趙澤福

（昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南 昭通 657000）

所謂存在性問題是相對于中學(xué)數(shù)學(xué)課本中有明確結(jié)論的封閉型問題而言的，這類試題的知識覆蓋面較大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎、構(gòu)思精巧，具有相當?shù)纳疃群碗y度.它側(cè)重考查學(xué)生的分析、探索能力和思維的發(fā)散性，因此對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求較高.

相當多的數(shù)學(xué)問題研究的是關(guān)于某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對象是否存在，或一數(shù)學(xué)對象是否存在某種特定性質(zhì).因此存在性問題是指涉及到的某種數(shù)學(xué)對象是否存在的問題.在數(shù)學(xué)問題中常以：一定存在；一定不存在；是否存在等三類形式出現(xiàn).

一、“一定存在”型，即有適合某種條件或符合某種性質(zhì)的對象，題目中常含有“至少有”、“一定有”、“存在”、“必然有”等詞語，其結(jié)論只要求存在，不必確定.對于這類問題，無論用什么方法,只要找出一個，問題就足以解決.這就要求學(xué)生必須有扎實的基礎(chǔ)知識和思維敏捷、推理嚴密、聯(lián)想豐富等素質(zhì)，因此是中學(xué)數(shù)學(xué)競賽的難點之一，常出現(xiàn)在代數(shù)、數(shù)論、幾何等問題中.處理此類問題，多數(shù)時候是根據(jù)問題的性質(zhì)特征，分別以抽屜原理、極端原理等為理論基礎(chǔ)，構(gòu)造相應(yīng)的抽屜或者具體實例，使研究的數(shù)學(xué)對象及其特征的存在得以肯定即可.

（一）、抽屜原理俗稱鴿籠原理，最先是由19世紀德國數(shù)學(xué)家狄利克雷運用于解決數(shù)學(xué)問題，所以又稱狄利克雷原理.該原理的應(yīng)用常常與反證法思維結(jié)合在一起.

適合應(yīng)用抽屜原理解決的數(shù)學(xué)問題具有的特征是：新給的元素具有任意性，如n+1個蘋果放入n個抽屜，可以隨意地一個抽屜放幾個，也可以讓一些抽屜空著.問題的結(jié)論是存在性問題.對于具體的可以應(yīng)用抽屜原理解決的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)搞清楚三個問題：1什么是“蘋果”？2什么是“抽屜”？3蘋果、抽屜各是多少？

用抽屜原理解題的基本思路是根據(jù)問題的自身特點，弄清楚對哪些元素進行分類，找出規(guī)律，從而構(gòu)造合適的抽屜.一般來說，剩余類、數(shù)的分組、平面圖形的劃分、染色等，都可作為構(gòu)造抽屜的依據(jù).當然這一簡單的思維方式，在解題過程中卻演變出許多奇妙的變化和頗具匠心的精彩畫面，值得我們?nèi)バ蕾p體會，因此在數(shù)學(xué)競賽會經(jīng)常見到它的蹤影.

例1 證明任意6個人中至少存在3個人或是互相認識，或是互相不認識.（匈牙利，1947）

證明 在這六個人中任意取定一個人P，設(shè)A、B兩集合分別為：A={與P認識的人}，B={與P不認識的人}.根據(jù)抽屜原理，剩余的 5個人 a、b、c、d、e中至少有3個人同屬于集合A或者集合B，不妨設(shè) a、b、c同屬于集合 A.則對 a，b，c三個人來說，若他們彼此不認識，則問題得證.否則若a，b，c中有兩個人互相認識，不妨假設(shè)這兩個人是a和b，則P，a，b三個人互相認識.問題也得證.

