嚴(yán)俊坤 夏雙志 戴奉周 劉宏偉 保 錚

(西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071)

引 言

傳統(tǒng)的兩坐標(biāo)(Two-Dimensional,2D)雷達(dá)除了可以測(cè)量目標(biāo)的距離和方位，還可以測(cè)量目標(biāo)的徑向速度，以及從目標(biāo)回波中獲取更多有關(guān)目標(biāo)的信息[1]，但它不能獲取目標(biāo)的高度或俯仰信息.在目前的航空管理和作戰(zhàn)指揮系統(tǒng)中，通常需要獲得目標(biāo)的三維信息.常見(jiàn)的三維目標(biāo)定位方法主要有以下幾種：1) 三坐標(biāo)雷達(dá)直接測(cè)量目標(biāo)的三維信息[2]；2) 兩坐標(biāo)雷達(dá)配合測(cè)高雷達(dá)，測(cè)量目標(biāo)的三維信息[3]；3) 融合多部?jī)勺鴺?biāo)雷達(dá)的觀測(cè)信息，測(cè)量目標(biāo)的三維信息[4-10].在第一種方式中，三坐標(biāo)雷達(dá)可以實(shí)時(shí)、精確地測(cè)出目標(biāo)的三維信息，但缺點(diǎn)在于三坐標(biāo)雷達(dá)生產(chǎn)和維護(hù)成本很高，且其技術(shù)較為復(fù)雜.在第二種方式中，兩坐標(biāo)雷達(dá)負(fù)責(zé)測(cè)量目標(biāo)的距離和方位等信息，結(jié)合測(cè)高雷達(dá)提供的高度信息，可以得到目標(biāo)的三維位置信息.這種方式實(shí)現(xiàn)技術(shù)比較簡(jiǎn)便，目前應(yīng)用比較廣泛，但是這種方式的測(cè)量過(guò)程較為復(fù)雜，難以滿(mǎn)足實(shí)時(shí)性的需求，而且由于需要配備測(cè)高雷達(dá)，不適用于常規(guī)的2D雷達(dá)系統(tǒng)[4].第三種方式是近些年來(lái)興起的一種新的定位方式，利用雷達(dá)組網(wǎng)的冗余信息，對(duì)目標(biāo)進(jìn)行三維定位.這種方式的原理是利用雷達(dá)組網(wǎng)在空間的多樣性來(lái)完成目標(biāo)三維定位.文獻(xiàn)[5]和[6]分別研究了利用多部雷達(dá)的距離和角度信息完成目標(biāo)定位的情況；文獻(xiàn)[7]提出了利用兩部雷達(dá)的距離和方位信息跟蹤三維目標(biāo)的方法；文獻(xiàn)[8]對(duì)利用傳感器兩坐標(biāo)觀測(cè)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)三維定位這一過(guò)程進(jìn)行了較為詳細(xì)的研究，給出了高度誤差的克拉美羅下限(Cramér Rao Lower Bound,CRLB)，并得出了許多有價(jià)值的結(jié)論.文獻(xiàn)[9]更將前面的研究延伸到了多目標(biāo)跟蹤的情況.

雖然多站融合定位已成為研究熱點(diǎn)，但這些算法都至少用到了兩個(gè)或兩個(gè)以上的雷達(dá)或傳感器.在實(shí)際中，同一目標(biāo)落入多部雷達(dá)或傳感器觀測(cè)區(qū)域的概率比較有限，而且多站融合定位技術(shù)需要多站同步工作和數(shù)據(jù)傳輸，從而限制了系統(tǒng)的靈活性，也使系統(tǒng)的工作嚴(yán)重依賴(lài)于雷達(dá)站間的通信情況，因此開(kāi)始有學(xué)者進(jìn)行單部2D雷達(dá)測(cè)高的研究[11-12].這些技術(shù)利用單部雷達(dá)提供的有限數(shù)據(jù)，能夠得到目標(biāo)在垂直方向上的一些信息.H. Hakl[11]等在忽略目標(biāo)高度的情況下，利用單部雷達(dá)的觀測(cè)數(shù)據(jù)分析了目標(biāo)在垂直方向的運(yùn)動(dòng)情況，但其沒(méi)有進(jìn)行目標(biāo)的三維定位；文獻(xiàn)[12]在目標(biāo)速度已知，目標(biāo)遠(yuǎn)離2D雷達(dá)水平飛行的假設(shè)條件下，給出了單部雷達(dá)測(cè)高的方法，并從理論上分析了目標(biāo)徑向距離、目標(biāo)高度等參數(shù)對(duì)測(cè)量精度的影響，但其前提條件在實(shí)際中難以得到滿(mǎn)足.

