的瞬時(shí)視場(chǎng)；d為電子積分時(shí)間；e為人眼積分時(shí)間；p為幀頻；D為噪聲等效帶寬。

所以，MRTD對(duì)溫度的修正關(guān)系為：

文獻(xiàn)[9]指出，當(dāng)目標(biāo)與背景的溫差比較大時(shí)，系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)與背景的響應(yīng)輻射功率差用小溫差近似的誤差很大，必須用實(shí)際響應(yīng)輻射功率差來表示，因而提出如下方法修正前述關(guān)系，即：

其中：

式中：Da是閾值溫差，對(duì)于8～14mm波段，可取為10K。

該方法的本質(zhì)是對(duì)小溫差和大溫差進(jìn)行分開處理：當(dāng)溫差比較小時(shí)，還是采用公式(1)，并對(duì)MRTD進(jìn)行溫度修正；當(dāng)溫差比較大時(shí)，也用小溫差近似公式，而且這種近似的誤差不受背景溫度和溫差大小的影響。所以，文獻(xiàn)[9]中的方法可以有效的減小大溫差條件下的誤差，但是小溫差條件下依然有很大的誤差，并且需要對(duì)大小溫差分開處理。

結(jié)合MRTD的定義和熱成像系統(tǒng)的成像原理，MRTD對(duì)應(yīng)的溫度分辨力，本質(zhì)上反映的是熱成像系統(tǒng)對(duì)某一條件下的能量分辨力，也就是MRTD對(duì)應(yīng)的是最小可分辨輻射出射度DMRTD，因此(14)式應(yīng)改寫為下式才更符合實(shí)際的物理過程：

D和DMRTD通過下式計(jì)算：

為了估算較遠(yuǎn)的距離，通常熱像儀的MRTD都選擇的比較小，這樣便滿足小溫差近似的條件，由(12)式和(24)式有：

因此(23)式可以近似為：

(26)

式(26)和式(20)在大溫差條件下的公式是一樣的。通過上文的分析可知，誤差的大小取決于波長(zhǎng)和該波段下系統(tǒng)的MRTD值，MRTD越小，誤差也就越小。所以文獻(xiàn)[9]的方法在大溫差條件下的計(jì)算誤差與溫差大小和背景溫度無關(guān)。

3 計(jì)算實(shí)例

上文分析了文獻(xiàn)[9]中的方法，提出一種更符合實(shí)際物理過程的計(jì)算關(guān)系，下面通過實(shí)例計(jì)算來比較兩種方法的結(jié)果。

作用距離方程是一個(gè)超越方程，通常采用迭代的方法進(jìn)行求解。首先估算出解的范圍(1,2)，再通過半分法求解出作用距離，以式(21)為例的求解流程圖如圖6。

計(jì)算中利用的是Catherine-GP紅外熱像儀，它使用的是SOFRADIR 288×4元HgCdTe探測(cè)器，其性能參數(shù)如表1所示。

觀測(cè)任務(wù)為：大氣條件為中緯度夏季海平面，能見度23km，利用Modtran進(jìn)行大氣透過率的計(jì)算。目標(biāo)尺寸為16m×2m（小船大?。?，溫差為10K。觀測(cè)水平遵循50%概率下的約翰遜準(zhǔn)則（e為對(duì)應(yīng)觀測(cè)水平的條帶周期數(shù)），對(duì)220～320K的常溫范圍的計(jì)算結(jié)果如表2所示（1是基于本文方法的預(yù)測(cè)距離，2是基于文獻(xiàn)[9]方法的預(yù)測(cè)距離）。

從表2可以看出，無論在哪種觀測(cè)水平下，背景溫度比較低的時(shí)候，文獻(xiàn)[9]中方法的計(jì)算結(jié)果誤差相對(duì)較大，這與上文中誤差大小隨背景溫度改變的影響規(guī)律一致。亦即，文獻(xiàn)[9]中的方法依然無法避免低溫背景小溫差情況下計(jì)算誤差較大的問題，本文方法則可較好地避免該問題。

圖6 作用距離求解流程圖

表1 Catherine-GP 紅外熱像儀性能參數(shù)

表2 計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)論

本文針對(duì)以往的相關(guān)分析和預(yù)測(cè)進(jìn)行了一定程度的簡(jiǎn)化，對(duì)實(shí)際計(jì)算具有較大誤差的問題，從MRTD的含義出發(fā)，立足于MRTD實(shí)際上反映的應(yīng)該是系統(tǒng)對(duì)能量差異的分辨能力，并基于此提出更為符合實(shí)際物理過程的作用距離預(yù)測(cè)方程計(jì)算方法。實(shí)例計(jì)算表明，本文方法不僅解決了文獻(xiàn)[9]中低溫背景小溫差條件下計(jì)算誤差較大的問題，且可以對(duì)小溫差和大溫差統(tǒng)一處理。

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Calculation Error Analysis of the Distance Equation for Infrared Imaging System

HE Heng，BAI Ting-zhu

(,,,100081,)

The paper theoretically discusses the relationship between the radiant exitance difference and temperature difference in the energy transmission, the nature of the approximate calculation under the condition of small temperature difference, and the error affected by approximate calculation influenced of the size of temperature difference, background temperature and wavelength. It also puts forward a calculation method which is more accord with the physical process of the infrared thermal imaging system adjusted by the definition of MRTD and the theory of the infrared imaging system. On this basis, the paper calculates the range of the given conditions. The results show that such method of calculation tallies more with the actuality and has better accuracy.

infrared thermal imaging，temperature difference，MRTD，calculation error，operation range

O432；TN215

A

1001-8891(2015)09-0713-06

2015-08-05；

2015-08-26.

何恒（1991-），男，湖北省鄂州人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榧t外成像系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)。E-mail：henryheheng@163.com。

白廷柱（1955-），男，北京人，教授，主要研究方向?yàn)楣怆姵上窦夹g(shù)、紅外仿真、紫外通信等。E-mail：tzhubai@bit.edu.cn。