趙東東，張錢江，戴世坤，陳龍偉，李 昆

(中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，三維電磁反演與成像實(shí)驗(yàn)室，長沙 410083)

直流電阻率法在水文地質(zhì)、工程和資源勘探中得到了廣泛的應(yīng)用。隨著儀器設(shè)備精度的提高和數(shù)據(jù)采集的自動(dòng)化、智能化發(fā)展，直流電阻率法將獲得更好的應(yīng)用效果。由于地下構(gòu)造是三維的，采用三維反演技術(shù)才能獲得更可靠的反演結(jié)果，但考慮到實(shí)現(xiàn)三維數(shù)據(jù)采集和三維反演需要耗費(fèi)大量的人工成本和計(jì)算資源，因此，在實(shí)際勘探中仍以二維數(shù)據(jù)采集和二維反演為主。

在二維直流電阻率法正反演中，國內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究。在正演數(shù)值模擬研究中，周熙襄等[1]將混合邊界條件應(yīng)用到點(diǎn)源二維直流電阻率法中，并采用交叉對(duì)稱網(wǎng)格的剖分方法大大提升了有限元數(shù)值模擬的精度和數(shù)值結(jié)果的對(duì)稱性。羅延鐘等[2]提出一種求解二維線源起伏地形條件下中梯裝置電阻率法正演問題的有限差分方法，得到比較滿意的模擬精度和計(jì)算速度。MUNDRY等[3]采用有限差分法實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)源二維直流電阻率法的求解。羅延鐘等[4]討論了二維構(gòu)造上電阻率法有限單元模擬的邊值條件、反傅氏變換算法及波數(shù)選取等問題，并提出了相應(yīng)的算法。徐世 浙[5]詳細(xì)介紹了有限元法在二維直流電阻率法中的求解過程。底青云等[6]從電性介質(zhì)線源有限元模擬出發(fā)，深入探討了改進(jìn)復(fù)雜電性結(jié)構(gòu)理論模型有限元正演資料仿真性和有效性的方法。阮百堯等[7]實(shí)現(xiàn)了電導(dǎo)率分塊線性變化二維地電斷面電阻率測深有限元數(shù)值模擬。柳建新等[8]提出了最優(yōu)化離散波數(shù)的優(yōu)化算法，使得點(diǎn)源二維直流電阻率法在計(jì)算量和計(jì)算精度方面均有很大的改善。湯井田等[9-10]介紹了基于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的點(diǎn)源二維直流電阻率正演數(shù)值模擬算法，并提出一套具有更高精度和更大適用范圍的傅里葉反變換離散波數(shù)。張東良等[11]采用有限差分方法模擬了二維起伏地表線源直流電阻率問題。PENZ等[12]提出了一種解決源奇異性問題的新方法，并在二維直流電阻率法中取得了良好的效果。麻昌英等[13]針對(duì)復(fù)雜地形下高密度激電法2.5維有限單元法數(shù)值模擬進(jìn)行了研究，分析得出了山谷地形比山脊地形對(duì)極化率觀測的影響大的結(jié)果。彭艷華等[14]利用邊界校正法提高了源附近數(shù)值模擬精度，減小了邊界條件對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果的影響。肖曉等[15]和胡宏伶等[16]提出一種新的2.5D直流電阻率有限元-無限元耦合的方法和局部加密等級(jí)網(wǎng)格的方式，有效地提高了數(shù)值模擬精度和速度。