本文僅在目標(biāo)勻速運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下，提出了一種基于單部2D雷達(dá)的目標(biāo)三維定位方法，其本質(zhì)相當(dāng)于利用單部雷達(dá)不同時(shí)刻觀測(cè)信息的空間多樣性來(lái)進(jìn)行目標(biāo)的三維運(yùn)動(dòng)分析.本文假設(shè)2D雷達(dá)在各個(gè)時(shí)刻能夠根據(jù)目標(biāo)的回波測(cè)得其距離、方位和多普勒信息，并假設(shè)各測(cè)量誤差相互獨(dú)立，服從零均值的高斯分布.利用上述測(cè)量信息，結(jié)合目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特性，即可完成目標(biāo)的三維定位.本文首先從雷達(dá)測(cè)量誤差開(kāi)始建模，而后給出了目標(biāo)三維定位誤差的CRLB，最后用Taylor迭代展開(kāi)的方法[13-16]完成目標(biāo)位置的最大似然(Maximum Likelihood,ML)估計(jì).計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的可行性，并得出了一些有意義的結(jié)論.

1 系統(tǒng)建模

考慮如下一個(gè)假定的場(chǎng)景，一部?jī)勺鴺?biāo)雷達(dá)位于三維坐標(biāo)系(x,y,z)處.目標(biāo)的初始位置在x0=(x0,y0,z0)，并以v=(vx,vy,vz)的速度做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).那么，k時(shí)刻目標(biāo)的位置xk=(xk,yk,zk)可表示為

(1)

式中T0表示采樣間隔.如上所述，雷達(dá)與目標(biāo)的空間位置關(guān)系如圖1所示.

圖1 雷達(dá)與目標(biāo)的空間位置示意圖

各個(gè)時(shí)刻，雷達(dá)能夠根據(jù)回波數(shù)據(jù)測(cè)量目標(biāo)的徑向距離、方位角和多普勒信息(如圖1所示).目標(biāo)徑向距離信息是通過(guò)測(cè)量目標(biāo)反射回波相對(duì)于發(fā)射信號(hào)的時(shí)延來(lái)獲得的，k時(shí)刻目標(biāo)到雷達(dá)的真實(shí)距離Rk可表示為

(3)

當(dāng)雷達(dá)和目標(biāo)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，雷達(dá)的接收信號(hào)中將會(huì)產(chǎn)生一個(gè)附加的多普勒頻移分量fk，它與k時(shí)刻目標(biāo)位置xk的關(guān)系可表示為

(4)

式中λ表示雷達(dá)的工作波長(zhǎng).

實(shí)際中，目標(biāo)的真實(shí)信息是不可能獲得的，雷達(dá)的測(cè)量往往含有隨機(jī)誤差.那么，雷達(dá)在k時(shí)刻的測(cè)量結(jié)果可以表示為

(5)

(6)

為了描述方便，我們將前M+1時(shí)刻的測(cè)量數(shù)據(jù)寫(xiě)為

(7)

式中：ΔRM, ΔθM和ΔM分別是(M+1)×1維的距離，角度和多普勒信息的誤差集合.在獨(dú)立高斯分布的假設(shè)下，其協(xié)方差矩陣QRM,QθM和Q可分別表示為

(8)

單部2D雷達(dá)就是根據(jù)這前M+1時(shí)刻的測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)目標(biāo)的三維位置.由于這些信息存在測(cè)量誤差，因此對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位時(shí)會(huì)產(chǎn)生誤差，下節(jié)將給出定位誤差的CRLB.

