李海俠

（寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 寶雞 721013）

0 引 言

生態(tài)學(xué)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展過程，已成為一個(gè)多學(xué)科交叉的綜合性學(xué)科.種群生態(tài)學(xué)是其中一個(gè)重要的分支，它是描述種群與環(huán)境及種群之間相互作用的動(dòng)力學(xué)關(guān)系的學(xué)科.生物學(xué)家和生態(tài)學(xué)家把自然界中種群與環(huán)境以及種群之間相互競(jìng)爭(zhēng)、捕食與被捕食、互惠作用等具體情況建成數(shù)學(xué)模型，近年來受廣大學(xué)者們關(guān)注的一類模型是Lotka－Volterra 模 型［1－3］.然 而，經(jīng) 典 的Lotka－Volterra模型中的反應(yīng)函數(shù)為一條無界的直線，并不能準(zhǔn)確反映種群間的相互作用關(guān)系.在不斷的探索和研究過程中，人們根據(jù)一些具體的生態(tài)背景提出更合理更符合實(shí)際的功能反應(yīng)函數(shù).Holling［4］于1965年提出了Holling型功能反應(yīng)函數(shù)：

對(duì)帶有Holling Ⅰ和Holling Ⅱ型功能函數(shù)的模型已有很多研究結(jié)果［5－9］.另外，國(guó)內(nèi)外很多專家也考察了帶有Holling Ⅲ型功能函數(shù)的捕食－食餌模型［10－12］，其中文獻(xiàn)［12］在Nuemann邊界條件下研究了一類帶有Holling Ⅲ型功能函數(shù)的捕食－食餌模型，得到了正解的局部和全局穩(wěn)定性.然而目前帶有Holling Ⅲ型功能函數(shù)的競(jìng)爭(zhēng)模型的研究很少見.因此本文研究一類帶有Holling Ⅲ型功能函數(shù)的競(jìng)爭(zhēng)模型，包括其正解的存在性、唯一性、全局穩(wěn)定性和多重性.

1 預(yù)備知識(shí)

為了得到重要的結(jié)論，先給出一些預(yù)備知識(shí).

則λ1（q）連續(xù)依賴q，λ1（q）是簡(jiǎn)單的.而且，如果q1≤q2，q1q2，則λ1（q1）＜λ1（q2）.為了簡(jiǎn)單起見，定義λ1（0）為λ1，相應(yīng)于λ1的主特征函數(shù)記為ψ1.

非線性問題

若r＞λ1，則式（1）有唯一正解.定義唯一正解為θr.特別地，θr＜r且θr連續(xù)依賴r.

2 正解的存在性、穩(wěn)定性和唯一性

本文在Dirichlet邊界條件下研究如下帶有Holling Ⅲ型功能函數(shù)的競(jìng)爭(zhēng)模型：

其中Ω是Rn（n≥1）中具有光滑邊界的有界區(qū)域，u、v分別表示兩競(jìng)爭(zhēng)物種的密度.系統(tǒng)（2）中的參數(shù)a、b、c、d、m均為正常數(shù).

從生物的現(xiàn)實(shí)意義上來講，物種是否能夠共存是競(jìng)爭(zhēng)模型研究中最令人感興趣的內(nèi)容之一.因此，本文主要研究系統(tǒng)（2）對(duì)應(yīng)的平衡態(tài)系統(tǒng)

正解的存在性、唯一性和多解性.

本文利用不動(dòng)點(diǎn)指標(biāo)理論研究系統(tǒng)（3）正解的存在性.首先，運(yùn)用極值原理、上下解方法以及特征值變分原理易得系統(tǒng)（3）正解的先驗(yàn)估計(jì)和正解存在的一些必要條件.

引理1 若系統(tǒng)（3）有非負(fù)解（u（x），v（x）），則0≤u（x）≤a，0≤v（x）≤c，x∈Ω.

引理2 若系統(tǒng)（3）存在正解，則a＞λ1，c＞λ1.

引理3 若系統(tǒng)（3）存在正解（u（x），v（x）），則u≤θa，v≤θc.而且，若＞λ1，則u≥θa（1－bc），v≥θc－d／m.

為了計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)，引入以下記號(hào)：E＝C0（Ω）×C0（Ω），其中C0（Ω）＝｛w∈C（Ω）：w（x）＝0，x∈Ω｝；W＝P1×P2，其中Pi＝｛w∈∈E：u＜a＋1，v＜c＋1｝；D′＝（intD）∩W.

