王 榮，王俊新

（山西財經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原030006）

1 引言

無線數(shù)據(jù)傳輸是當(dāng)今通信領(lǐng)域中最為活躍的研究熱點之一［1］，隨著其蓬勃發(fā)展，對編碼糾錯的精確位數(shù)和程度要求越來越高。自對偶編碼在編碼糾錯中起著重要的作用。所有長度不超過32的自對偶編碼的生成矩陣及其分類已全部解決［2，3］。對長度大于32的編碼雖已有很多研究，但找出其生成矩陣和分類情況仍是很困難的。2012 年，Bouyuklieva S［4］對二元自對偶編碼［48，24，10］進行討論，得到在等價情況下，共有264種3－（16，0）型的編碼。同年，Aguilar－Melchor C、Gaborit P和Kim J－L［5］證明了存在2 744種［38，19，8］，極值碼，兩個s－極值碼。2011年，Yorgov V［6，7］證明了對于有7階自同構(gòu)的二元極值碼［42，21，8］，在等價情況下只有29種。2005年，Bouyuklieva S、Yankov N 和Russeva R［8］證 明 了 有3 階 自 同 構(gòu) 的 二 元 自對偶碼［42，21，8］恰 好 有16 607 種。2005 年，Goodwin V 和Yorgov V［9］證明了至少存在70種長度為88的雙偶極值碼。本文對碼長為50到70之間的二元雙偶極值碼進行研究。

2 基本知識

二元的［n，k］編碼C是指二元域GF（2n）上的k維線性子空間，n稱為編碼的碼長。C的每個元素稱為一個碼字。對編碼C的每一個碼字u＝（u1，u2，…，un），其重量wt（u）是u的非零位的位數(shù)。兩個 碼 字u＝（u1，u2，…，un）和v＝（v1，v2，…，vn）的距離指它們在對應(yīng)位取值不同的位數(shù)，用dis（u，v）表示，dis（u，v）＝wt（u－v）。最小距離為d的［n，k］編碼稱為［n，k，d］編碼。對一個編碼C，令C⊥＝｛v｜（u，v）＝0，?u∈C｝（（u，v）為GF（2n）上的內(nèi)積），如果C＝C⊥，則C在該內(nèi)積下自對偶。

對［n＝2k，k，d］二元自對偶碼，若其碼字的重量都是4的倍數(shù)，則稱該編碼是雙偶編碼。對一個長度為n的雙偶編碼的距離d≤4［n/24］＋4，若等號成立，編碼是極值碼［10］。?σ∈Sn（Sn為n階對稱群），?u∈C，定義uσ＝（uσ（1），uσ（2），…，uσ（n）），則Cσ和C是等價的。如果Cσ＝C，σ就是編碼C的一個自同構(gòu)，C的所有自同構(gòu)形成了Sn的一個子群，稱之為C的自同構(gòu)群，用AUT（C）表示。設(shè)置換σ∈AUT（C），若σ的階為奇素數(shù)p，有c個獨立的循環(huán)和f個固定點，則這個置換具有型p－（c，f）。

引理1［11］C是有型p－（c，f）的自對偶編碼［n，n/2，d］，p是一個奇素數(shù)，定義g（k）＝d＋d/2＋…＋d/2k－1，則：

（1）pc≥g（（p－1）c/2），如果d≤2［（p－1）c/2］－2，等號不滿足；

（2）若f＞c，則f＞g（（f－c）/2），若d≤2［（f－c）/2］－2，等號不滿足。

對長度為56 的二元雙偶碼討論，得到p－（c，f）只有以下幾種可能：3－（18，2），3－（16，8），3－（14，14），5－（10，6），7－（8，0），7－（7，7），13－（4，4）。本文考慮有型為7－（8，0）的二元雙偶極值碼。

3 碼的構(gòu)造

對長度為56的編碼，當(dāng)具有型7－（8，0）時，自同構(gòu)形式為：

σ＝（1，2，…，7）（8，9，…，14）…（50，51，…，56）

令Ω1＝（1，2，…，7），Ω2＝（8，9，…，14），Ω8＝（50，51，…，56）。

令F（σ）＝｛u∈C｜uσ＝u｝，對?u∈F（σ），s，l∈Ωi，1≤i≤8，有us＝ul。定義映射（ηu）i＝uj，j∈Ωi，i＝1，2，…，8。把η（F（σ））稱為由C導(dǎo)出的收縮碼。顯然F（σ）由收縮碼η（F（σ））唯一確定。