2 目標(biāo)三維定位誤差的CRLB

通常，CRLB可以給任何無(wú)偏估計(jì)量的方差設(shè)置一個(gè)下限，對(duì)于未知參數(shù)的所有取值，如果估計(jì)量達(dá)到此下限，那么它就是最小方差無(wú)偏估計(jì)量[19].

2.1 CRLB

(9)

式中：E(·)表示取期望；J(φ)表示矢量參數(shù)φ的Fisher信息矩陣 (Fisher Information Matrix，F(xiàn)IM),

(10)

對(duì)J(φ)求逆，即可得到參數(shù)φ的CRLB矩陣[19]：

CCRLB(φ)=(J(φ))-1.

(11)

從直觀上理解，F(xiàn)IM包含的信息越多，估計(jì)誤差的CRLB越低.

2.2 目標(biāo)三維定位誤差的CRLB

(12)

(13)

式中：PR,Pθ和P分別表示(M+1)×6的距離、方位角和多普勒參數(shù)的雅可比矩陣[19],且有

(14)

式中，Rk、θk和k分別表示前M+1時(shí)刻真實(shí)距離、角度和多普勒參數(shù)的集合，而PR,Pθ和P的第k列可計(jì)算為

(15)

rk表示雷達(dá)到目標(biāo)的水平距離

(16)

式(15)的最后一項(xiàng)可計(jì)算為

(17)

將式(14)～(17)代入式(13)中，即可獲得目標(biāo)狀態(tài)φ的FIM矩陣JM(φ)：

(18)

由式(18)可以看出，幀數(shù)M越多，用于估計(jì)目標(biāo)狀態(tài)的信息越多.

對(duì)FIM矩陣JM(φ)求逆，可得到參數(shù)φ的CRLB矩陣[19]：

(19)

(20)

3 目標(biāo)三維位置的ML估計(jì)

對(duì)空間目標(biāo)的位置進(jìn)行估計(jì)時(shí)，常采用方法有兩種：一是幾何方法[5-6]，二是ML方法[13-16].幾何方法計(jì)算簡(jiǎn)單，但分析表明，采用幾何方法估計(jì)目標(biāo)高度的離散性很大，經(jīng)常找不到實(shí)數(shù)解，因此本文中采取優(yōu)化的方式來(lái)獲得目標(biāo)位置的ML估計(jì).首先，我們將式(2)～(4)重新描述為關(guān)于目標(biāo)狀態(tài)φ的函數(shù)：

(21)

式中：k=0,1,…,M表示時(shí)間下標(biāo).從空間解析幾何來(lái)看，式(21)給出的方程組在M>2時(shí)是有解的，其中一個(gè)解就是目標(biāo)的真實(shí)位置，因?yàn)檫@些測(cè)量信息都是源于目標(biāo)的.如圖2所示，上述方程組一般可解得兩個(gè)高度值[8](圖中的A、B兩點(diǎn))，即在垂直方向上存在定位模糊，原因是這組方程只用了高度平方的信息.在本文中，雷達(dá)布置在地面，取z0大于雷達(dá)高度z即可.

圖2 目標(biāo)三維定位示意圖

此時(shí)，目標(biāo)狀態(tài)ML估計(jì)的代價(jià)函數(shù)可表示為[13-16]

(22)

式中：ε為懲罰因子；g(φ)為障礙函數(shù)，保證求解得到的目標(biāo)高度值大于雷達(dá)的高度，

(23)

(24)

W表示觀測(cè)噪聲的協(xié)方差陣.在實(shí)際中，雷達(dá)在每個(gè)時(shí)刻得到的只是一個(gè)測(cè)量結(jié)果，其誤差是未知的.如果將矩陣W設(shè)置為單位陣，將得到目標(biāo)狀態(tài)的最小二乘估計(jì).現(xiàn)階段的研究[13-16]都假設(shè)各個(gè)測(cè)量的誤差已知.本文中，通過(guò)估計(jì)各個(gè)時(shí)刻回波的SNR，再根據(jù)式(6)來(lái)計(jì)算噪聲的協(xié)方差矩陣W：