為

其中M為充分大的正常數(shù)，滿足M＞max｛a（1＋2bc），c＋da2｝.故At是緊的且連續(xù)可微的.記A1＝A，則系統(tǒng)（3）有正解當(dāng)且僅當(dāng)A在D′中有不動(dòng)點(diǎn).記

引理4 （1）若a＞λ1且c≠λ1或a≠λ1且c＞λ1，則indexW（A，（0，0））＝0；若a＜λ1且c＜λ1，則indexW（A，（0，0））＝1；

（2）indexW（A，D′）＝1；

（3）設(shè)a＞λ1.若c＞c＊，則indexW（A，（θa，0））＝0；若c＜c＊，則indexW（A，（θa，0））＝1；

（4）設(shè)c＞λ1.若a＞λ1，則indexW（A，（0，θc））＝0；若a＜λ1，則indexW（A，（0，θc））＝1.

證明 因?yàn)椋?）～（4）的證明類似，所以在此只證明（3）.根據(jù)定義得｛P2＼｛0｝｝.于是A′（θa，0）（ξ，η）＝（ξ，η）等價(jià)于

（i）因?yàn)閏＞c＊，所以則存在ψ＞0滿足（－Δ＋令t0＝1／μ，則0＜t0＜1且（I－t0A′（θa，0））（0，ψ）∈S（θa，0），因此A′（θa，0）在W（θa，0）上具有α性質(zhì).由文獻(xiàn)［1］中定理1知，indexW（A，（θa，0））＝0.

（ii）假設(shè)A′（θa，0）在上具有α性質(zhì)，即存在t0∈（0，1），（ξ，η）∈＼S（θa，0）使得（It0A′（θa，0））（ξ，η）∈S（θa，0），則由于c＜c＊，因此［r（－Δ＋矛盾.故A′（θa，0）在上不具有α性質(zhì)，由文獻(xiàn)［1］中定理1得indexW（A，（θa，0））＝（－1）σ，其中σ為A′（θa，0）所有大于1的特征值的代數(shù)重?cái)?shù)之和.再利用c＜c＊易得A′（θa，0）沒有大于1的特征值，從而σ＝0，故indexW（A，（θa，0））＝1.□

由引理4和度的可加性得到系統(tǒng)（3）正解的存在性定理.

定理1 若a＞λ1且c＞c＊，則系統(tǒng)（3）至少存在一個(gè)正解.

接下來將運(yùn)用橢圓方程正則性理論及其線性算子擾動(dòng)理論討論參數(shù)b充分小時(shí)正解的唯一性和穩(wěn)定性.首先考察下述方程：

易知，當(dāng)c＞c＊時(shí)，方程（4）有唯一的正解，記為v＊.

引理5 如果a＞λ1，c＞c＊，則當(dāng)b→0＋時(shí)，系統(tǒng)（3）的任意正解（u，v）都滿足（u，v）→（θa，v＊）.

證明 設(shè)bi→0＋（i→∞），（ui，vi）是b＝bi時(shí)系統(tǒng)（3）的正解，那么（ui，vi）滿足

由引理1知，（ui，vi）關(guān)于i一致有界.根據(jù)橢圓方程正則性理 論關(guān)于i有界，從而存在｛（ui，vi）｝i∞＝1的子列（仍記為它自身）及非負(fù)函數(shù)，使得在中（ui，vi）→在式（5）中令i→∞可得

顯然上述方程有4 個(gè)非負(fù)解（0，0），（θa，0），（0，θc），（θa，v＊）.下證

假設(shè)≡0，則ui→0.記那么Ui滿足

定理2 若a＞λ1，c＞c＊，則存在充分小的正常數(shù)b＊，當(dāng)b≤b＊時(shí)，系統(tǒng)（3）有唯一正解，且該正解是全局吸引的.

證明 令

則T（b，u，v）＝0的解即為系統(tǒng)（3）的解.由于a＞λ1，c＞c＊，因此（b，u，v）＝（0，θa，v＊）是系統(tǒng)（3）的解.令

則L（φ，ψ）＝0等價(jià)于

顯然φ≡0.由得ψ≡0.因此0不是L的特征值.另外，由Riesz－Schauder定理易推出L的特征值都大于0，故（θa，v＊）非退化和線性穩(wěn)定.

記L為系統(tǒng)（3）在（u，v）處的線性化算子，那么由引理5知，當(dāng)b→0＋時(shí)，L→L.由線性算子擾動(dòng)理論知，的所有特征值實(shí)部都大于0，故當(dāng)b→0＋時(shí)，系統(tǒng)（3）的任意正解都非退化和線性穩(wěn)定.又由于系統(tǒng)（3）是一個(gè)單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng)，利用文獻(xiàn)［8］中的引理2.3（c）知，系統(tǒng)（3）至多有一個(gè)正解.結(jié)合定理1知系統(tǒng)（3）有唯一正解.再次運(yùn)用文獻(xiàn)［8］引理2.3（b）可得系統(tǒng)（3）的唯一正解是全局吸引的.□