在二維直流電阻率法反演成像中，同樣也有不少學(xué)者做了大量的研究工作。BARKER[17]利用ZOHDY[18]提出的用近似反演結(jié)果作為二維正演的初始模型，用實(shí)測測深曲線與預(yù)測測深曲線的比值來修改模型。LOKE等[19-20]基于最平滑約束進(jìn)行了二維直流電阻率法反演，很大程度上減少了計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間。阮百堯等[21]采用一維直流電阻率測深的直接反演公式，結(jié)合二維正演和漸進(jìn)迭代反演，推出一種精度相對(duì)較高的快速反演方法。徐海浪等[22]利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化方法，實(shí)現(xiàn)了電阻率二維非線性反演，得到了比較理想的反演效果。劉海飛等[23]通過最小二乘法獨(dú)立反演不同時(shí)刻采集的直流電阻率法實(shí)測數(shù)據(jù)，來重構(gòu)間歇影像。程勃等24-25]基于遺傳算法和統(tǒng)計(jì)學(xué)實(shí)現(xiàn)了電阻率測深二維反演，大大降低了計(jì)算量，并且取得了理想的效果。韓波等[26]結(jié)合全變差正則化方法和吉洪諾夫正則化方法的優(yōu)點(diǎn)對(duì)二維分塊常值電阻率反演進(jìn)行了研究。戴前偉等[27]實(shí)現(xiàn)了基于混沌振蕩PSO-BP算法的二維電阻率層析成像非線性反演。馮德山等[28-29]從超高密度電法的基本理論與數(shù)據(jù)采集方式入手，實(shí)現(xiàn)了全四極裝置情形下的有限單元法正演與廣義最小二乘反演，能夠有效地模擬地形和復(fù)雜地質(zhì)體。柳建新等[30]研究了直流電阻率測深二維自適應(yīng)正則化反演，反演結(jié)果能比較準(zhǔn)確地反映地下模型的真實(shí)電性結(jié)構(gòu)。

雖然二維直流電法研究成果很多，大多集中在研究點(diǎn)源二維問題，對(duì)于線源二維問題的研究成果較少。在二維直流電阻率法中，假設(shè)選取波數(shù)為N個(gè)，則點(diǎn)源問題的計(jì)算量為線源問題計(jì)算量的N倍，因此在相同計(jì)算量前提下，線源問題能夠采用更密集的網(wǎng)格剖分方式，從而達(dá)到精細(xì)勘探的目的。本文作者通過對(duì)二維線源問題的正反演算法進(jìn)行研究，從而為直流電阻率法的數(shù)據(jù)處理和解釋提供經(jīng)驗(yàn)和理論支撐。首先，將直接解法引入到線性方程組的求解中，提升數(shù)值模擬的精度和速度；然后，將地震全波形反演[31-32]中常用的高斯-牛頓反演算法[33-36]的改進(jìn)方法引入到二維線源直流電阻率法中，即在高斯-牛頓反演算法中，若近似海森矩陣的對(duì)角線元素占優(yōu)，可用對(duì)角海森矩陣代替近似海森矩陣，大大簡化了高斯-牛頓迭代方程組的求解；最后，對(duì)三極裝置和偶極-偶極裝置的反演效果和探測能力進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 正演問題

1.1 直流電阻率法二維線源變分問題

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)z方向垂直向上，x垂直于z水平向右，y沿著構(gòu)造走向方向并垂直于zx平面。對(duì)于線源二維地電問題，電位應(yīng)滿足的微分方程為

式中： (,)xzσ 為電導(dǎo)率；fs為源項(xiàng)；U為電位。

單極線電流源和偶極線電流源的表達(dá)式如式(2)所示：

式中：A、B為線電流源的供電位置；IA和IB分別為A和B點(diǎn)的供電電流；xA和zA為A點(diǎn)坐標(biāo)；xB和zB為B點(diǎn)坐標(biāo)。

根據(jù)不同的收發(fā)裝置，可以推導(dǎo)出相應(yīng)的混合邊界條件，從而得到與其邊值問題等價(jià)的變分問題，混合邊界條件如式(3)和(4)所示：

單極線電流源，

偶極線電流源，

式中：Ω為求解區(qū)域；?！逓闊o窮遠(yuǎn)邊界；rA為測點(diǎn)至電源點(diǎn)A的矢量距離；rB為測點(diǎn)至電源點(diǎn)B的矢量距離； ),cos( nrA和 ),cos( nrB分別是矢徑rA和rB與外法向n的夾角的余弦值。

1.2 數(shù)值模擬

采用有限單元法求解上述變分問題[5]，其中基單元為三角形，插值函數(shù)在笛卡爾坐標(biāo)系上呈線性變化。令 0)( =UFδ ，線性代數(shù)方程組如式(5)所示：

式中：K為稀疏實(shí)系數(shù)矩陣；b為源向量。

求解上述線性方程組，可以得到每個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位值U。

大型稀疏線性方程組的求解目前主要有兩類方法：迭代解法和直接解法。迭代解法優(yōu)點(diǎn)在于消耗計(jì)算資源低和在許多情況下收斂較快；缺點(diǎn)在于當(dāng)?shù)仉娔Ｐ蛷?fù)雜(系數(shù)矩陣條件數(shù)過大)時(shí)，迭代收斂很慢或者出現(xiàn)發(fā)散，并行性低，且在有限步內(nèi)求解精度無法保證。直接解法通常采用針對(duì)大型稀疏線性方程組開發(fā)的直接解法求解器，其優(yōu)點(diǎn)在于求解精度高，多源情況下能實(shí)現(xiàn)并行回代；缺點(diǎn)在于需要耗費(fèi)時(shí)間對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行分解，且需要占用大量的內(nèi)存資源。