(25)

求解式(22)是一個(gè)非線(xiàn)性最小二乘的優(yōu)化過(guò)程，這種問(wèn)題可通過(guò)Taylor迭代展開(kāi)來(lái)求解[13-16].首先，我們將d(φ)在φ=φ0附近展開(kāi)成線(xiàn)性表達(dá)式：

d(φ)≈d(φ0)+D(φ0)(φ-φ0)，

(26)

式中：φ0是目標(biāo)狀態(tài)的初始解.文獻(xiàn)[13-14]已經(jīng)通過(guò)仿真驗(yàn)證了距離信息表達(dá)式Taylor展開(kāi)的收斂性；而角度和多普勒表達(dá)式Taylor展開(kāi)的收斂性則在文獻(xiàn)[15-16]中得到了體現(xiàn).

式(26)中D(φ0)為3(M+1)×6 的雅可比矩陣：

(27)

而后，將式(26)和(27)代入式(22)，并求最小值可得目標(biāo)狀態(tài)的ML估計(jì)[13-16]：

(28)

新求解出的φ繼續(xù)用于下一時(shí)刻的初始值φ0來(lái)進(jìn)行迭代，同時(shí)懲罰因子ε=ε/2，這個(gè)過(guò)程一直持續(xù)到連續(xù)兩次估計(jì)結(jié)果間的差量小于一個(gè)閾值，即|φ-φ0|<γ.此時(shí)得到的φ即是目標(biāo)狀態(tài)的ML估計(jì)，而φ的前三個(gè)元素則表示估計(jì)得到的目標(biāo)空間位置.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文針對(duì)一個(gè)在三維空間中勻速運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)場(chǎng)景，用單部2D雷達(dá)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行三維定位.雷達(dá)的初始位置(x,y,z) =(3,-17.75,0) km，目標(biāo)初始位置位于(x0,y0,z0)=(22.75,3,2) km，并以速度(vx,vy,vz)=(80,-40,0) m/s勻速飛行.假設(shè)雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的有效帶寬為1 MHz，波長(zhǎng)設(shè)為λ=0.3 m，相參脈沖個(gè)數(shù)為64，接收天線(xiàn)孔徑為24 m，觀測(cè)間隔T0=6 s，一共有M幀數(shù)據(jù)用于估計(jì)目標(biāo)的狀態(tài).在實(shí)驗(yàn)中，為了方便分析，目標(biāo)的雷達(dá)截面積被認(rèn)為是常數(shù).圖3給出了雷達(dá)與目標(biāo)的位置示意圖.

圖3 雷達(dá)與目標(biāo)的空間位置關(guān)系

各個(gè)時(shí)刻，為了得到距離、方位和多普勒信息的測(cè)量誤差，各部雷達(dá)需要估計(jì)回波的SNR.圖4給出了各個(gè)時(shí)刻回波SNR的估計(jì)結(jié)果.估計(jì)的方法是小樣本情況下的ML估計(jì)法[19]，初始SNR設(shè)置為20 dB.

圖4 各個(gè)時(shí)刻回波SNR估計(jì)的結(jié)果

根據(jù)結(jié)果可以看出，SNR的測(cè)量是較為精確的.根據(jù)估計(jì)的SNR，即可計(jì)算各個(gè)測(cè)量值的誤差并完成目標(biāo)的三維定位.下面，我們分析各參數(shù)對(duì)定位精度的影響.文中，目標(biāo)的定位精度用空間位置的均方根誤差(Root Mean Squared Error,RMSE)來(lái)描述

(29)

圖5在初始SNR設(shè)置為20 dB，以及目標(biāo)初始位置及速度相同的情況下給出了目標(biāo)定位精度與觀測(cè)時(shí)間長(zhǎng)短(即幀數(shù)M)的關(guān)系.由結(jié)果可以看出，觀測(cè)時(shí)間越長(zhǎng)，定位精度越好.從圖5還可以看出，大約在200 s以后，目標(biāo)的定位精度下降到500 m以下.直觀原因在于，用于估計(jì)目標(biāo)狀態(tài)的信息增加，使得目標(biāo)定位精度更高.