令R＝GF（2）［x］/〈x7＋1〉，x是 不 定 元，〈x7＋1〉是x7＋1 生成的理想。x7＋1＝h0（x）h1（x）h2（x），其中，h0（x）＝x＋1，h1（x）＝x3＋x2＋1，h2（x）＝x3＋x＋1。令I(lǐng)j＝〈（x7＋1）/hj（x）〉，j＝0，1，2，則R＝I0⊕I1⊕I2。

對長度為7 的向量（a0，a1，…，a6），可看成R上的多項式a0＋a1x＋…＋a6x6［12］。設(shè)P是R上偶重量多項式的集合，則P＝I1⊕I2，且I1?I2?GF（23）。把I1和I2看成長度為7的編碼，表1給出I0、I1和I2的元素，α和γ是I1和I2的本原元。

Table 1 Elements of I0，I1and I2表1 I0、I1 和I2 的元素

令Ei（σ）＝｛u∈C｜且有u｜Ωj∈Ii，1≤j≤8｝，i＝1，2。根據(jù)文獻［11］得C＝F（σ）⊕E1（σ）⊕E2（σ）。對編碼C的每個元素u＝u1u2…u56，定義j＝1，2，…，8；Ei（σ）＊＝｛u＊｜u∈Ei（σ）｝，i＝1，2。令E（σ）＊＝E1（σ）＊⊕E2（σ）＊，?u∈E（σ）＊，有映射：E（σ）＊→P。由于C是二元雙偶極值碼，由文獻［3］知，η（F（σ））是一個［8，4］二元雙偶碼，［8，4］二元自對偶碼在等價情況下只有和A8兩種，的生成矩陣為：

A8的生成矩陣為：

由于二元雙偶極值碼的碼字重量都為4的倍數(shù)，顯然η（F（σ））等價于A8。

引理2［13］兩個有相同自同構(gòu)σ的雙偶極值碼C和C′是等價的充分必要條件是C可經(jīng)過下列變換得到C′：

（1）7個8循環(huán)；

（2）在E1（σ）＊的列中，用α的冪取代原來的值；

（3）在（E1（σ）＊）中，用xt取代x，1≤t≤6。

3.1 K＝2的情形

根據(jù)引理2，在等價情況下，K＝2時，E1（σ）＊的生成矩陣為：

此時，E2（σ）＊的生成矩陣為：

把A8生成矩陣中的粗體的1和0分別用7個1和7個0代替［14］，E1（σ）＊、E2（σ）＊、生成矩陣中的每個元素對應(yīng)一個3×7的循環(huán)矩陣，且這個矩陣的第一行對應(yīng)于生成矩陣中的元素在表1的一個7維數(shù)組。這樣我們得到了二元雙偶極值碼在K＝2 的生成矩陣。經(jīng)過運用Matlab程序，不論i、j、k、l取什么值，該生成矩陣生成的編碼最小距離均為8，故得到：

定理1 當(dāng)E1（σ）＊的維數(shù)為2時，不存在有7階自同構(gòu)的二元雙偶極值碼［56，28，12］。

3.2 K＝4的情形

當(dāng)E1（σ）＊的維數(shù)K＝4時，E1（σ）＊的生成矩陣為：

對應(yīng)E2（σ）＊的生成矩陣為：

則碼長為56 的二元雙偶極值碼的生成矩陣為：

前4行粗體的1和0都表示元素全為1和0的1×7的行向量，后8行的每一個元素都代表一個3×7的循環(huán)矩陣，且循環(huán)矩陣αi，γj（i，j＝0，r，s，t，u，v，w，x，y｜r，s，t，u，v，w，x，y∈｛0，1，…，6｝）的第一行對應(yīng)表1中的元素。粗體0表示3×7的零矩陣，運行Matlab程序，得到當(dāng)r、s、t、u、v、w、x、y取表2中的值時，二元雙偶極值碼的最小距離確為12。