3 正解的穩(wěn)定性和多重性

本章以c為分歧參數(shù)應(yīng)用分歧理論和度理論討論系統(tǒng)（3）正解的多重性.為此引入空間

由Crandall－Rabinowitz分歧定理［13］易得

定理3 設(shè)a＞λ1固定，則（c＊，θa，0）是系統(tǒng)（3）的分歧點(diǎn)且在（c＊，θa，0）的鄰域內(nèi)系統(tǒng)（3）存在形式 為（c（s），u（s），v（s））＝（c（s），θa＋s（φ1 ＋r（s）），s（1 ＋t（s）））（0＜s＜＜1）的正解，這里1是c＊對(duì)應(yīng)的主特征函數(shù)且而且，c（0）＝c＊，r（0）＝0，t（0）＝0，r，t∈Z，其中X＝span｛（φ1，1）｝Z.

為了后面需要，給出如下引理.

引理6c（s）在s＝0處的微分滿足c′（0）＝

證明 將（c（s），u（s），v（s））＝ （c（s），θa＋s（φ1＋r（s）），s（1＋t（s）））代入式（3）的第二個(gè)方程中，兩邊同除s，關(guān)于s微分并令s＝0，可得上式兩邊同乘1 并在Ω上積分知結(jié)論成立.

于是根據(jù)線性算子的擾動(dòng)理論和分歧解的穩(wěn)定性理論有

引理7 如果I＞0且0＜s＜＜1，則定理3得到的正分歧解（u（s），v（s））穩(wěn)定.

接下來，將局部分歧延拓為全局分歧.

令U＝θa－u，V＝v.則U，V≥0滿足

令ci（μ）（μ≥1）是如下特征值問題

－μΔV＝，x∈Ω；V＝0，x∈Ω的特征值，則ci（μ）關(guān)于μ≥1遞增，可排列為0＜c1（μ）＜c2（μ）≤… →∞且c1（1）＝c＊.

通過類似于文獻(xiàn)［6］的方法得當(dāng)c＜c＊時(shí)，i（T（c，·），0）＝（－1）0＝1.當(dāng)c＊＜c＜c2（1）時(shí)，i（T（c，·），0）＝（－1）1＝－1.于是由文獻(xiàn)［14］的全局分歧定理可知存在從（c＊，θa，0）分歧出來滿足G（c，U，V）＝0的連通分支γ.而且，γ－｛（c＊，θa，0）｝滿足下列條件之一：

（i）γ－｛（c＊，θa，0）｝連接點(diǎn)（c＊，θa，0）和（，θa，0），其中c＊≠；

（ii）γ－｛（c＊，θa，0）｝在R＋×X內(nèi)延伸到∞；

（iii）γ－｛（c＊，θa，0）｝包含點(diǎn)（c，θa－u，v）和（c，θa＋u，－v），其中（u，v）≠（0，0）.

定理4 設(shè)a＞λ1.則

（a）γ－｛（c＊，θa，0）｝在P內(nèi)從點(diǎn)（c＊，θa，0）出發(fā)延伸到∞；

證明 （a）首先證明γ－｛（c＊，θa，0）｝P.假設(shè)γ－｛（c＊，θa，0）｝P，則存在序列｛（cn，un，vn）｝∈γ∩P和點(diǎn)P，使得因?yàn)樗曰蛘咔掖嬖趚0∈Ω使得或者且存在x1∈Ω使得＝0.由強(qiáng)極值原理可知u≡0.類似可知v≡0.因此于是考慮如下3種情況：

（A）設(shè)≡0且≡0.則（cn，un，vn）→（c，0，0）.令則Un滿足－ΔUn＝U（

n a－由Lp估計(jì)和Sobolev嵌入定理可假設(shè)當(dāng)n→∞時(shí)，在C1（）中Un→U≥0，0.則U滿足－ΔU＝aU，x∈Ω；U＝0，x∈Ω.又由強(qiáng)極值原理可知U＞0，x∈.因此，a＝λ1，矛盾.

（B）如果≡0且0，即類似于（A）的分析可得a＝λ1，矛盾.

（C）如果0且≡0，即則令則Vn滿足＝0，x∈Ω.類似于（A）的分析可得＝c＊，矛盾.因此，γ－｛（c＊，θa，0）｝P.于是，（i）和（iii）是不可能的.只有情況（ii）.

（b）由引理1、Lp估計(jì)和Sobolev嵌入定理可知γ在R＋×X內(nèi)延伸到∞的唯一方式就是隨著參數(shù)c到∞.最后，由引理2得｛c：（c，u，v）∈γ｝＝其中＝inf｛c＞λ1：（c，u，v）∈γ｝.

定理5 設(shè)a＞λ1且I＜0，則存在常數(shù)∈（λ1，c＊）使得當(dāng)時(shí)系統(tǒng)（3）至少有兩個(gè)正解；當(dāng)c∈［c＊，∞）時(shí)系統(tǒng)（3）至少有一個(gè)正解.