對(duì)于線性方程組(5)的求解，采用Pardiso_64位直接解法求解器。測試計(jì)算機(jī)配置為測試計(jì)算機(jī)配置為CPU-Inter Core i7-2600，主頻為3.40 GHz，內(nèi)存為8.00 GB。圖1所示為不同模型大小時(shí)Pardiso_64位求解器求解線性方程組時(shí)間。從圖1中可以看出，隨著線性方程組維數(shù)的增加，求解時(shí)間呈非線性增長特征。

圖1 不同模型Pardiso_64位求解器求解線性方程組時(shí)間 Fig.1 Time for solving linear equations by Pardiso_64 Solver with different models

2 反演問題

直流電阻率法二維線源的反演問題的表達(dá)式如式(6)所示：

式中：m為模型參數(shù)矢量；d為數(shù)據(jù)矢量；e為誤差矢量；F是正演模型函數(shù)；F(m)是預(yù)測數(shù)據(jù)。

取測點(diǎn)個(gè)數(shù)為N，反演模型節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為M，則野外觀測數(shù)據(jù)表示為d=[d1,d2,…,dN]T，模型參數(shù)矢量表示為m=[m1,m2,…,mM]T。

由于反演問題本身存在多解性和不穩(wěn)定性，因此采用Tikhonov正則化反演思想建立反演目標(biāo)函數(shù)如式(7)所示：

數(shù)據(jù)目標(biāo)函數(shù)表示為

式中：T為矩陣轉(zhuǎn)置符號(hào)；Wd為數(shù)據(jù)權(quán)系數(shù)矩陣。

構(gòu)建模型目標(biāo)函數(shù)有多種方法，根據(jù)不同的約束條件可以分為：最小模型約束、最平緩模型約束、最光滑模型約束等。本文作者采用最平緩模型約束，即模型參數(shù)導(dǎo)數(shù)的平方和最小，約束條件如式(9)所示：

2.1 高斯-牛頓法

傳統(tǒng)的牛頓法收斂速度很快，但卻需要不斷計(jì)算海森矩陣的逆矩陣，而當(dāng)海森矩陣病態(tài)或者非正定時(shí)，牛頓法不能保證收斂。因此，有學(xué)者發(fā)展了近似構(gòu)造海森矩陣的逆矩陣的高斯-牛頓法[33,37]。高斯-牛頓法繼承了牛頓法在初始模型參數(shù)合理的條件下收斂速度較快的特點(diǎn)，同時(shí)，通過引入阻尼項(xiàng)保證了反演過程的穩(wěn)定性。

對(duì)式(7)中反演目標(biāo)函數(shù) ()φm在m0進(jìn)行二階Taylor-Lagrange展開，省略二階以上的高階項(xiàng)，然后在式子兩端同時(shí)對(duì)m求一階導(dǎo)數(shù)，通過求解得到反演迭代方程式：

式中：J為 MN× 的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，每個(gè)元素的表達(dá)式為

PRATT等[38]在二維聲波方程頻率域波形反演中對(duì)高斯-牛頓法進(jìn)行了詳細(xì)的討論，并分別對(duì)比了高斯牛頓法和全牛頓法的反演效果。但是在實(shí)際計(jì)算過程中不管是計(jì)算全海森矩陣還是近似海森的逆都非常耗時(shí)。對(duì)于弱非均勻介質(zhì)，海森矩陣具有主對(duì)角線嚴(yán)格占優(yōu)的特點(diǎn)，非對(duì)角線元素對(duì)反演結(jié)果的貢獻(xiàn)相對(duì)較弱。因此，在反演過程中采用近似海森矩陣的主對(duì)角線代替海森矩陣，能夠提升25%的高斯-牛頓法的反演效率。則式(10)中迭代公式可以修改為