圖5 觀測(cè)時(shí)間與目標(biāo)定位精度的關(guān)系

在假設(shè)目標(biāo)與雷達(dá)水平距離相同，且初始SNR不變的情況下，圖6分析了目標(biāo)高度對(duì)定位精度的影響.當(dāng)目標(biāo)飛行高度低于1 500 m時(shí)，定位誤差的CRLB大于1 000 m.這說(shuō)明單部雷達(dá)無(wú)法對(duì)低空目標(biāo)進(jìn)行定位.而當(dāng)目標(biāo)高度較高時(shí)，單部雷達(dá)可以較為精確的進(jìn)行定位.目標(biāo)的高度越高，定位精度越好.

圖6 目標(biāo)高度與目標(biāo)定位精度的關(guān)系

最后，在保持其它參數(shù)及目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向不變的前提下，圖7給出了目標(biāo)速度的大小與定位精度的關(guān)系.可以看出，隨著目標(biāo)速度的變快，定位精度逐漸變好.當(dāng)目標(biāo)速度大于200 m/s時(shí)，目標(biāo)的定位精度可以達(dá)到500 m左右.

圖7 目標(biāo)速度與目標(biāo)定位精度的關(guān)系

以上幾個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文提出方法的有效性和可行性.總的來(lái)說(shuō)，雷達(dá)的定位精度與回波SNR、幀數(shù)M的大小、目標(biāo)飛行的高度和速度大小，以及雷達(dá)和目標(biāo)之間的相對(duì)位置有關(guān).通過(guò)上面的仿真，可以得出如下結(jié)論：

2) 定位的精度與用于定位的幀數(shù)M也有關(guān)系.根據(jù)式(18)，當(dāng)幀數(shù)M越大時(shí)，F(xiàn)IM矩陣包含的信息越多.同理可知，目標(biāo)的定位精度會(huì)隨M的增加而提高.

4) 目標(biāo)的定位精度，隨目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度的增加而變好.直觀原因在于：?jiǎn)尾坷走_(dá)是利用不同時(shí)刻目標(biāo)的空域信息來(lái)完成三維定位的，目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度越快，在相同的測(cè)量幀數(shù)M內(nèi)，雷達(dá)獲得信息的空間多樣性越豐富，因此定位精度越高.

5 結(jié) 論

在目標(biāo)作勻速運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下，本文提出了一種利用單部2D雷達(dá)完成目標(biāo)三維定位的算法.在提出的算法中，利用目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特性，結(jié)合多個(gè)時(shí)刻單部2D雷達(dá)的測(cè)量值，對(duì)目標(biāo)的三維空間位置進(jìn)行ML估計(jì).計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的可行性，并得到了一些有意義的結(jié)論.計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，單部雷達(dá)的測(cè)量時(shí)間越長(zhǎng)，目標(biāo)與雷達(dá)的高度差越大，目標(biāo)速度越快，定位精度越高.值得注意的是，本文的方法對(duì)雷達(dá)各個(gè)測(cè)量值的精度都有較高要求，而單雷達(dá)目標(biāo)測(cè)量通常具有近距離探測(cè)精度高、遠(yuǎn)距離探測(cè)精度低的特點(diǎn).這是因?yàn)樵谙嗤瑴y(cè)距誤差的前提下，隨著測(cè)距的變大，由方位誤差帶來(lái)精度誤差將越來(lái)越大.當(dāng)測(cè)角誤差達(dá)到一定程度的時(shí)候，會(huì)導(dǎo)致三維定位的誤差變得不可接受.因此，單部雷達(dá)的三維定位范圍也是有限的.同時(shí)，單站的位置不可避免的會(huì)存在誤差，本文中也未給予考慮.站址誤差會(huì)影響雷達(dá)距離、方位角和多普勒測(cè)量的精度，進(jìn)而導(dǎo)致目標(biāo)定位精度下降.下一步的工作中，將對(duì)站址誤差對(duì)定位精度的影響進(jìn)行研究，并結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證算法的有效性.

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