例 2 對任意正實數(shù)a、b、c均有：(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ac)（美國奧林匹克試題，2004）

解析 由于不等式左邊展開式中含有a2,b2,a2b2…等項，構(gòu)造含a2,b2,a2b2…的不等式就成為解決問題的關(guān)鍵.因為 a、b、c∈R+，現(xiàn)把區(qū)間(0,+∞)分割成 A=(0,1]，B=[1,+∞)兩個區(qū)間，由抽屜原理知，三個正實數(shù)a、b、c中必有兩個同屬于一個區(qū)間A或者 B.不妨設(shè)正實數(shù) a、b∈A，則有(a2-1)(b2-1)≥0成立，從而 a2b2+1≥a2+b2圳2a2+2b2+a2b2+4≥3a2+3b2+3圳(a2+2)(b2+2)≥3(a2+b2+1)，即有(c2+2)(a2+2)(b2+2)≥3(a2+b2+1)(c2+2)=3(a2+b2+1)(1+1+c2)，由柯西不等式3(a2+b2+1)(1+1+c2)≥3(a+b+c)2，現(xiàn)就只需 3(a+b+c)2≥9(ab+bc+ac)成立，即需(a+b+c)2≥3(ab+bc+ac)成立，即需 a2+b2+c2≥ab+bc+ac……（※）成立.由均值不等式（※）是容易證得的.

評析：在有些數(shù)學(xué)問題中會隱藏著“存在性”的已知條件，這并不是簡單隨意增加已知條件，而是客觀存在的.因此我們對所研究的問題要敏銳洞察善于挖掘，從而得到其精髓所在.

（二）、由于極端原理與大量“存在性”問題有著密切的關(guān)系，因此極端原理也是解決存在性問題的利器.

以數(shù)字必須絕對準確為其特征的數(shù)學(xué)，也常常要在極端的條件下使用數(shù)字，當然這不是一種“容許”的夸張，而是要在如果“不容許”的情況下，看它會發(fā)生什么后果，以幫助我們發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).

數(shù)學(xué)家在解決數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常要先從下面一些角度考慮問題：諸如“假如一個都沒有”、“假如每一個都有”、“假如每一個至少有”、“假如每一個最多有”、“如果只有唯一的一個”、“如果是最特殊(如最大、最小、最長、最短、最多、最少、最左、最右等)的一個”等極端情況，在這種極端的狀態(tài)下，往往能使問題的關(guān)鍵節(jié)點暴露出來，所暴露出來的關(guān)鍵節(jié)點，就可以幫助我們找到解題的途徑.這種思想，在數(shù)學(xué)中稱為極端原理思想.

極端原理的理論基礎(chǔ)是最小數(shù)原理，最小數(shù)原理I：設(shè)M是正整數(shù)集的一個有非空子集，則M中必有最小數(shù)；最小數(shù)原理Ⅱ：設(shè)M是實數(shù)集的一個有限的非空子集，則M中必有最小數(shù)；推論：設(shè)M是實數(shù)集的一個有限的非空子集，則M 中必有最大數(shù).用極端原理解題，就是重點放在所研究問題的極端情況.

例3 已知平面上有2n+3個有限點，其中無三點共線，也無四點共圓.求證：存在三點，過這三點的圓使其余2n個點一半在圓內(nèi)，一半在圓外.

分析：求解此題時，不妨先考慮n=1這種極端情形.此時平面上有5個點，在這五個點中，可找到兩點 A、B，使其余三點 P1、P2、P3都在直線 AB的同側(cè)，由于任意四點不共圓，則P1、P2、P3對線段AB的張角 θ1、θ2、θ3必互相不等，不妨設(shè)為 θ1<θ2<θ3，這時過 A、B、P2三點作圓，則 P1在圓外，P3在圓內(nèi).于是便得到此問題的證明思路了.

評析：在準備求解不熟悉的復(fù)雜問題時，我們不妨用滿足題目條件的某些極端（或特殊）情形進行試探，常常會探得有效的、意外的解題途徑，最后打開解題思路.這種思想方法在競賽數(shù)學(xué)中非常常見.

例 4 設(shè)集合A1,A2… An與 B1,B2…Bn均是集合M的一個分劃，已知對任意兩個不交的集合Ai,Bj(1≤i,j≤n)均有 |Ai∪Bj|≥n，求證：|M|≥n2/2

證明 由最小數(shù)原理I，必存在一整數(shù)k，使得k=min{|Ai|,|Bj|,(1≤i,j≤n)}，不妨設(shè)|A1|=k.（i）若k≥n/2，則由若k2k，及n-k>k>0，則有|M|=，問題得證.

評析：從|Ai|與|Bj|的最小值出發(fā)，較好地把握了其他集合的元素個數(shù)，是處理此問題的關(guān)鍵.