式中：diag表示取對(duì)角線元素。

2.2 反演算法流程

反演算法流程如下：

1) 給定初始模型m0；

3) 計(jì)算靈敏度矩陣J和梯度TΔJ d；

4) 計(jì)算近似海森矩陣的對(duì)角線元素diag(H) ；

5) 求解得到高斯-牛頓方向 kmΔ ；

6) 從mk出發(fā)，沿方向 kmΔ 做一維搜索，確定最優(yōu)步長tk；

8) 返回第2)步再次循環(huán)，k=k+1，直到滿足循環(huán)終止條件，得最優(yōu)反演模型mk+1。

與常規(guī)高斯-牛頓反演算法相比，本文作者簡化了近似海森矩陣，從而大大節(jié)省了高斯-牛頓迭代方程組的求解時(shí)間。由于模型參數(shù)矢量m表示電導(dǎo)率向量σ的對(duì)數(shù)，即 σm lg= 。在第k次迭代過程中模型參數(shù)修正公式如式(13)所示：

3 模型算例

在正演計(jì)算中，引入直接解法有效地保證了正演精度。模型測試中網(wǎng)格剖分大小均為nx=301，nz=151。線性方程組求解采用Pardiso_64位直接解法求解器，測試計(jì)算機(jī)配置為：CPU-Inter Core i7-2600，主頻為3.40 GHz，內(nèi)存為8.00 GB。

3.1 正演模型算例

為了驗(yàn)證該正演算法的正確性與可行性，設(shè)計(jì)了線源在地表時(shí)的均勻半空間模型，模型電導(dǎo)率為0.01 S/m。圖2所示為均勻半空間模型不同裝置數(shù)值模擬結(jié)果，其中藍(lán)線表示解析解電位，紅線表示有限元法數(shù)值模擬電位；□表示三極裝置的視電阻率誤差；*表示偶極-偶極裝置的視電阻率誤差。從圖2可知，除了源附近極少數(shù)點(diǎn)之外，整個(gè)計(jì)算區(qū)域的數(shù)值模擬結(jié)果與解析解吻合較好，總體平均誤差小于0.17%。假設(shè)線源可以放置在地下，同樣在電導(dǎo)率為0.01 S/m的均勻半模型情形下測試。圖3所示為均勻半空間模型不同裝置數(shù)值模擬結(jié)果，從圖3可以看出，整個(gè)計(jì)算區(qū)域的數(shù)值模擬結(jié)果與解析解吻合較好，精度很高，總體平均誤差小于0.35%。

圖2 均勻半空間模型不同裝置數(shù)值模擬結(jié)果(源在地表) Fig.2 Numerical simulation results in homogeneous half space model (Source is on earth surface): (a) Pole-dipole array; (b) Dipole-dipole array; (c) Apparent resistivity error curves of both arrays

圖3 均勻半空間模型不同裝置數(shù)值模擬結(jié)果(源在地下) Fig.3 Numerical simulation results in homogeneous half space model (Source is under earth surface): (a) Pole-dipole array; (b) Dipole-dipole array; (c) Apparent resistivity error curves of both arrays

3.2 反演模型算例

3.2.1 算例1(水平地形下組合模型反演)

算例1是在背景電阻率是50 Ω·m的均勻介質(zhì)中，有兩個(gè)大小均為100 m×20 m、電阻率分別是200 Ω·m和10 Ω·m、頂部埋深為30 m的異常體。圖4所示為水平地形電阻率模型與反演剖面圖。從兩種裝置的反 演結(jié)果來看，基本都能使得目標(biāo)體恢復(fù)到原來的形態(tài)和位置，可以清晰地反映地下真實(shí)電性結(jié)構(gòu)。其中偶極-偶極裝置的反演效果明顯優(yōu)于三極裝置的反演效果，尤其在邊界上與真實(shí)模型吻合程度更高。

圖4 水平地形電阻率模型與反演剖面圖Fig.4 Resistivity model and inversion profiles: (a) True model; (b) Dipole-dipole array; (c) Pole-dipole array

圖5 所示為水平地形兩種裝置的反演擬合誤差與迭代次數(shù)變化曲線關(guān)系。由圖5可以看出，二者在反演過程中都能很快收斂且迭代穩(wěn)定。初始模型選擇均勻半空間模型，偶極-偶極裝置的迭代誤差均比三極裝置的迭代誤差大，偶極-偶極裝置的視電阻率異常明顯大于三極裝置的視電阻率異常，即探測異常體的能力更強(qiáng)、分辨率更高。

3.2.2 算例2(起伏地形下組合模型)