Table 2 Values of r，s，t，u，v，w，x，y表2 r，s，t，u，v，w，x，y的取值

表2中＃代表7個0，例如當(dāng)r、s、t、u、v、w、x、y取值為01＃000＃2時，E1（σ）＊所對應(yīng)的生成矩陣為：

E2（σ）＊的生成矩陣為：

長度為56的二元雙偶極值碼的生成矩陣如圖1所示。

Figure 1 Generator matrix of the extremal self－dual doubly－even binary codes with length of 56圖1 長度為56的二元雙偶極值碼的生成矩陣

因此，得到如下定理：

定理2 當(dāng)E1（σ）＊的維數(shù)K＝4 時，長度為56的有7－（8，0）型自同構(gòu)的二元雙偶極值碼共有75種。

4 有相似型的雙偶極值碼

由引理2知，對長度為60 的有7－（8，4）型的雙偶極值碼，η（Fσ（C））是一個［12，6］碼，根據(jù)文獻［3］，［12，6］二元自對偶碼在等價情況下只有三種和B12。的生成矩陣為：

在該生成矩陣中，粗體的0代表1×7的零向量，黑體的1代表1×7的行向量，且所有元素全為1，其余的1和0僅表示自身。

因為有7－（8，4）型自同構(gòu)的長度為60的雙偶極值碼最小距離為12。顯然η（Fσ（C））不等價于同樣的討論可得η（Fσ（C））不等價因此，η（Fσ（C））一定等價于B12。E1（σ）＊、E2（σ）＊的生成矩陣同上。有7－（8，4）型自同構(gòu)的長度為60的雙偶極值碼的生成矩陣如下：

注：該生成矩陣后8 行中黑體元素與碼長為56的二元雙偶極值碼生成矩陣中后8行的元素一致。

長度為60的雙偶極值碼的最小距離為12，對生成矩陣運行Matlab程序，得到與長度為56的雙偶極值碼相類似結(jié)論：

定理3 當(dāng)E1（σ）＊的維數(shù)為2時，不存在有7階自同構(gòu)的二元雙偶極值碼［60，30，12］。

定理4 當(dāng)E1（σ）＊的維數(shù)K＝4 時，長度為60的有7－（8，4）型自同構(gòu)的二元雙偶極值碼共有3種（r、s、t、u、v、w、x、y取值為最后三個值時）。

由引理1知，長度為66、68、70的碼，都不存在有7－（8，m）（m＝10，12，14）型的自同構(gòu)。對長度為62和64的雙偶極值碼進行相似討論，得：

定理5 當(dāng)E1（σ）＊的維數(shù)為2時，不存在有7階自同構(gòu)的二元雙偶極值碼［62，31，12］和［64，32，12］。

定理6 當(dāng)E1（σ）＊的維數(shù)K＝4 時，長度為62的有7－（8，6）型自同構(gòu)的二元雙偶極值碼共有2 308種。

定理7 當(dāng)E1（σ）＊的維數(shù)K＝4 時，長度為64的有7－（8，8）型自同構(gòu)的二元雙偶極值碼共有2 976種。

5 結(jié)束語

本文針對線性碼中長度為50到60之間的雙偶極值碼進行討論，試圖找出其生成矩陣和分類情況，但對長度較長的線性碼，要找到這樣的線性碼非常困難。長度越長，碼字的復(fù)雜程度越高，因此總是限定其有一個特殊的自同構(gòu)來進行討論。根據(jù)特殊自同構(gòu)將它分成幾個長度較短的線性碼的直和，來得到其生成矩陣和分類情況。長度為52的線性碼最小距離為10，它不存在雙偶極值碼，長度為56、60、62和64的雙偶極值碼分別有7－（8，0）型、7－（8，4）型、7－（8，6）型和7－（8，8）型的自同構(gòu)。本文得到了這些情形下的生成矩陣及分類情況，這些對解碼工作的發(fā)展有著積極意義。對長度更長的雙偶極值碼和這些碼的應(yīng)用是本文作者研究的下一個目標(biāo)。

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