證明 首先由定理1可知當(dāng)c＞c＊時(shí)系統(tǒng)（3）至少有一個(gè)正解.需要證明當(dāng)時(shí)系統(tǒng)（3）至少有兩個(gè)正解且c＝c＊時(shí)系統(tǒng)（3）至少有一個(gè)正解.

定義算子Bτ：D′→W為

這里Q充分大使 得Q＞max｛a（1＋2τbc），c＋τda2｝且τ∈［0，1］.顯然系統(tǒng)（3）有非負(fù)解當(dāng)且僅當(dāng)B1在D′中有不動(dòng)點(diǎn).

設(shè)Dε＝｛（u，v）∈W：（u，v）－（θa，0）E＜ε｝，由前面的討論可知存在常數(shù)ε和∈（λ1，c＊）使得對(duì)于c∈［，c＊）系統(tǒng)（3）有唯一正解（uc，vc）∈Dε.因此，只需要證明對(duì)于系統(tǒng)（3）在D′＼Dε上有正解即可.

令D1＝D′＼Dε.由引理1可知Bτ在D1上沒有不動(dòng)點(diǎn).于是根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的同倫不變性可知indexW（B1，D1）＝indexW（B0，D1）.顯然B0在D1內(nèi)有不動(dòng)點(diǎn)（0，0），（0，θc），（θa，θc）.用文獻(xiàn)［1］中定理1易證indexW（B0，（0，0））＝indexW（B0，（0，θc））＝0.另一方面，由（θa，θc）非退化和線性穩(wěn)定 得I－B′0（θa，θc）在上 可逆，且由＝S（θa，θc）知B′0（θa，θc）在上沒有α性質(zhì).于是indexW（B0，（θa，θc））＝（－1）δ.利用特征值的比較原理易得δ＝0.因此，由文獻(xiàn)［1］中定理1 知indexW（B0，（θa，θc）） ＝1.于是，indexW（B1，D1）＝indexW（B0，D1）＝indexW（B0，（0，0））＋indexW（B0，（0，θc））＋indexW（B0，（θa，θc））＝1.最后結(jié)合引理4 得indexW（B1，D1）＝indexW（B1，（0，0））＋indexW（B1，（0，θc））＝0，這表明系統(tǒng)（3）在D＼Dε內(nèi)至少有一個(gè)正解.

4 數(shù)值模擬

在一維情形Ω＝（0，l）下利用Matlab工具做數(shù)值模擬來驗(yàn)證前面研究得到的理論結(jié)果.取l＝2π，計(jì)算可得λ1＝1／4.取初值為為初值系數(shù).

根據(jù)定理1的條件取值進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證系統(tǒng)（3）正解的存在性，其中的兩個(gè)例子見圖1，這與定理1的結(jié)論一致.在定理2的條件下取值進(jìn)行數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)（2）的正解與時(shí)間t無關(guān)，即達(dá)到平衡態(tài)，其中的例子見圖2，參數(shù)取值為a＝7，b＝0.3，c＝5，m＝4，d＝3，初值系數(shù)r＝0.1.另外，為了驗(yàn)證正解的穩(wěn)定性，在確定的參數(shù)下，選取不同的初值進(jìn)行模擬，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有唯一的正解且該正解穩(wěn)定，見圖3，參數(shù)取值為a＝7，b＝0.3，c＝5，m＝4，d＝3，初值系數(shù)r＝0.5，1.5，3，5，8，這與定理2的結(jié)論吻合.

圖1 平衡態(tài)正解模擬圖Fig.1 The simulation diagram of positive steady state solutions

圖2 正解（u（x，t），v（x，t））模擬圖Fig.2 The simulation diagram of positive solution（u（x，t），v（x，t））

圖3 正解（u（x，t），v（x，t））對(duì)初值依賴性模擬圖Fig.3 The simulation diagram of the dependence of positive solutions on the initial values

5 結(jié) 語

本文討論了一類帶有HollingⅢ型功能反應(yīng)函數(shù)的競(jìng)爭(zhēng)模型正解的性質(zhì).利用不動(dòng)點(diǎn)指標(biāo)理論、擾動(dòng)理論和分歧理論得到了正解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性和多重性.結(jié)果表明，當(dāng)參數(shù)滿足一定條件時(shí)，系統(tǒng)存在穩(wěn)定的共存態(tài).通過全局分歧理論考察系統(tǒng)（3）關(guān)于（θa，0）處產(chǎn)生全局分支走向時(shí)，帶有HollingⅢ型功能反應(yīng)函數(shù)競(jìng)爭(zhēng)模型的全局分支沿著分歧參數(shù)c延伸到∞，這是與帶有HollingⅡ型功能反應(yīng)函數(shù)競(jìng)爭(zhēng)模型的不同之處.

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