算例2是在背景電阻率是50 Ω·m的均勻介質(zhì)中，有兩個(gè)電阻率分別是200 Ω·m和10 Ω·m的異常體組合模型。圖6所示為起伏地形電阻率模型與反演剖面圖。從兩種裝置的反演結(jié)果中都可以比較準(zhǔn)確地反映出組合異常體的埋深和形態(tài)。對(duì)比圖6(b)和(c)可以發(fā)現(xiàn)偶極-偶極裝置反演得到的異常幅值大小，邊界范 圍更接近于真實(shí)模型。

圖5 水平地形兩種裝置反演迭代收斂曲線 Fig.5 Iteration convergence curves of both arrays inversions

圖7 所示為起伏地形下兩種裝置反演擬合誤差與迭代次數(shù)變化曲線關(guān)系。由圖7可以看出，同樣在反演過程中能比較快地收斂且迭代穩(wěn)定，但三極裝置反演收斂速度比偶極-偶極裝置收斂速度稍快。初始模 型選擇均勻半空間模型，起伏地形情況下偶極-偶極裝置的視電阻率異常也是明顯大于三極裝置的視電阻率異常，再次驗(yàn)證了偶極-偶極裝置的分辨率比三極裝置的分辨率高。

圖6 起伏地形電阻率模型與反演剖面圖Fig.6 Resistivity model and inversion profiles including rugged topography: (a) True model; (b) Dipole-dipole array; (c) Pole-dipole array

圖7 起伏地形下兩種裝置反演迭代收斂曲線 Fig.7 Iteration convergence curves of both arrays inversions including rugged topography

在算例2(起伏地形下組合模型)反演過程中，研究了反演迭代過程中每個(gè)源對(duì)應(yīng)的視電阻率迭代擬合誤差，并結(jié)合兩種裝置進(jìn)行了對(duì)比分析。圖8所示為不同源對(duì)應(yīng)的視電阻率迭代擬合誤差曲線。初始模型均采用均勻半空間模型，由圖8(a)可知每個(gè)源對(duì)應(yīng)的初次迭代擬合誤差分布，偶極-偶極裝置的視電阻率擬合誤差明顯大于三極裝置的視電阻率擬合誤差，表明在相同的條件下，偶極-偶極裝置相對(duì)三極裝置而言，對(duì)異常體更敏感，異常響應(yīng)明顯較大。由圖8(b)可知每個(gè)源對(duì)應(yīng)的最終迭代擬合誤差分布，偶極-偶極裝置的整體異常響應(yīng)依然比三極裝置的異常響應(yīng)大，尤其在異常體中心正上方位置表現(xiàn)最為明顯。結(jié)合圖8(a)和(b)可以看出，在整個(gè)反演迭代過程中，偶極-偶極裝置反映異常的能力均強(qiáng)于三極裝置，且隨著源的位置靠近異常體，偶極-偶極裝置的異常幅值明顯增大，而三極裝置的異常幅值相對(duì)較小，進(jìn)一步表明偶極-偶極裝置具有更好的分辨率。

圖8 起伏地形不同源對(duì)應(yīng)的視電阻率迭代擬合誤差曲線 Fig.8 Apparent resistivity fitting error curves with different sources including rugged topography: (a) Initial fitting error of iteration; (b) Last fitting error of iteration

4 結(jié)論

1) 從二維線源問題出發(fā)，以有限單元法為基礎(chǔ)，對(duì)二維地電斷面模型進(jìn)行了數(shù)值模擬，并采用快速、高精度的直接解法求解線性方程組，采用不同的裝置驗(yàn)證了算法的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。

2) 將地震全波形反演中常用的高斯-牛頓反演算法的改進(jìn)方法引入到二維線源直流電阻率法中，簡化了高斯-牛頓迭代方程組的求解；相比傳統(tǒng)反演算法具有高精度、收斂穩(wěn)定、速度快、且耗費(fèi)計(jì)算資源少等優(yōu)勢。從模型算例可以看出，提出的算法具有非常高的數(shù)值精度和計(jì)算效率，合成數(shù)據(jù)的反演結(jié)果和實(shí)際模型吻合度非常高，并且能夠適應(yīng)復(fù)雜地形。

3) 通過對(duì)三極裝置和偶極-偶極裝置的探測能力和反演效果進(jìn)行了測試，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：偶極-偶極裝置具有更好的探測能力、更高的分辨率。

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