例5 求證：存在1996個連續(xù)的正整數(shù)，它們之中恰有一個素數(shù).

證明 （仿效歐幾里得“素數(shù)個數(shù)無窮多個”的證明方法）設(shè)N=1996!+1，則N+1,N+2，……N+1995即為連續(xù)的1995個合數(shù).因為素數(shù)個數(shù)無窮多個，則由極端原理可設(shè)p為大于N的最小素數(shù)，則p>N+1995，及有p≥N+1996.因此從N到素數(shù)p之間有不少于1995個合數(shù)，就取p-1995、p-1994、……p-1、p這1996個連續(xù)的正整數(shù)，其中只有p一個為素數(shù).

評析：應(yīng)用極端原理展開想象，在處理“一定存在”性問題中也是獨具特色的.

二、“一定存在”的對立面就是“不存在”.“不存在”型問題即為：無論用什么方法，都找不出一個適合已知條件或某種性質(zhì)對象的問題，這類問題一般需要推理論證或說明理由.在無限個候選對象中,證明某種數(shù)學(xué)對象不存在時，若采用逐一排除，幾乎不能實行.這就要使用反證法，反證法是數(shù)學(xué)家最精良的武器，而極端原理與反證法連用在競賽數(shù)學(xué)中也是最精彩的表現(xiàn).

例6 求證：不定方程x2+y2-19xy=19………①無整數(shù)解.

證明 假設(shè)①有整數(shù)解(x,y)，x,y肯定均不等于0，又|19xy|>19，則x,y一定同號.則現(xiàn)在就只討論方程①的正整數(shù)解，由極端原理，令(a,b)是方程①的所有正整數(shù)解中a+b最小的一組解.由x,y的對稱性不妨設(shè)a≥b.則a是方程x2-19bx+b2-19=0……②的一個正整數(shù)解，設(shè)方程②的另一個解為c，由韋達定理知c=19b-a，則c為整數(shù).所以(c,b)是方程①的另組整數(shù)解，又b>0，則c>0，因此(c,b)是方程①的另組正整數(shù)解，又對方程②由韋達定理知c=，即 b>c，則 a>c.因此 a+b>c+b，這與(a,b)是方程①的所有正整數(shù)解中a+b最小的一組解矛盾.所以方程①無整數(shù)解得證.

例7 設(shè)a,b為正整數(shù)，ab+1整除a2+b2，求證：是完全平方數(shù)（第29屆IMO試題）.

評析：第1～49屆IMO，負責(zé)命題的主試委員會沒辦成一件事：編出一道試題讓每位選手束手無策，相反卻有一道試題，就是此題！主試委員會中誰都不會做，后又交給當時的世界頂尖數(shù)論專家去解，幾天后仍然沒頭緒.但是有11名參賽選手卻做出了正確解答，其中保加利亞一名選手解法最簡，就是這種解法！他因此獲得本屆IMO特別獎.

三、“是否存在”屬結(jié)論不確定的探索性、開放性問題，有兩種可能：若存在，需找出來；若不存在,則說明理由.競賽數(shù)學(xué)中的此類問題一般是先假定對象存在或是不存在，將“討論型”存在性問題轉(zhuǎn)化為“一定存在”型或“不存在”型問題處理.這是解決“討論型”存在性問題的一種重要方法.

例8 已知a1,a2…an與b1,b2…bn是2n個正數(shù)，且中是否存在一個不大于1的數(shù).（廣東省數(shù)學(xué)競賽題）

抽屜原理、極端性原理是解決競賽數(shù)學(xué)中“存在性”問題的一個重要方法,只要我們善于運用這兩個原理,在數(shù)學(xué)解題時，就會思路變得更清晰,計算更便捷,方法更精妙.

〔1〕朱華偉.從數(shù)學(xué)競賽到競賽數(shù)學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2009.8.

〔2〕朱華偉,錢展望.數(shù)學(xué)解題策略[M].北京:科學(xué)出版社,2009.8.

〔3〕陳傳理,張同君.競賽數(shù)學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社,2013.9.

〔4〕穆偉玲.高中數(shù)學(xué)備考要領(lǐng)[J].時代報告（學(xué)術(shù)版）,2011（8）.